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  • 2021-06-15 发布

2020届二轮复习数列的概念与简单表示法教案(全国通用)

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‎§6.1 数列的概念与简单表示法 最新考纲 1.通过日常生活中的实例,了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是一种特殊函数.‎ ‎1.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列着的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an=f(n)表示,这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫做数列的前n项和 ‎2.数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n,an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表示数列的方法 ‎3.an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn,‎ 则an= ‎4.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an+1>an 其中n∈N*‎ 递减数列 an+1an,即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,‎ 整理,得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1).(*)‎ 因为n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3.‎ ‎5.数列{an}中,an=-n2+11n(n∈N*),则此数列最大项的值是.‎ 答案 30‎ 解析 an=-n2+11n=-2+,‎ ‎∵n∈N*,∴当n=5或n=6时,an取最大值30.‎ ‎6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=.‎ 答案  解析 当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,‎ an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,‎ a1=2不满足上式.‎ 故an= 题型一 由数列的前几项求数列的通项公式 例1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:‎ ‎(1),,,,,…;‎ ‎(2)-1,7,-13,19,…;‎ ‎(3),2,,8,,…;‎ ‎(4)5,55,555,5555,….‎ 解 (1)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积,分子依次为2,4,6,…,相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为an=.‎ ‎(2)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为 an=(-1)n(6n-5).‎ ‎(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察.即,,,,,…,分子为项数的平方,从而可得数列的一个通项公式为an=.‎ ‎(4)将原数列改写为×9,×99,×999,…,易知数列9,99,999,…的通项为10n ‎-1,故所求的数列的一个通项公式为an=(10n-1).‎ 思维升华求数列通项时,要抓住以下几个特征:‎ ‎(1)分式中分子、分母的特征.‎ ‎(2)相邻项的变化特征.‎ ‎(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征.‎ ‎(4)各项符号特征等.‎ ‎(5)若关系不明显时,应将部分项作适当的变形,统一成相同的形式.‎ 跟踪训练1(1)数列-,,-,,…的一个通项公式an=.‎ 答案 (-1)n 解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an=(-1)n.‎ ‎(2)数列{an}的前4项是,1,,,则这个数列的一个通项公式是an=.‎ 答案  解析 数列{an}的前4项可变形为,,,,故an=.‎ 题型二 由an与Sn的关系求通项公式 例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,则an=.‎ 答案 4n-5‎ 解析 a1=S1=2-3=-1,‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,‎ 由于a1也适合此等式,∴an=4n-5.‎ ‎(2)(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.‎ 答案 -63‎ 解析 ∵Sn=2an+1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,‎ ‎∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),‎ 即an=2an-1(n≥2).‎ 当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.‎ ‎∴数列{an}是首项a1=-1,公比q=2的等比数列,‎ ‎∴Sn===1-2n,‎ ‎∴S6=1-26=-63.‎ ‎(3)已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n,则an=.‎ 答案  解析 当n=1时,由已知,可得a1=21=2,‎ ‎∵a1+2a2+3a3+…+nan=2n,①‎ 故a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1(n≥2),②‎ 由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1,‎ ‎∴an=.‎ 显然当n=1时不满足上式,‎ ‎∴an= 思维升华已知Sn求an的常用方法是利用an=一定要检验a1的情况.‎ 跟踪训练2(1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1,则an=.‎ 答案  解析 当n=1时,a1=S1=3+1=4;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1.‎ 当n=1时,2×31-1=2≠a1,‎ 所以an= ‎(2)设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,则an=.