广东省广州市实验中学、执信中学2018届高三10月联考数学（理）试题（含解析）(1) 21页

广东省实验中学2018届高三上学期10月段测试 数学（理科）‎ 第一卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．复数（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎2．等差数列中，，为等比数列，且，则的值为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】等差数列中，，又，‎ 所以，‎ 解得或（舍去），‎ 所以，‎ 所以．‎ 故选．‎ ‎3．已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（ ）．‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若函数有零点，‎ 则，‎ 当时，函数在上为减函数不成立，即充分性不成立，‎ 若在上是减函数，则，‎ 此时函数有零点成立，即必要性成立，‎ 故“函数有零点”是“函数在上是减函数”的必要不充分条件．‎ 故选．‎ ‎4．下面给出四种说法：‎ ‎①设、、分别表示数据、、、、、、、、、的平均数、中位数、众数，则；[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎②在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于，表示回归的效果越好；‎ ‎③绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；‎ ‎④设随机变量服从正态分布，则．‎ 其中不正确的是（ ）．‎ ‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：①将数据按从小到大的顺序排列为：‎ ‎、、、、、、、、、，‎ 中位数：；‎ ‎；‎ 这组数据的平均数是．‎ 因为此组数据中出现次数最多的数是，‎ 所以是此组数据的众数；‎ 则；‎ ‎②越接近于，表示回归的效果越好，正确；‎ ‎③根据频率分布直方图的意义，因为小矩形的面积之和等于，频率之和也为，‎ 所以有各小长方形的面积等于相应各组的频率；故③错；‎ ‎④∵随机变量服从正态分布，‎ ‎∴正态曲线的对称轴是，‎ ‎∴．故④正确．‎ 故选．‎ ‎5．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是该几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为的圆柱的一半，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎6．对于实数，若函数图象上存在点满足约束条件，则实数的最小值为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【分析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形，观察图形可得函数的图象与直线交于点，当点与该点重合时图象上存在点满足不等式组，且此时达到最小值，由此即可得到的最小值．‎ ‎【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形，‎ 其中，再作出指数函数的图象，[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ 可得该图象与直线交于点，‎ 因此，当点与重合时，图象上存在点满足不等式组，‎ 且此时达到最小值，即的最小值为．‎ 故选．‎ ‎7．有一个球的内接圆锥，其底面圆周和顶点均在球面上，且底面积为．已知球的半径，则此圆锥的侧面积为（ ）．‎ ‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆锥，是底面圆心，为球心，‎ ‎，∴，‎ ‎①如图①，，[在上]，‎ ‎∴，‎ ‎．【注意有文字】‎ ‎②如图②，，‎ ‎∴，‎ ‎∴【注意有文字】‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎8．已知双曲线，过点的直线与相交于，两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解法一：，，‎ 由的中点为，‎ 则，，‎ 由，两式相减得：‎ ‎，‎ 则，‎ 由直线的斜率，‎ ‎∴，则，‎ 双曲线的离心率，‎ ‎∴双曲线的离心率为．‎ 解法二：设，，‎ 则，‎ 两式相减得：，‎ 由直线的斜率，‎ 直线的斜率，‎ ‎∴，则，‎ 双曲线的离心率，‎ ‎∴双曲线的离心率为．‎ 故选．‎ ‎9．