广东省深圳市南头中学2013届高三12月月考数学（文）试题 10页

‎2012-2013学年度高三年级 ‎12月月考文科数学试卷2012.12.21 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。‎ 第一部分 选择题(共50分)‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、已知集合，则=（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、复数的共轭复数为 （ ）‎ A、－i B、－ C、1－2i D、1+2i ‎3、已知数列是等比数列，且，，则的公比为（ ）‎ A、－2 B、－ C、2 D、‎ ‎4、 已知，则的值为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎5、已知，，则是的（ ）‎ A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件 ‎6、已知，则的最小值为（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7、如图，在三棱柱中，平面，‎ ‎，则此三棱柱的侧（左）视图的面积为（ ）‎ A、 B、 　 C、 　　 　D、 ‎ ‎8、曲线 在处的切线方程是（ ）(9.s.5.u A、 B、 ‎ C、 D、‎ ‎9、设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则 （ ）‎ A、 B、‎2 ‎C、 D、4‎ ‎10、若在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线与圆相交的概率为 （ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ 第二部分非选择题(共100分)‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎（一）必做题（11～13题）‎ ‎11、函数的定义域为 ‎ ‎12、执行如图所示的程序框图，‎ 输出的S值为 。‎ ‎13、 以、为焦点的椭圆＝１（）上顶点P，当=120°时，则此椭圆离心率e的大小为 。‎ ‎（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题的分）‎ ‎14、（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，曲线和相交于点，则＝ ．‎ O A B C D ‎15、（几何证明选讲选做题）如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的 切线交AB的延长线于点D，CD=2，AB =3．‎ 则BD的长为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16、 (12分)设 ‎ (1)求函数的最小正周期和单调递增区间 ‎ (2)当 ‎17、(12分)某校为了解学生的学科学习兴趣，对初高中学生做了一个喜欢数学和喜欢语文的抽样调查，随机抽取了名学生，相关的数据如下表所示：‎ 数学 语文 总计 初中 高中 总计 ‎ (1) 、用分层抽样的方法从喜欢语文的学生中随机抽取名，高中学生应该抽取几名?‎ ‎ (2) 、在(1)中抽取的名学生中任取名，求恰有名初中学生的概率．‎ ‎18.（14分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面，且，若、分别为、的中点.‎ F A B C P D E ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎（3）求四棱锥的体积.‎ ‎19、（14分）已知数列是非常数数列的等差数列，为其前项和，，且，成等比数列；‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，为数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求实数的范围.‎ ‎ ‎ ‎20、（14分）已知函数 （1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）函数在上是减函数，求实数a的取值范围.‎ ‎21、（14分）已知椭圆的左、右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设点、的横坐标分别为、，证明：；‎ ‎（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求 的取值范围。‎ ‎2012-2013学年度深圳市南头中学高三年级 ‎12月月考文科数学试卷答案2012.12.21 ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7[‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ D D A B D B C C B B ‎11、 12、 10 13、 14、 15、‎ ‎16、解：（1）……….2分 ‎……………………………….1分 所以函数的单调递增区间是……………………6分 ‎（2）‎ ‎…………………………12分 ‎17、解：(1) 由表中数据可知, 高中学生应该抽取人. …4分 ‎ (2) 记抽取的名学生中,初中名学生为，，高中名学生为，，，‎ ‎ 则从名学生中任取2名的所有可能的情况有种，它们是：，，，，，，，，，. ……7分 其中恰有1名初中学生的情况有种，它们是：，，，，，. …9分 故所求概率为. …12分 ‎18、（1）证明：连结AC，则是的中点，在△中，EF∥PA，……2分]‎ ‎ 且PA平面PAD，EF平面PAD，‎ ‎ ∴EF∥平面PAD …………4分 ‎（2）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ ‎ 又CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，…………7分 又CD 平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC. …………8分 ‎(3) ,,‎ ‎…………10分 又由（2）可知CD⊥平面PAD，CD=2，…………11分 ‎…………13分 ‎…………14分 ‎19、解：（Ⅰ）设的公差为，∴ ……2分 ‎ a1，a3，a13成等比数列.则25=（5-2d）（5+10 d），解得d =2，d =0（舍）. …4分 ‎ an = a3+ (n-3)d=5+(n-3)·2=2 n-1.数列{ an }的通项公式an=2 n-1,n∈N*. ………6分 ‎（Ⅱ） ………………7分 则…………………………10分 ‎……………………12分 实数t的取值范围为： ……………………………14分 ‎ 20、.解：（1） …………1分 ‎ ‎ ‎ ……………………………4分 函数的定义域为（0，+∞），在区间（0，），（1，+∞）上f ′（x）＜0. 函数为减函数；在区间（，1）上f ′（x）＞0. 函数为增函数. ……………6分 ‎（2）函数在（2，4）上是减函数，则，在x∈（2，4）上恒成立. …………7分 ‎ ………………10分 ‎ ……………………………………12分 实数a的取值范围 ……………………………………14分 ‎21、（1）解：依题意可得，．…………………1分 设双曲线的方程为，‎ 因为双曲线的离心率为，所以，即．‎ 所以双曲线的方程为．…………………………3分 ‎（2）证法1：设点、（，，），直线的斜率为（），‎ 则直线的方程为，……………………………4分 联立方程组…………………………………………5分 整理，得，‎ 解得或．所以．…………………6分 同理可得，…………………………7分 所以．……………………………8分 证法2：设点、（，，），‎ 则，．………………………………………4分 因为，所以，即．………………5分 因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，．‎ 即，．………………………6分 所以，即．…………………7分 所以．……………………………………………8分 证法3：设点，直线的方程为，……………4分 联立方程组………………………5分 整理，得，‎ 解得或．………………………6分 将代入，得，即．‎ 所以．……………………………8分 ‎（3）解：设点、（，，），‎ 则，．‎ 因为，所以，即．………9分 因为点在双曲线上，则，所以，即．‎ 因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以．…………10分 因为，， ‎ 所以．………11分 由（2）知，，即．‎ 设，则，‎ ‎．‎ 设，则，‎ 当时，，当时，，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减． ‎ 因为，，‎ 所以当，即时，…………12分 当，即时，．…………………………13分 所以的取值范围为．…………………………………14分 说明：由，得，给1分．‎