2012年辽宁省高考数学试卷（理科） 29页

‎2012年辽宁省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁UA）∩（∁UB）=（　　）‎ A．{5，8} B．{7，9} C．{0，1，3} D．{2，4，6}‎ ‎2．（5分）复数=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）已知两个非零向量，满足|+|=|﹣|，则下面结论正确的是（　　）‎ A．∥ B．⊥ C．||=|| D．+=﹣‎ ‎4．（5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（　　）‎ A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0‎ C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0‎ ‎5．（5分）一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（　　）‎ A．3×3! B．3×（3!）3 C．（3!）4 D．9!‎ ‎6．（5分）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（　　）‎ A．58 B．88 C．143 D．176‎ ‎7．（5分）已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），则tanα的值是（　　）‎ A．﹣1 B． C． D．1‎ ‎8．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（　　）‎ A．20 B．35 C．45 D．55‎ ‎9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（　　）‎ A．﹣1 B． C． D．4‎ ‎10．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在上的零点个数为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎12．（5分）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（　　）‎ A．ex≤1+x+x2 B．‎ C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为　　．‎ ‎14．（5分）已知等比数列{an}为递增数列，且a52=a10，2（an+an+2）=5an+1，则数列{an}的通项公式an=　　．‎ ‎15．（5分）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为　　．‎ ‎16．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求cosB的值；‎ ‎（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．‎ ‎18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；‎ ‎（Ⅱ）若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角，求λ的值．‎ ‎19．（12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．‎ ‎（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）‎ P（ K2≥k）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎．‎ ‎20．（12分）如图，已知椭圆C0：，动圆C1：．点A1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．‎ ‎（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设动圆C2：与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．‎ ‎21．（12分）设f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切．‎ ‎（I）求a，b的值；‎ ‎（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．‎ ‎22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲 如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：‎ ‎（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；‎ ‎（Ⅱ）AC=AE．‎ ‎23．选修4﹣4：坐标系与参数方程 在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．‎ ‎（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；‎ ‎（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．‎ ‎24．选修4﹣5：不等式选讲 已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2012年辽宁省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2012•辽宁）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁UA）∩（∁UB）=（　　）‎ A．{5，8} B．{7，9} C．{0，1，3} D．{2，4，6}‎ ‎【分析】由题已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，可先求出两集合A，B的补集，再由交的运算求出（∁UA）∩（∁UB）‎ ‎【解答】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，‎ 所以CUA={2，4，6，7，9}，CUB={0，1，3，7，9}，‎ 所以（CUA）∩（CUB）={7，9}‎ 故选B ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•辽宁）复数=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，再进行复数的乘法运算，化成最简形式，得到结果．‎ ‎【解答】解：===，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•辽宁）已知两个非零向量，满足|+|=|﹣|，则下面结论正确的是（　　）‎ A．∥ B．⊥ C．||=|| D．+=﹣‎ ‎【分析】由于||和||表示以 、 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，再由|+|=|﹣|可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：由两个两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得，‎ ‎||和||表示以 、 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度．‎ 再由|+|=|﹣|可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，故有⊥．