吉林省吉林市普通高中2020届高三上学期毕业班第二次调研测试数学（理）试卷 4页

理科数学 本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。‎ ‎2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、‎ 笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。‎ ‎4. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 ‎ 纸刀。‎ 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。‎ ‎1. 集合的子集的个数是 A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是 A. 数据中可能有异常值 B. 这组数据是近似对称的 ‎ C. 数据中可能有极端大的值 D. 数据中众数可能和中位数相同 ‎4. “”是“”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎5. 对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据 ：‎ ‎,下列函数模型中拟合较好的是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 已知实数满足线性约束条件，则的最小值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎8. 如图，正方体中，分别为 所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是 ‎ A. 直线 B. 直线 ‎ C. 直线 D. 直线 ‎9. 我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积 ‎ 术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂 ‎ 乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三 ‎ 边长求三角形面积，即. 若的面积 ‎，则等于 A. B. C. 或 D. 或 ‎10. 已知双曲线的焦距为. 点为双曲线的右顶点，‎ ‎ 若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是 A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12. 如图，在中，点分别为的中点，若，且满足 ‎ ，则等于 A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在答题卡中相应位置。‎ ‎13. 在空间直角坐标系中，，则四面 体的外接球的体积为__________.‎ ‎14. 直线过圆的圆心，则 ‎ 的最小值是__________.‎ ‎15. 若函数在区间上恰有个不同的零点，则正数的取 ‎ 值范围是__________.‎ ‎16. 关于函数有下列四个命题：‎ ‎ ①函数在上是增函数；‎ ‎②函数的图象关于中心对称；‎ ‎③不存在斜率小于且与数的图象相切的直线；‎ ‎④函数的导函数不存在极小值.‎ 其中正确的命题有__________. （写出所有正确命题的序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. （10分）已知数列是公比为正数的等比数列，其前项和为，满足，‎ 且成等差数列.‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）若数列满足，求的 值.‎ ‎18. （12分）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，‎ 且,是棱的中点. ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19. （12分）已知中，角所对的边分别为，‎ ‎,且满足.‎ ‎ （1）求的面积； （2）若求的最大值.‎ ‎20. （12分）为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域. 现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.‎ 文学类专栏 科普类专栏 其他类专栏 文学类图书 ‎100‎ ‎40‎ ‎10‎ 科普类图书 ‎30‎ ‎200‎ ‎30‎ 其他图书 ‎20‎ ‎10‎ ‎60‎ ‎（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率；‎ ‎（2）根据统计数据估计图书分类错误的概率；‎ ‎（3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为，其中，当的方差最大时，求的值，并求出此时方差的值.‎ ‎21. （12分）设函数.‎ ‎（1）若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，证明：.‎ ‎22. （12分）已知，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与曲线交于两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程.‎