2013-2017高考数学分类汇编-第4章 三角函数-2 三角函数的图像与性质（理科） 22页

第二节 三角函数的图像与性质 题型50 已知解析式确定函数性质 ‎1.（2013江西理11）函数的最小正周期为为 ．‎ ‎2.（2013江苏1）函数的最小正周期为 .‎ ‎3.（2014 辽宁理 9）将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（ ）.‎ A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 ‎4.（2014 陕西理 2）函数的最小正周期是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.（2014 新课标2理14）函数的最大值为 .‎ ‎5.（2014 福建理 16）（本小题满分13分）已知函数.‎ ‎ （1）若，且，求的值；‎ ‎ （2）求函数的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎6.（2014 湖北理 17）（本小题满分11分）‎ 某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：‎ ‎，.‎ ‎（1）求实验室这一天的最大温差；‎ ‎（2）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？‎ ‎7.(2015安徽)已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.解析 因为，所以，所以．‎ 因为当时，取最小值,所以，‎ 所以，所以．‎ 当时，即时，取最大值．‎ 下面需判断,,与最近的最高点处的对称轴的距离,距离越大,相应的函数值越小，‎ 如图所示，‎ 因为，，，‎ 所以．故选A．‎ ‎8.（2015四川）下列函数中，最小正周期为且图像关于原点对称的函数是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8.解析 由，可知选项A，B，C的周期都是，选项D的周期为.‎ 通过化简可得，选项A： ，为奇函数；‎ 选项B为：，为偶函数；‎ 选项C为：，为非奇非偶函数.故选A.‎ ‎9.（2015浙江）函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．‎ ‎9.解析 因为，‎ 所以. 所以，即.‎ 所以单调递减区间是.‎ ‎10.（2015北京）已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在区间的最小值.‎ ‎10.解析 （1）‎ ‎，函数的最小正周期.‎ ‎（2）当时，，，函数在区间 的最小值为.‎ ‎11.（2015广东）在平面直角坐标系中，已知向量，‎ ‎.‎ (1) 若，求的值；‎ (2) 若与的夹角为，求的值.‎ ‎11.解析 （1）因为，，且，‎ 所以，‎ 所以，所以．‎ （2） 由（1）依题知，‎ 所以．又因为，所以，即．‎ ‎12.（2015天津）已知函数，.‎ ‎（1）求最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎12.分析 (1) 利用两角和与差的正余弦公式及二倍角的正余弦公式化简函数的解析式，由三角函数性质可求最小正周期；(2)先写出函数的单调区间，即可求函数的最大值与最小值.‎ 解析 (1)由已知，有 ‎，‎ 所以的最小正周期.‎ ‎(2)解法一：因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，‎ ‎，，，所以在区间上的最大值 是，最小值是.‎ 解法二：由，得，，‎ ‎， .‎ 当时，取得最小值，当时，取得最大值为.‎ ‎13.（2015重庆）已知函数 ‎（1）求的最小正周期和最大值；‎ ‎（2）讨论在上的单调性.‎ ‎13.解析 （1）‎ ‎.‎ 因此的最小正周期为，最大值为.‎ ‎（2）令，，得，，‎ 所以的单调递增区间为，.‎ 同理，的单调递减区间为，.‎ 故当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎14.（2016山东理7）函数的最小正周期是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎14. B解析 由 ‎，所以最小正周期是. 故选B.‎ ‎15.（2016浙江理5）设函数，则的最小正周期（ ）.‎ A.与有关，且与有关 B.与有关，但与无关 ‎ C.与无关，且与无关 D.与无关，但与有关 ‎15.B 解析，的最小正周期为，的最小正周期为.当时，此时的最小正周期是；‎ 当时，此时的最小正周期为.所以影响的最小正周期，而为常数项不影响的最小正周期.故选B. ‎ ‎16．（2016上海理7）方程在区间上的解为 ．‎ ‎16．解析 由，即，‎ 所以，故.‎ 由于，故．‎ ‎17．（2016江苏9）定义在区间上的函数的图像与的图像的交点个数是 ．‎ ‎17.解析 解法一（图像法）：画出函数图像草图，共个交点．‎ 解法二（解方程）：即解方程，即.‎ 所以或，由．当时，；当 时，．‎ 共个根，即共个交点．‎ ‎18.（2016天津理15）已知函数.‎ ‎（1）求的定义域与最小正周期；（2）讨论在区间上的单调性.‎ ‎18.解析 （1）的定义域为.‎ ‎.‎ 所以的最小正周期.‎ ‎（2）令，函数的单调递增区间是.‎ 由，得，.‎ 设，，易知.‎ 又，所以当时， 在区间上单调递增， 在区间上单调递减.‎ ‎19.（2017全国3理6）设函数，则下列结论错误的是（ ）.‎ A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称 C．的一个零点为 D．在上单调递减 ‎19.解析 函数的图像可由向左平移个单位长度得到，由图可知，在上先递减后递增，所以D选项错误.故选D.‎ 题型51 根据条件确定解析式 ‎1．