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- 2021-06-15 发布
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2020届一轮复习人教B版 极坐标系 作业
1.已知点M的极坐标是,它关于直线θ=的对称点的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析:选B 在极坐标系中,描点时,先找到角-的终边,再在其反向延长线上找到离极点2个单位长度的点,即为点.直线θ=就是极角为的那些点的集合.故M关于直线θ=对称的点为,但选项中没有此点,还可以写成,故选B.
2.点M的直角坐标为(-,-1),化为极坐标是( )
A. B.
C. D.
解析:选B ∵点M的直角坐标为(-,-1),∴ρ==2,又点M位于第三象限,且tan θ==,∴可取θ=,故选B.
3.极坐标系中的点A到圆x2+y2-2x=0的圆心的距离为( )
A.2 B.1
C.3 D.
解析:选D 点A的极坐标化为直角坐标为(1,),圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),由两点间的距离公式得所求距离为.
4.在复平面内,设点P对应的复数为1+i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析:选A 设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),
∵点P的直角坐标为(1,1),
∴ρ=|OP|=,θ=,故选A.
5.在极坐标系中,作出下列各点:
A,B,C,D,E(4,0),F(2.5,π).
【解】 各点描点如下图.
6.极坐标系中,点A的极坐标是(3,),求点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标.
【解】 极坐标系中的点(ρ,θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ,(2k+1)π-θ)(k∈Z),利用此,即可写出其中一个为(3,).
7.已知点M的极坐标为,若限定ρ>0,0≤θ<2π,求点M的极坐标.
【解】 ∵(-ρ,θ)与(ρ,θ+π)表示同一点,
∴(-2,)与(2,)为同一点的极坐标,故点M的极坐标为(2,).
8.在极坐标中,若等边△ABC的两个顶点是A、B,那么顶点C的坐标是多少?
【解】 如右图,由题设可知A、B两点关于极点O对称,即O是AB
的中点.
又AB=4,△ABC为正三角形,OC=2,∠AOC=,C对应的极角θ=+=或θ=-=-,
即C点极坐标为
或.
9.设有一颗彗星,围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为30(万千米)时,经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为,试建立适当的极坐标系,写出彗星此时的极坐标.
【解】 如图所示,建立极坐标系,使极点O位于抛物线的焦点处,极轴Ox过抛物线的对称轴,由题设可得下列四种情形:(1)当θ=时,ρ=30(万千米);(2)当θ=时,ρ=30(万千米);(3)当θ=时,ρ=30(万千米);(4)当θ=时,ρ =30(万千米).
彗星此时的极坐标有四种情形:(30,),(30,),(30,),(30,).
10.已知A、B两点的极坐标分别是、,求A、B两点间的距离和△AOB的面积.
【解】 求两点间的距离可用如下公式:
AB=
==2.
S△AOB=|ρ1ρ2sin(θ1-θ2)|
=|2×4×sin(-)|=×2×4=4.
11.已知定点P.
(1)将极点移至O′处极轴方向不变,求P点的新坐标;
(2)极点不变,将极轴顺时针转动角,求P点的新坐标.
【导学号:98990005】
【解】 (1)设P点新坐标为(ρ,θ),如图所示,由题意可知OO′=2,OP=4,∠POx=,
∠O′Ox=,
∴∠POO′=.
在△POO′中,
ρ2=42+(2)2-2·4·2·cos =16+12-24=4,∴ρ=2.又∵=,
∴sin∠OPO′=·2=,
∴∠OPO′=.
∴∠OP′P=π--=,
∴∠PP′x=.
∴∠PO′x′=.
∴P点的新坐标为(2,).
(2)如图,设P点新坐标为(ρ,θ),
则ρ=4,θ=+=.
∴P点的新坐标为(4,).
[能力提升]
12.已知△ABC三个顶点的极坐标分别是A,B,C,试判断△ABC的形状,并求出它的面积.
【解】 ∵C(4,),∠AOB=-=,
且AO=BO,
所以△AOB是等边三角形,
AB=5,
BC= =,
AC= =,
∵AC=BC,
∴△ABC为等腰三角形,
AB边上的高为4+5×=,
∴S△ABC=×5×=.