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- 2021-06-15 发布
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天水一中 2017 级高三一轮复习第三次模拟考试
数学试题（文科）
一、选择题
1.设集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
,选 B.
点睛：
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合
类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元
素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取
舍．
2.若 ，且 ，则下列不等式一定成立 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试 题 分 析 ： A 、 B 、 C 三 个 选 项 的 关 系 无 法 判 断 或 错 误 ， 而 所 以
,故选 D。
考点：比大小（或者不等式证明）。
3.下列命题的说法错误的是（ ）
A. 对于命题 p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．
B. “x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．
的
{ }2| 2 0A x x x= − − < { }| 1 1B x x= − < ≤ A B =
[ ]1,1− ( ]1,1− ( )1,2- [ )1,2
( 1,2) ( 1,1]A A B= − ∴ ∩ = −
, ,a b c∈R a b>
a c b c+ ≥ − ac bc>
2
0c
a b
>−
2( ) 0a b c− ≥
C. “ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条件．
D. 命题“若 x2﹣3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为：“若 x≠1，则 x2﹣3x+2≠0”．
【答案】C
【解析】
对于命题 p:∀x∈R,x2+x+1>0,则¬p: ∃x0∈R，x02+x0+1≤0，是真命题；
“x=1”是“x2−3x+2=0“的充分不必要条件，是真命题；
若 c=0 时，不成立，是假命题；
命题“若 x2−3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为：“若 x≠1,则 x2−3x+2≠0”，是真命题；
故选：C.
4.已知等差数列 的前 n 项和为 ，则
A. 140 B. 70 C. 154 D. 77
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等差数列的前 n 项和公式 ，及等差数列的性质 ，即可
求出结果.
【详解】 等差数列 的前 n 项和为 ，
.
故选 D.
【点睛】本题考查等差数列的前 n 项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.
5.已知双曲线 （a>0，b>0）的离心率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由双曲线 （a>0，b>0）的离心率为 ，得： ，即
{ }na 5 7 14nS a a+ =， ( )11S =
1 11
11= 112
a aS
+ ⋅ 1 11 5 7=a a a a+ +
{ }na 5 7 14nS a a+ =，
∴ 5 71 11
11
14= 11= 11= 11 772 2 2
a aa aS
++ ⋅ ⋅ ⋅ =
2 2
2 2 1x y
a b
− = 5
2
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
1
2
3
3
3
2
2
2
2 2
2 2 1x y
a b
− = 5
2
2 2
2
5
4
a b
a
+ = 2 24b a=
∴椭圆 的离心率为
故选：C
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方
程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程
或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
6.函数 ， 的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数 的奇偶性排除选项 A，C，然后取特殊值 ，计算 判断即
可得结果.
【详解】 ，定义域关于原点对称，
∵ ，
所以 为偶函数，即图象关于 轴对称，则排除 A，C，
当 时， ，故排除 D，故选 B．
【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；
已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排
出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2 2 2
2 2
3 3
4 2
a b b
a b
− = =
( ) sinf x x x= [ , ]x π π∈ −
( ) sinf x x x=
2x
π=
2f
π
[ ],x π π∈ −
( ) ( ) ( ) ( )sin sinf x x x x x f x− = − − = =
( )f x y
2x
π= 02 2 2 2f sin
π π π π = = >
所对应的函数值或其符号，其中包括 等.
7.将函数 图象向左平移 个单位长度，则平移后新函数图象对称轴方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用图像左右平移的规律,得到平移后的函数图像对应的解析式,之后结合余弦函数图形的对
称性,应用整体角思维得到结果.
【详解】将函数 图象向左平移 个单位长度，可得 ,
即 ,令 ,解得 ,
则平移后图像的对称轴方程为 ,
故选 A.
【点睛】该题考查的是有关函数图像的平移变换，以及 的图像和性质，
结合余弦曲线的对称轴，求得结果.