‎ 答案  解析 因为a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,①‎ 则当n≥2时,‎ a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=,②‎ ‎①-②得3n-1an=,所以an=(n≥2).‎ 由题意知a1=符合上式,所以an=.‎ ‎(3)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=.‎ 答案 (-2)n-1‎ 解析 当n=1时,a1=S1=a1+,即a1=1;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,‎ 故=-2,故an=(-2)n-1.‎ 题型三 由数列的递推关系求通项公式 例3设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则an=.‎ 答案  解析 由条件知an+1-an=n+1,‎ 则an=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)+a1=(2+3+4+…+n)+2=.‎ 引申探究 ‎1.若将“an+1=an+n+1”改为“an+1=an”,如何求解?‎ 解 ∵an+1=an,a1=2,∴an≠0,‎ ‎∴=.‎ ‎∴an=···…···a1‎ ‎=···…··2=.‎ ‎2.若将“an+1=an+n+1”改为“an+1=2an+3”,如何求解?‎ 解 设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-t,解得t=-3.故an+1+3=2(an+3).令bn=an+3,则b1=a1+3=5,且==2.所以{bn}是以5为首项,2为公比的等比数列.‎ 所以bn=5×2n-1,故an=5×2n-1-3.‎ ‎3.若将“an+1=an+n+1”改为“an+1=”,如何求解?‎ 解 ∵an+1=,a1=2,∴an≠0,‎ ‎∴=+,即-=,‎ 又a1=2,则=,‎ ‎∴是以为首项,为公差的等差数列.‎ ‎∴=+(n-1)×=.∴an=.‎ ‎4.若将本例条件换为“a1=1,an+1+an=2n”,如何求解?‎ 解 ∵an+1+an=2n,∴an+2+an+1=2n+2,故an+2-an=2.‎ 即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.‎ 当n为偶数时,a2=1,故an=a2+2=n-1.‎ 当n为奇数时,∵an+1+an=2n,an+1=n(n+1为偶数),故an=n.‎ 综上所述,an=n∈N*.‎ 思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 ‎(1)当出现an=an-1+m时,构造等差数列.‎ ‎(2)当出现an=xan-1+y时,构造等比数列.‎ ‎(3)当出现an=an-1+f(n)时,用累加法求解.‎ ‎(4)当出现=f(n)时,用累乘法求解.‎ 跟踪训练3(1)已知数列{an}满足a1=1,a2=4,an+2+2an=3an+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=.‎ 答案 3×2n-1-2‎ 解析 由an+2+2an-3an+1=0,‎ 得an+2-an+1=2(an+1-an),‎ ‎∴数列{an+1-an}是以a2-a1=3为首项,2为公比的等比数列,∴an+1-an=3×2n-1,‎ ‎∴当n≥2时,an-an-1=3×2n-2,…,a3-a2=3×2,a2-a1=3,‎ 将以上各式累加,得 an-a1=3×2n-2+…+3×2+3=3(2n-1-1),‎ ‎∴an=3×2n-1-2(当n=1时,也满足).‎ ‎(2)在数列{an}中,a1=3,an+1=an+,则通项公式an=.‎ 答案 4- 解析 原递推公式可化为an+1=an+-,‎ 则a2=a1+-,a3=a2+-,‎ a4=a3+-,…,an-1=an-2+-,‎ an=an-1+-,逐项相加得an=a1+1-,‎ 故an=4-,经验证a1,a2也符合.‎ 题型四 数列的性质 命题点1 数列的单调性 例4已知an=,那么数列{an}是(  )‎ A.递减数列 B.递增数列 C.常数列 D.摆动数列 答案 B 解析 an=1-,将an看作关于n的函数,n∈N*,易知{an}是递增数列.‎ 命题点2 数列的周期性 例5(2019·钦州质检)在数列{an}中,a1=0,an+1=,则S2020=.‎ 答案 0‎ 解析 ∵a1=0,an+1=,‎ ‎∴a2==,a3===-,‎ a4==0,‎ 即数列{an}的取值具有周期性,周期为3,‎ 且a1+a2+a3=0,‎ 则S2020=S3×673+1=a1=0.‎ 命题点3 数列的最值 例6(2018·山东、湖北部分重点中学冲刺模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3(m≥2),则nSn的最小值为(  )‎ A.-3B.-5C.-6D.-9‎ 答案 D 解析 由Sm-1=-2,Sm=0,‎ Sm+1=3(m≥2)可知am=2,am+1=3,‎ 设等差数列{an}的公差为d,则d=1,‎ ‎∵Sm=0,∴a1=-am=-2,‎ 则an=n-3,Sn=,nSn=.‎ 设f(x)=,x>0,f′(x)=x2-5x,x>0,‎ ‎∴f(x)的极小值点为x=,‎ ‎∵n∈N*,且f(3)=-9,f(4)=-8,‎ ‎∴f(n)min=-9.‎ 思维升华应用数列单调性的关键是判断单调性,判断数列单调性的常用方法有两个:(1)利用数列对应的函数的单调性判断;(2)对数列的前后项作差(或作商),利用比较法判断.‎ 跟踪训练4(1)(2018·石家庄模拟)若数列{an}满足a1=2,an+1=,则a2020的值为(  )‎ A.2 B.-3‎ C.- D. 答案 D 解析 因为a1=2,an+1=,‎ 所以a2==-3,a3==-,‎ a4==,a5==2,‎ 故数列{an}是以4为周期的周期数列,‎ 故a2020=a505×4=a4=.‎ ‎(2)若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n∈N*),则数列{nan}中数值最小的项是(  )‎ A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 答案 B 解析 ∵Sn=n2-10n,‎ ‎∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-11;‎ 当n=1时,a1=S1=-9也适合上式.‎ ‎∴an=2n-11(n∈N*).‎ 记f(n)=nan=n(2n-11)=2n2-11n,‎ 此函数图象的对称轴为直线n=,但n∈N*,‎ ‎∴当n=3时,f(n)取最小值.‎ ‎∴数列{nan}中数值最小的项是第3项.‎ ‎1.已知数列,,,,,…,则5是它的(  )‎ A.第19项 B.