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- 2021-06-15 发布
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2014·陕西卷(文科数学)
1.[2014·陕西卷] 设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=( )
A.[0,1] B.(0,1) C.(0,1] D.[0,1)
1.D [解析] 由M={x|x≥0},N={x|x2<1}={x|-10,f(x)在(e,+∞)上单调递增.
∴x=e时,f(x)取得极小值f(e)=ln e+=2,
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题设g(x)=f′(x)-=--(x>0),
令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0),
设φ(x)=-x3+x(x≥0),
则φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),
当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;
当x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.
∴x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,
∴φ(x)的最大值为φ(1)=.
又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图像(如图所示),可知
①当m >时,函数g(x)无零点;
②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;
③当0时,函数g(x)无零点;
当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;
当0a>0,<1恒成立,
等价于f(b)-b0),
∴(*)等价于h(x)在(0,+∞)上单调递减.
由h′(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,
得m≥-x2+x=-+(x>0)恒成立,
∴m≥,
∴m的取值范围是.
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