（2013四川理5）函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2. (2013安徽理16）已知函数的最小正周期为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）讨论在区间上的单调性.‎ ‎3. (2013福建理20）已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．‎ ‎（1）求函数与的解析式；‎ ‎（2）是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数，若不存在，说明理由；‎ ‎（3）求实数与正整数，使得在内恰有个零点.‎ ‎4.（2014 北京理 14）设函数，（是常数，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为________.‎ ‎5.（2014 大纲理 16）若函数在区间是减函数，则的取值范围是 .‎ ‎6.（2014 江苏理 5）已知函数与，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是 ．‎ ‎7.（2014 山东理 16）（本小题满分12分）已知向量，函数，且的图像过点和点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.‎ ‎8.（2014 重庆理 17）已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎9.（2016全国乙理12）已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎9.B 解析 依题意，可得，，且，即.‎ 故，，即，.当时，.又，‎ 因此在上不单调.当时，，且.‎ 又，因此在上单调，则的最大值为9.故选B.‎ ‎10.（2016浙江理10）已知，则______，________．‎ ‎10. ； 解析 .所以.‎ ‎11．（2016上海理13）设，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为 ．‎ ‎11．解析 ①当时，若，则；若，则；‎ ②当时，若，则；若，则．共组．‎ 评注 或者如此考虑，当确定时，也唯一确定，因此有种组合．‎ ‎12.（2017天津理7）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（ ）.‎ A.， B.， C.， D.，‎ ‎12.解析 解法一：由题意，其中，所以.又，所以，从而.由，由，得.故选A．‎ 解法二：由，，易知为的一条对称轴，点为的一个零点，则，又因为 ，即.又，且的最小正周期大于，所以，从而，又，所以.故选A.‎ ‎13.(2017浙江理18)已知函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎13.解析 （1）由，，得.‎ ‎（2）由，，得，‎ 所以的最小正周期是.‎ 由正弦函数的性质得，解得.‎ 所以的单调递增区间是.‎ 题型52 三角函数的值域（最值)‎ ‎14．(2013天津理15）已知函数 ‎(1) 求的最小正周期；‎ ‎ (2) 求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎15. (2013陕西理16）已知向量，设函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在上的最大值和最小值.‎ ‎16.（2014 天津理 15）已知函数，.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在闭区间上的最大值和最小值. ‎ ‎17.（2016江苏14）在锐角三角形中，若，则的最小值是 ．‎ ‎17.分析 求解多元最值问题，首要的关键是考虑如何消参．‎ 解析 解法一：由 （*）‎ 由三角形为锐角三角形，则，.同时除以得．‎ 又，所以．‎ 故，‎ 不妨设，故，‎ 所以当，即时，．此时，，‎ 解得，，（或，互换），此时均为锐角，满足条件． ‎ 解法二：由解法一部分可知，在锐角三角形中，，‎ 而，即，‎ 从而（这个公式课本中作为例题出现要求证明）．‎ 故，‎ 整理得，当且仅当，，‎ 解得（或互换），此时均为锐角，满足条件． ‎ 评注 从表面此题看似等价，但构造等腰三角形求解出的最值却不正确，因此等价的思想也需慎用．如果注意到此题的结构，我们优先考虑切化弦，且优先考虑搭配，则有：解法三：‎ ‎（因为）．最后检验一下是否存在即可．‎ 题型53 三角函数图像变换 ‎1.（2013湖北理4）将函数的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）.‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.（2013山东理5）将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎3.（2014 浙江理 4）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）.‎ A. 向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 ‎ C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 ‎4.（2014 四川理 3）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ）.‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 ‎5.（2014 新课标1理6）如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图像大致为（ ）.