第20项 C.第21项 D.第22项 答案 C 解析 数列,,,,,…中的各项可变形为,,,,,…,‎ 所以通项公式为an==,‎ 令=5,得n=21.‎ ‎2.记Sn为数列{an}的前n项和.“任意正整数n,均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 ∵“an>0”⇒“数列{Sn}是递增数列”,‎ ‎∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件.‎ 如数列{an}为-1,1,3,5,7,9,…,显然数列{Sn}是递增数列,但是an不一定大于零,还有可能小于零,‎ ‎∴“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an>0”,‎ ‎∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件.‎ ‎∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件.‎ ‎3.(2018·三明质检)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an-2,则S8等于(  )‎ A.255B.256C.510D.511‎ 答案 C 解析 当n=1时,a1=S1=2a1-2,据此可得a1=2,‎ 当n≥2时,Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,‎ 两式作差可得an=2an-2an-1,则an=2an-1,‎ 据此可得数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,‎ 其前8项和为S8==29-2=512-2=510.‎ ‎4.(2018·长春五校模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n,则数列的前6项和为(  )‎ A.B.C.D. 答案 A 解析 数列{an}的前n项和Sn=n2+2n,Sn-1=n2-1,两式作差得到an=2n+1(n≥2),‎ 又当n=1时,a1=S1=12+2×1=3,符合上式,所以an=2n+1,‎ == 裂项求和得到S6==,故选A.‎ ‎5.(2019·长沙雅礼中学、河南实验中学联考)在数列{an}中,a1=2,=+ln,则an等于(  )‎ A.2+nlnn B.2n+(n-1)lnn C.2n+nlnn D.1+n+nlnn 答案 C 解析 由题意得-=ln(n+1)-lnn,n分别用1,2,3,…,(n-1)取代,累加得-=lnn-ln1=lnn,=2+lnn,∴an=(lnn+2)n,故选C.‎ ‎6.数列{an}的前n项积为n2,那么当n≥2时,an等于(  )‎ A.2n-1 B.n2‎ C. D. 答案 D 解析 设数列{an}的前n项积为Tn,则Tn=n2,‎ 当n≥2时,an==.‎ ‎7.若数列{an}满足关系an+1=1+,a8=,则a5=.‎ 答案  解析 借助递推关系,由a8递推依次得到a7=,a6=,a5=.‎ ‎8.若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则数列{an}的通项公式an=.‎ 答案  解析 当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;‎ 当n≥2时,‎ an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=1时,不满足上式.‎ 故数列{an}的通项公式为an= ‎9.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.‎ 答案 - 解析 ∵an+1=Sn+1-Sn,‎ ‎∴Sn+1-Sn=Sn+1Sn,‎ 又由a1=-1,知Sn≠0,‎ ‎∴-=1,‎ ‎∴是等差数列,且公差为-1,而==-1,‎ ‎∴=-1+(n-1)×(-1)=-n,‎ ‎∴Sn=-.‎ ‎10.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N*),则an=.‎ 答案  解析 由an-an+1=nanan+1,得-=n,‎ 则由累加法得-=1+2+…+(n-1)=,‎ 又因为a1=1,所以=+1=,‎ 所以an=(n∈N*).‎ ‎11.已知在数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.‎ ‎(1)求a2,a3;‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ 解 (1)由S2=a2,得3(a1+a2)=4a2,‎ 解得a2=3a1=3;‎ 由S3=a3,得3(a1+a2+a3)=5a3,‎ 解得a3=(a1+a2)=6.‎ ‎(2)由题设知a1=1.‎ 当n>1时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1,‎ 整理,得an=an-1.‎ 于是a1=1,a2=a1,a3=a2,…,‎ an-1=an-2,an=an-1,‎ 将以上n个等式两端分别相乘,‎ 整理,得an=,n≥2,‎ 又a1=1=,也满足上式.‎ 综上,{an}的通项公式an=.‎ ‎12.已知数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)记bn=3n-λa,若数列{bn}为递增数列,求λ的取值范围.‎ 解 (1)∵2Sn=(n+1)an,‎ ‎∴2Sn+1=(n+2)an+1,‎ ‎∴2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,‎ 即nan+1=(n+1)an,∴=,‎ ‎∴==…==1,‎ ‎∴an=n(n∈N*).‎ ‎(2)bn=3n-λn2.‎ bn+1-bn=3n+1-λ(n+1)2-(3n-λn2)‎ ‎=2·3n-λ(2n+1).‎ ‎∵数列{bn}为递增数列,‎ ‎∴2·3n-λ(2n+1)>0,即λ<.‎ 令cn=,‎ 即=·=>1.‎ ‎∴{cn}为递增数列,∴λ‎ m,则Sn-Sm的最小值为(  )‎ A.-B.-C.-14D.-28‎ 答案 C 解析 因为=+1,且==-5,‎ 所以数列是以-5为首项、1为公差的等差数列,‎ 则=-5+(n-1)=n-6,‎ 即an=(2n-5)(n-6),‎ 令an≤0,得≤n≤6,‎ 又∵n∈N*,∴n=3,4,5,6,‎ 则Sn-Sm=am+1+am+2+…+an的 最小值为a3+a4+a5+a6=-3-6-5-0=-14.‎ ‎16.已知数列{an}是递增的等比数列且a1+a4=9,a2a3=8,设Sn是数列{an}的前n项和,数列前n项和为Tn,若不等式λ≤Tn对任意的n∈N*恒成立,求实数λ的最大值.‎ 解 ∵数列{an}是递增的等比数列,‎ 且a1+a4=9,a2a3=8,a1a4=a2a3,‎ ‎∴a1,a4是方程x2-9x+8=0的两个根,且a1