8.在 中， 边上的中线 的长为 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由 题 意 得
【点睛】
本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基
底表示。
9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
, , 0 , 0x x x x+ −→ +∞ → −∞ → →
2cos2y x=
6
π
( )
6 2
kx k Z
π π= − + ∈ ( )π π
12 2
kx k Z= - + Î
( )
6 2
kx k Z
π π= + ∈ ( )
12 2
kx k Z
π π= + ∈
2cos2y x=
6
π
2cos2( )6y x
π= +
2cos(2 )3y x
π= + 2 ,3x k k Z
π π+ = ∈ ,2 6
kx k Z
π π= − ∈
,2 6
kx k Z
π π= − ∈
cos( )y A xω ϕ= +
ABC∆ BC AD 3 2 6BC = AB AC⋅ =
1− 1 2 3
2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6 9) 3AB AC DB DA DC DA DB DA DB DA DB DA⋅ = − ⋅ − = − ⋅ − − = − − = − − =
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由三视图分析可知此几何体为底面是直角三角形，其中一条侧棱垂直与底面的三
棱 锥 。 底 面 三 角 形 两 直 角 边 分 别 为 3 、 4 ， 棱 锥 高 为 6. 则 棱 锥 体 积 为
。故 A 正确。
考点：1 三视图；2 棱锥体积公式。
10.已知 ,点 是圆 上任意一点，则 面积的最大值为
（ ）
A. 8 B. C. 12 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由三角形面积公式可得，只需求出 到直线 的距离最大值即可得结果.
【详解】由两点间距离公式可得 ,
由两点式可得直线 方程为 ,
圆心 到直线 的距离 ,
圆的半径 ,
所以点 到直线 距离的最大值为 ，
面积的最大值为 ，故选 C.
【点睛】本题主要考查圆的方程与性质、点到直线距离公式的应用以及解析几何求最值，属
12 36 24 72
1 1 3 4 6 123 2V = × × × × =
( ) ( )4,0 , 0,4A B− C 2 2 2x y+ = ABC∆
4 2 6 2
C AB
4 2AB =
AB 4 0x y− + =
( )0,0 4 0x y− + = 4 2 2
2
d = =
2r =
C AB 3 2d r+ =
ABC∆ 1 3 2 122 AB× × =
于中档题.解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线
的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问
题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法
以及均值不等式法.
11.双曲线 的左、右焦点分别是 ，过 作倾斜角为 的直
线交双曲线右支于 点，若 垂直于 轴，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由已知可设 ，代入双曲线方程可求得 ；∴ ，化简
可得双曲线的离心率 .
考点：双曲线的定义、离心率的求法.
12.已知函数 的图像为曲线 C，若曲线 C 存在与直线 垂直的切线，
则实数 m 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为 有解，
即可得到结论.
【详解】由题意，函数 的导数 ，
若曲线 C 存在与直线 垂直的切线，则切线的斜率为 ，
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1 2F F， 1F 30
M 2MF x
3 5 6 2
( )0,M c y
2
0
by a
= 00 tan302
y
c
=
3e =
( ) 2 3xf x e mx= − + 1
3y x=
3 +2
∞ ， 3, 2
−∞
2, 3
−∞
2, 3
−∞
2 3xe m− = −
( )f x ( ) 2xf x e m′ = −
1
3y x= 2xk e m= −
满足 ，即 有解，
因为 有解，又因为 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 ，故选 A.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及方程的有解问题，其中解答中把曲线
存在与直线 垂直的切线，转化为 有解是解答的关键，着重考查了分
析问题和解答问题的能力.
二、填空题
13.已知 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用 的几何意义，即可得到结论．
【详解】解：作出 ， 满足约束条件 的对应的平面区域如图：
由 得 ，
平移直线 ，
由图象可知当直线 经过点 时，直线的纵截距最小，
1 ( 2 ) 13
xe m− = − 2 3xe m− = −
2 3xm e= + 3 3xe + > 3
2m >
m 3( , )2
+∞
C 1
3y x= 2 3xe m− = −
x y
3 3 0
0
4 0
x y
x y
x y
+ − ≥
− ≤
+ − ≤
2z x y= +
9
4
z
x y
3 3 0
0
4 0
x y
x y
x y
+ − ≥
− ≤
+ − ≤
2z x y= + 2y x z= − +
2y x z= − +
2y x z= − + A
此时 最小，由 解得 ，
此时 ，
故答案 ： ．
【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解
决此类问题的基本方法．
14.动点 椭圆 上，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足
.则点 的轨迹方程______.