在正方体中，，分别是棱，的中点，是与的交点，面与面相交于，面与面相交于，则直线，的夹角为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示：‎ ‎∵，分别是棱，的中点，故，‎ 则面即为平面与平面相交于，即直线，‎ 由，可得平面，故面与面相交于时，‎ 必有，即，即直线，的夹角为．‎ 故选．‎ ‎10．已知函数，给出下列四个命题：‎ ‎①函数的图象关于直线对称；‎ ‎②函数 在区间上单调递增；‎ ‎③函数 的最小正周期为；‎ ‎④函数 的值域为．‎ 其中真命题的序号是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：对于函数，由于，，‎ ‎∴， 故的图象不关于直线对称，故排除①．‎ 在区间上，，，单调递增，故②正确．‎ 函数，，∴，故函数的最小正周期不是，故③错误．‎ 当时，，‎ 故它的最大值为，最小值为；当时，‎ ‎，‎ 综合可得，函数的最大值为，最小值为，故④正确．‎ 故选．‎ ‎11． 在抛物线与直线围成的封闭图形内任取一点，为坐标原点，则直线被该封闭图形解得的线段长小于的概率是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 抛物线与直线围成的面积为 ‎【注意有文字】‎ ‎，‎ 以为原点，为半径的圆与抛物线分别交于，两点，‎ 则，圆的方程为，[来源:Z#xx#k.Com]‎ 故点只有在红色区域内时，‎ 直线被直线被该封闭图形解得出的线段长小于，‎ 由，解得或，‎ ‎∴，，‎ ‎∴直线，的解析式分别为或，‎ ‎∴红色区域面积，‎ ‎【注意有文字】‎ ‎，‎ ‎∴直线被该封闭图形解得的线段长小于 的概率．【注意有文字】‎ 故选．‎ ‎12． 若函数在上存在两个极值点，则的取值范围为（ ）．‎ ‎ A． B．C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数在上存在两个极值点， ‎ 等价于在上有两个零点，‎ 令，则，‎ 即，‎ ‎∴或，‎ ‎∴满足条件，且（其中且，‎ ‎∴，其中，‎ 设，其中，‎ 则，‎ ‎∴函数是单调增函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ 第二卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知，，，则，，的大小是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由 ‎，‎ 且，，‎ 即，故，‎ 由，可得，故，‎ 由，且，‎ 故．‎ ‎14．已知平面向量，的夹角为，且，．若平面向量满足，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，‎ 设，，‎ 则，，‎ 再设，‎ 由，‎ 得，‎ 解得．‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎15．展开式中，常数项是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】据二项展开式的通项公式求得第项，令的指数为得常数项，‎ 展开式的通项为，‎ 令得，‎ 故展开式的常数项为．‎ 故答案为：．‎ ‎16．设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵构造，则，‎ 由题意可得，‎ 故数列是为首项，为公差的等差数列，‎ 故，‎ 故，，，，，，‎ 以上个式子相加可得 解得 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ 则．‎ 故答案为：．‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程）‎ ‎17．（本小题满分分）已知函数．‎ ‎（）若，求的值．‎ ‎（）在中，角，，的对边分别是，，，且满足，求的取值范围．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（）由题意得：函数 ‎，‎ ‎∴，即，‎ 则 ‎．‎ ‎（）在中，由可得 ‎，即，‎ ‎∴，‎ 再由，可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎18．（本小题满分分）某大学生从全校学生中随机选取名统计他们的鞋码大小，得到如下数据： ‎ 鞋码 合计 男生 女生 以各性别各鞋码出现的频率为概率．‎ ‎（）从该校随机挑选一名学生，求他（她）的鞋码为奇数的概率．‎ ‎（）为了解该校学生考试作弊的情况，从该校随机挑选名学生进行抽样调查．每位学生从装有除颜色外无差别的个红球和个白球的口袋中，随机摸出两个球，若同色，则如实回答其鞋码是否为奇数；若不同色，则如实回答是否曾在考试中作弊．