‎ ‎1‎ A.‎ ‎1‎ B.‎ ‎1‎ C.‎ ‎1‎ D.‎ ‎6.（2014 安徽理 11）若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是 .‎ ‎7.（2015湖南）将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎7.解析 依题意向右平移个单位后，得到，‎ 又因为，所以不妨设，，‎ 所以. ‎ 又因为，所以.故选D.‎ ‎8.（2015全国1）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）.‎ A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．，‎ ‎8.解析 由题可得，即，所以．‎ 由图可知，所以，解得，．‎ 令，解得，所以．‎ 令，解得.故选D．‎ ‎9.（2015山东）要得到函数的图像，只需将函数的图像( ).‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎9.解析 因为，所以要得到的图像，只需将的图像向右平移个单位．故选B．‎ ‎10.（2015陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 ‎，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）．‎ A．5 B．6 C．8 D．10‎ ‎10.解析 根据图像可知，函数最低点为2，即的最小值为2，所以，解得，，所以.故选C.‎ ‎11.（2015福建）已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度．‎ ‎(1)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；‎ ‎(2)已知关于的方程在内有两个不同的解，．‎ ‎（ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（ⅱ）求证：‎ ‎11.解析 解法一：（1）将的图像上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为．‎ ‎（2）（ⅰ），‎ 其中，．依题意，在内有两个不同的解，‎ ‎，当且仅当，故的取值范围是．‎ ‎（ⅱ）因为，是方程在内的两个不同的解，‎ 所以，．当时，，‎ 即；当时，，‎ 即，‎ 所以．‎ 解法二：（1）同解法一．‎ ‎（2）（ⅰ）同解法一．‎ ‎（ⅱ）因为，是方程在内的两个不同的解，‎ 所以，．当时，，‎ 即；当时，，‎ 即，所以，‎ 于是 ‎．‎ ‎12.（2015湖北）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ‎（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解 ‎ 析式；‎ ‎（2）将图像上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图 像. 若图像的一个对称中心为，求的最小值. ‎ ‎12.解析（1）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎0‎ 且函数表达式为. ‎ ‎（2）由（1）知 ，得.‎ 因为的对称中心为. ‎ 令，解得， . ‎ 由于函数的图像关于点成中心对称，令，‎ 解得. 由可知，当时，取得最小值. ‎ ‎13.（2016全国甲理7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎13. B 解析 平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：.故选B．‎ ‎14.（2016四川理3）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ）.‎ A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度 ‎14.解析 由题意，为得到函数，只需把函数的图像上所有点向右平移个单位.故选D.‎ ‎15.（2016北京理7）将函数图像上的点向左平移个单位长度得到点.若 位于函数的图像上，则（ ）.‎ A.，的最小值为 B.，的最小值为 ‎ C.，的最小值为 D.，的最小值为 ‎15.A解析 解法一（排除法）：由点在函数的图像上，‎ 可得，这样就可排除选项B，D. 进而可得点.‎ 又点位于函数的图像上，所以 ① ‎ 由此可排除选项C. 故选A.‎ 解法二：由①可得，Z)，Z).‎ 再由，可得的最小值为.故选A.‎ ‎16.（2016全国丙理14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移___________个单位长度得到.‎ ‎16.解析 由，，显然函数的图像可由的图像至少向右平移个单位长度得到.‎ ‎17.（2017全国1理9）已知曲线，，‎ 则下面结论正确的是（ ）.‎ A.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 ‎17.解析 ，.‎ 首先曲线，统一为一三角函数名，可将用诱导公式处理．‎ ‎．横坐标变换需将变成，‎ 即．‎ 注意的系数，左右平移需将提到括号外面，这时平移至，‎ 根据“左加右减”原则，“”到“”需加上，即再向左平移．故选D.‎ ‎18.（2017山东理1）设函数，其中.已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求在上的最小值.‎ ‎18.解析 （1）因为，‎ 所以.‎ 由题设知，所以，.‎ 故，，又，所以.‎ ‎（2）由（1）得，所以.‎ 因为，所以，当，即时，取得最小值.‎