【答案】
【解析】
【分析】
设 ， ， ， 根 据 题 意 列 出 等 式 ， 然 后 根 据 在 椭 圆
上，代入即得。
【详解】解：令 ， ，
则 ，
即 代入 可得 即
故答案为：
【点睛】本题考查相关点法求轨迹方程，属于基础题。
15.已知函数 是定义在 R 上的偶函数，且在 上单调递增，若 ，实数
满足 ，则 的最小值为________．
【答案】1
为
z
3 3 0
0
x y
x y
+ − =
− =
3 3,4 4A
3 3 924 4 4z = × + =
9
4
M
2
2: 12
xC y+ = M x N P
2NP NM= P
2 2 2x y+ =
( )0 0,M x y ( )0 ,0N x ( ),P x y M
2
2: 12
xC y+ =
( )0 0,M x y ( )0 ,0N x ( ),P x y
( )0 ,NP x x y= − ( )00,NM y=
2NP NM=
( ) ( )0 0, 2 0,x x y y∴ − =
0
0
0
2
x x
y y
− =∴ =
0
0
2
2
x x
y y
=∴ =
2
2 12
x y+ =
2 2
12 2
x y+ = 2 2 2x y+ =
2 2 2x y+ =
( )f x [ )0,+∞ ( )3 0f − =
a ( )2 5 0f a − ≤ a
【解析】
【分析】
由 题 意 得 ， 结 合 偶 函 数 的 单 调 性 和 对 称 性 ， 可 把 不 等 式 转 化 为
，然后得到 ，解不等式可得所求最小值．
【详解】依题意知 的图象关于 轴对称，且有 ．
因为偶函数 在 上是单调递增的，
所以由 ，得 ，
即 ，解得 ，
所以 的最小值为 1．
故答案 ：1．
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，解题时可把函数值的大小的问题转化为变量
到对称轴的距离的问题求解，利用数形结合进行解题是解答本题的关键和突破口，属于基础
题．
16.已知在直角梯形 中， ， ， ，将直角
梯形 沿 折叠，使平面 平面 ，则三棱锥 外接球的体积为
__________．
【答案】
【解析】
结合题意画出折叠后得到的三棱锥 如图所示，由条件可得在底面 中，
。 取 AB 的 中 点 O ， AC 的 中 点 E ， 连 OC,OE 。 则
.
∵ ,
∴ .
为
( ) ( )3 3 0f f= − =
( ) ( ) ( )2 5 2 5 0 3f a f a f− = − ≤ = 2 5 3a − ≤
( )f x y ( ) ( )3 3 0f f= − =
( )f x [ )0,+∞
( ) ( ) ( )2 5 2 5 0 3f a f a f− = − ≤ = 2 5 3a − ≤
3 2 5 3a− ≤ − ≤ 1 4a≤ ≤
a
ABCD AB AD⊥ CD AD⊥ 2 2 4AB AD CD= = =
ABCD AC BAC ⊥ DAC D ABC−
32
3
π
D ABC− ACB∆
90 , 2 2ACB AC BC∠ = ° = =
1 22OA OB OC AB= = = =
DA DC=
DE AC⊥
∵平面 平面 ,
∴ 平面 ,
∴ .
又 .
∴ .
∴ .
∴点 O 为三棱锥 外接球的球心，球半径为 2.
∴ 。答案： 。
点睛：
（1）本题是一道关于求三棱锥外接球体积的题目，得到外接球的球心所在位置是解题的关
键，结合题意取 AB 的中点 O，易得 OA=OB=OC=OD=2，进而可确定三棱锥外接球的半径，
然后利用球的体积公式进行计算即可。
（2）对于折叠性问题，要注意折叠前后的两个图形中哪些量（位置关系、数量关系）发生
了变化、哪些没发生变化。
三、解答题
17.已知函数 ， ．
（1）求函数 的单调增区间；
（2）求方程 在(0， ]内的所有解．
【答案】（1） , ；（2） 或
【解析】
【分析】
先将 进行恒等变换化为正弦型函数，（1）直接利用正弦函数的单调增区间得到
, ，解得 x 的范围即可.
（2）令 ，解得 x 的值，对 k 进行赋值，使得 x 落在 内，即得结果.
【详解】
BAC ⊥ DAC
DE ⊥ DAC
DE OE⊥
1 1= 2, 22 2DE AC OE BC= = =
2 2 2OD OE DE= + =
2OA OB OC OD= = = =
D ABC−
34 32= 23 3V
ππ × =球
32
3
π
( ) 2 2cos 2 3sin cos sinf x x x x x= + − x∈R
( )f x
( ) 0f x = π
[ ,3 6k k
π π− + π + π] k Z∈ 5
12x
π= 11
12
π=x
( )f x
2 2 22 6 2k x k
π π ππ π− + ≤ + ≤ + k Z∈
( ) 0f x = ( ]0,π
( ) 2 2cos 2 3sin cos sinf x x x x x= + − 3sin2 cos2 2sin 2 6x x x
π = + = +
（1）由 , ，解得： , .