这里的回答，是指在纸上写下“是”或“否”．若调查人员回收到张“是”的小纸条，试估计该校学生在考试中曾有作弊行为的概率．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解： （）由题意知，样本中鞋码为奇数的同学共人， 故所求概率即为所求概率：．‎ ‎（）摸球实验中，两球同色的概率为，‎ 两球异色的概率为，‎ 设所求概率为，结合（）的结果，‎ 有，解得，‎ 即所求概率为．‎ ‎19．（本小题满分分）‎ 如图，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，得到如图所示的几何体．‎ ‎（）求证：平面．‎ ‎（）若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎（）因为平面平面，平面平面，‎ 又，所以平面，‎ 因为平面，所以，‎ 又因为折叠前后均有，，，‎ 所以平面．‎ ‎（）由（）知平面，‎ 所以二面角的平面角为，‎ 又平面，平面，所以，‎ 依题意，‎ 因为，所以，‎ 设，则，‎ 依题意，所以，‎ 即，解得，‎ 故，，，‎ 如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 所以，，‎ 由（）知平面的法向量，，‎ 设平面的法向量，由，得 ‎，‎ 令，得，，‎ 所以， ‎ 所以，‎ 由图可知二面角的平面为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎20．（本小题满分分）已知点，点是圆上的任意一点，设为该圆的圆心，并且线段的垂直平分线与直线交于点．‎ ‎（）求点的轨迹方程．‎ ‎（）已知，两点的坐标分别为，，点是直线上的一个动点，且直线，分别交（）中点的轨迹于，两点（，，，四点互不相同），证明：直线恒过一定点，并求出该定点坐标．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（）∵，且，‎ ‎∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，‎ 设椭圆方程为，则，，‎ ‎∴，，‎ 所以点的轨迹方程为：．‎ ‎（）根据题意设直线的方程为：， ‎ 代入椭圆方程得：，‎ 设，，则，，‎ ‎∵直线方程为，直线方程为，‎ 由题知，的交点的横坐标为，‎ ‎∴，即，‎ 即：，[来源:Z&xx&k.Com]‎ 整理得：，‎ ‎∴，‎ 化简可得：，‎ ‎∵当，变化时，上式恒成立，∴，‎ ‎∴直线恒过一定点．‎ ‎21．已知函数，．‎ ‎（）设曲线在处的切线为，到点的距离为，求的值．‎ ‎（）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围．‎ ‎（）当时，是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（），，‎ 在处的切线斜率为，‎ ‎∴切线的方程为，即，‎ 又点到切线的距离为，‎ ‎∴，‎ 解之得，或．‎ ‎（）∵，恒成立，‎ 若，恒成立，‎ 若，恒成立，‎ 即，在上恒成立，‎ 设，则，‎ 当时，，则在上单调递增，‎ 当时，，则在上单调递减，‎ ‎∴当时， 取得最大值，，‎ ‎∴的取值范围为．‎ ‎（）根据题意，曲线的方程为，‎ 令，‎ ‎∴，‎ 设，‎ 则，‎ 当时，，故在上单调增函数，‎ 因此在上的最小值为，‎ 即，‎ 又时，，，‎ ‎∴，‎ 曲线在点处的 切线与轴垂直等价于方程有实数解，‎ 但是，没有实数解，‎ 故不存在实数，使曲线 在点处的切线与轴垂直． ‎ ‎22．（本小题满分分）‎ 选修：坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴．已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，射线，，，与曲线分别交异于极点的四点，，，．‎ ‎（）若曲线关于曲线对称，求的值，并把曲线和化成直角坐标方程．‎ ‎（）求，当时，求的值域．‎ ‎【答案】见解析．[来源:学,科,网]‎ ‎【解析】坐标系与参数方程：（），‎ 即，化为直角坐标方程为．‎ 把的方程化为直角坐标方程为，‎ 因为曲线关于曲线对称，故直线经过圆心，‎ 解得，故的直角坐标方程为．‎ ‎（）当时，，，‎ ‎，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 的值域为．‎ ‎23． 已知函数，．‎ ‎（）解不等式．‎ ‎（）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（）由，得，‎ ‎∴，‎ 得不等式的解为．‎ ‎（）因为任意，都有，使得成立，‎ 所以，‎ 又，‎ ‎，所以，‎ 解得或，‎ 所以实数的取值范围为或．‎