∴函数 的单调增区间为 ,
（2）由 得 ，解得： ，即 ,
∵ ，∴ 或 ．
【点睛】本题考查了三角函数求值的运算问题，考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，是
基础题．
18.已知数列 是等差数列，前 项和为 ，且 ， ．
（1）求 ．
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)由数列 是等差数列，所以 ，解得 ，又由 ，解得 ，
即可求得数列的通项公式；
(2)由（1）得 ，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前 n 项
和．
【详解】(1)由题意，数列 等差数列，所以 ，又 ， ，
由 ，得 ，所以 ，解得 ，
所以数列的通项公式为 ．
(2)由（1）得 ，
，
，
两式相减得 ，
是
2 2 22 6 2k x k
π π ππ π− + ≤ + ≤ + k Z∈
3 6k x k
π ππ π− + ≤ ≤ + k Z∈
( )f x ,3 6k k
π ππ π − + + k Z∈
( ) 0f x = 2sin 2 06x
π + = 2 6x k
π π+ =
12 2
kx
π π= − + k Z∈
( ]0,x π∈ 5
12x
π= 11
12x
π=
{ }na n nS 5 33S a= 4 6 8a a+ =
na
2n
n nb a= ⋅ { }nb n nT
( )2 3na n= − 2( 4) 2 16n
nT n += − ⋅ +
{ }na 5 35S a= 3 0a = 4 6 58 2a a a+ = = 2d =
( ) 12 3 2n n
n nb a n += ⋅ = − ⋅
{ }na 5 35S a= 5 33S a= 3 0a∴ =
4 6 58 2a a a+ = = 5 4a = 5 3 2 4a a d− = = 2d =
( ) ( )3 3 2 3na a n d n= + − = −
( ) 12 3 2n n
n nb a n += ⋅ = − ⋅
( ) ( ) ( )2 3 4 12 2 1 2 0 2 3 2n
nT n += − ⋅ + − ⋅ + ⋅ + + − ⋅
( ) ( ) ( ) ( )3 4 1 22 2 1 2 4 2 32 2n n
nT n n+ += − ⋅ + − ⋅ + + − ⋅ + − ⋅
( ) ( )2 3 4 1 22 2 2 2 2 2 3 2n n
n nT T n+ +− = ⋅ − + + + + − ⋅
，
即 ．
【点睛】本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问
题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之
后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本
计算能力等.
19.在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 .
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由正弦定理得到 ，再由三角形的内角间的关系得到
， 解 得 ， 进 而 得 到 结 果 ； （ Ⅱ ） 结 合 余 弦 定 理 得 到
，代入参数值得到 ，根据三角形面积公式得到结果即
可.
【详解】（Ⅰ）根据正弦定理， ，
整理得 ，
即 ，
而 ，所以 ，解得 ，
又 ，故 ；
（Ⅱ）根据余弦定理， ，
又 ， ， ，
( )1
2 28 1 2
8 ( 3) 2 ( 4) 2 161 2
n
n nn n
−
+ +
−
− + − ⋅ = − ⋅ += −
2( 4) 2 16n
nT n += − ⋅ +
ABC∆ A B C a b c 2 cos
cos
b c C
a A
− =
A
14a = 4 2b c+ = ABC∆
3A
π= 3 3
2ABCS∆ =
( )2sin cos sinB A A C⋅ = +
2sin cos sinB A B⋅ = 1cos 2A =
( )22 2 2 cosa b c bc bc A= + − − 6bc =
2 cos 2sin sin cos
cos sin cos
b c C B C C
a A A A
− −= ⇔ =
2sin cosB A⋅ = cos sin sin cosC A C A⋅ + ⋅
( )2sin cos sinB A A C⋅ = +
A C Bπ+ = − 2sin cos sinB A B⋅ = 1cos 2A =
( )0,A π∈
3A
π=
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − = ( )2 2 2 cosb c bc bc A+ − −
14a = 4 2b c+ =
3A
π=
故 ，解得 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理 应用与特殊角的三角函数，属于简单
题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2）
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角
函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应
用.
20.如图，在 中， ， ， 是 上的高，沿 把
折起，使 .
(Ⅰ)证明：平面 ⊥平面 ；
(Ⅱ)若 ，求三棱锥 的表面积．
【答案】(Ⅰ)证明详见解析；(Ⅱ) .
【解析】
【详解】试题分析：（1）注意折叠前后的不变量，尤其是没有变化的直角，折叠前有
AD^BD,AD^CD,折叠后仍然成立，可推得 AD^面 BCD,进一步可得平面 ABD^平面 BDC；
（2）由（1）可知 AD 为三棱锥的高，底面三角形为直角三角形，根据体积公式即可求得.
试题解析：（1）∵折起前 是 边上的高，
∴当 折起后， ，
又 ， ∴ 平面 ，
又∵ 平面 , ∴平面 平面 ；
（2）由（1）知 ，又∵ ，
的
( ) ( )2 2 114 4 2 2 2 2bc bc= − − × 6bc =
1 1 3 3sin 6 sin2 2 3 2ABCS bc A
π
∆ = ⋅ = × × =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 2
cos 2
b c aA bc
+ −=
30 ,45 ,60o o o
ABC∆ 045ABC∠ = 090BAC∠ = AD BC AD
ABD∆ 090BDC∠ =
ADB BDC
1BD = D ABC−
3 3
2S
+=
AD BC
ABD∆ ,AD DC AD BD⊥ ⊥
BD DC D= AD ⊥ BDC
AD BDC BDC
,AD DC AD BD⊥ ⊥
,
由（1）知, 平面 , 又∵ .
为全等的等腰直角三角形， 为边长为 的等边三角形，
考点：面面垂直的判定，三棱锥的体积.
【此处有视频，请去附件查看】
21.已知椭圆 的离心率为 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 2，
（1）试求椭圆 的方程；
（2）若斜率为 的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 为椭圆 上一点，记直
线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，试问： 是否为定值？请证明你的结论
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
分析：（1）由条件得 a,c，解得 b,即得椭圆标准方程，（2）设 C,D 坐标，根据斜率公式得
，设直线方程并与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理代入化简可得 为定值.
详解：（1） ． ，椭圆 的方程为
（2）设直线 的方程为： ，
联立直线 的方程与椭圆方程得：
AD ⊥ BDC
, ,DAB DAC DBC ABC△ 2
1 3 3 33 1 1 22 4 2S
+= × × × + × =
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
M
1
2 l M C D 3(1 )2P ， M
PC 1k PD 2k 1 2k k+
2 2
14 3
x y+ =
1 2k k+ 1 2k k+
l
（1）代入（2）得：
化简得： ………（3）
当 时，即，
即 时，直线 与椭圆有两交点，
由韦达定理得： ，
所以， ，
则
， 。
点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利
用韦达定理或求根公式进行转化.
22.已知函数
(Ⅰ)当 时，求 的极值；
(Ⅱ)若 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围。
【答案】(Ⅰ) 极小值 ，无极大值（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)将 代入原函数，再对 求导，用导数的方法判断 的单调性，进而可得
出其极值；
(Ⅱ)先对 求导，根据题意得到 在 恒成立；分离参数
得到 在 恒成立，再设 ，只需用导数的方法
l
1 2k k+所以 为定值
( ) 21 +2 ln2f x ax x x= −
3a = ( )f x
( )f x 1[ ,3]2
a
5 ln36
+ [0, )+∞
3a = ( )f x ( )f x
( )f x ( ) 1+2 0f x ax x
′ = − ≥ 31[ ]2 ,x ∈
2
1 2a x x
≥ − 31[ ]2 ,x ∈ 2
1 2 1( ) ( 3)2g x xx x
= − ≤ ≤
求出 在 上的最大值即可.
【详解】解：（I）当 时， ，
，
令 ，有
随 的变化情况如下表：
极小
由上表易知，函数 在 时取得极小值 ，无极大值；
（II）由 ，有 ，
由题设 在区间 上是增函数，可知 在 恒成立；
故 在 恒成立，
设 ，则只需 ，
，令 ，有 ，
随 的变化情况如下表：
极小
( )g x 31[ ]2 ,x ∈
3a = ( ) 23 +2 ln2f x x x x= −
( ) 21 3 2 13 +2 ( 0)x xf x x xx x
+ −′ = − = >
( ) 0f x′ = 2 13 2 1 0 ( 0)3x x x x+ − = ⇒ = >
( ), ( )f x f x′ x
x 1(0, )3
1
3
1( , )3
+∞
( )g x′ 0
( )g x
y 1
3x = 1 1 2 1 5( ) ln ln33 6 3 3 6f = + − = +
( ) 21 +2 ln2f x ax x x= − ( ) 1+2 ( 0)f x ax xx
′ = − >
( )f x 1[ ,3]2
( ) 1+2 0f x ax x
′ = − ≥ 31[ ]2 ,x ∈
2
1 2a x x
≥ − 31[ ]2 ,x ∈
2
1 2 1( ) ( 3)2g x xx x
= − ≤ ≤ max( )a g x≥
3 2 3
2 2 2( 1)( ) xg x x x x
−′ = − + = ( ) 0g x′ = 1x =
( ), ( )g x g x′ x
x 1
2
1( ,1)2 1 (1,3) 3
( )g x′ 0
( )g x
又 ， ，故 ，故
实数 的取值范围为 。
【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性、
极值、最值等，属于常考题型.
1( ) 02g = 5(3) 9g = − max
1( ) ( ) 02g x g= = 0a ≥
a [0, )+∞
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