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•辽宁）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（　　）‎ A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0‎ C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0‎ ‎【分析】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项 ‎【解答】解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，‎ 故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（　　）‎ A．3×3! B．3×（3!）3 C．（3!）4 D．9!‎ ‎【分析】完成任务可分为两步，第一步，三口之家内部排序，第二步，三家排序，由分步计数原理计数公式，将两步结果相乘即可 ‎【解答】解：第一步，分别将三口之家“捆绑”起来，共有3！×3！×3！种排法；‎ 第二步，将三个整体排列顺序，共有3！种排法 故不同的作法种数为3！×3！×3！×3！=3!4‎ 故选 C ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•辽宁）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（　　）‎ A．58 B．88 C．143 D．176‎ ‎【分析】根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11= 运算求得结果．‎ ‎【解答】解：∵在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，‎ ‎∴a1+a11=a4+a8=16，‎ ‎∴S11==88，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•辽宁）已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），则tanα的值是（　　）‎ A．﹣1 B． C． D．1‎ ‎【分析】由条件可得 1﹣2sinαcosα=2，求得sin2α=﹣1，可得2α的值，从而求得tanα 的值．‎ ‎【解答】解：∵已知，∴1﹣2sinαcosα=2，即sin2α=﹣1，‎ 故2α=，∴α=，tanα=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•辽宁）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（　　）‎ A．20 B．35 C．45 D．55‎ ‎【分析】先画出满足约束条件 的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．‎ ‎【解答】解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：‎ 令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大 作直线l：2x+3y=0‎ 把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，‎ 由可得x=5，y=15，此时z=55‎ 故选D ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•辽宁）执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（　　）‎ A．﹣1 B． C． D．4‎ ‎【分析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当i=9＜9，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．‎ ‎【解答】解：第1次判断后循环，S=﹣1，i=2，‎ 第2次判断后循环，S=，i=3，‎ 第3次判断后循环，S=，i=4，‎ 第4次判断后循环，S=4，i=5，‎ 第5次判断后循环，S=﹣1，i=6，‎ 第6次判断后循环，S=，i=7，‎ 第7次判断后循环，S=，i=8，‎ 第8次判断后循环，S=4，i=9，‎ 第9次判断不满足9＜8，推出循环，输出4．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•辽宁）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设AC=x，则0＜x＜12，若矩形面积为小于32，则x＞8或x＜4，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比 ‎【解答】解：设AC=x，则BC=12﹣x，0＜x＜12‎ 若矩形面积S=x（12﹣x）＜32，则x＞8或x＜4‎ 即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，‎ 故该矩形面积小于32cm2的概率为P==‎ 故选 C ‎　‎ ‎11．（5分）（2012•辽宁）设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在上的零点个数为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【分析】利用函数的奇偶性与函数的解析式，求出x∈[0，]，x∈[]时，g（x）的解析式，推出f（0）=g（0），f（1）=g（1），g（）=g（‎ ‎）=0，画出函数的草图，判断零点的个数即可．‎ ‎【解答】解：因为当x∈[0，1]时，f（x）=x3．‎ 所以当x∈[1，2]时2﹣x∈[0，1]，‎ f（x）=f（2﹣x）=（2﹣x）3，‎ 当x∈[0，]时，g（x）=xcos（πx），‎ g′（x）=cos（πx）﹣πxsin（πx）；‎ 当x∈[]时，g（x）=﹣xcosπx，‎ g′（x）=πxsin（πx）﹣cos（πx）．‎ 注意到函数f（x）、g（x）都是偶函数，‎ 且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，‎ f（﹣）=f（）=，f（）=（2﹣）3=，‎ g（﹣）=g（）=g（）=0，g（1）=1，‎ g′（1）=1＞0，‎ 根据上述特征作出函数f（x）、g（x）的草图，‎ 函数h（x）除了0、1这两个零点之外，‎ 分别在区间[﹣，0]，[0，]，[，1]，[1，]上各有一个零点．‎ 共有6个零点，‎ 故选B ‎　‎ ‎12．（5分）（2012•辽宁）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（　　）‎ A．ex≤1+x+x2 B．‎ C． D．‎ ‎【分析】对于A，取x=3，e3＞1+3+32，；‎ 对于B，令x=1，，计算可得结论；‎ 对于C，构造函数，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，从而可得函数在[0，+∞）上单调增，故成立；‎ 对于D，取x=3，．‎ ‎【解答】解：对于A，取x=3，e3＞1+3+32，所以不等式不恒成立；‎ 对于B，x=1时，左边=，右边=0.75，不等式成立；x=时，左边=，右边=，左边大于右边，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；‎ 对于C，构造函数，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=﹣cosx+1≥0，∴h′（x）在[0，+∞）上单调增 ‎∴h′（x）≥h′（0）=0，∴函数在[0，+∞）上单调增，∴h（x）≥0，∴；‎ 对于D，取x=3，，所以不等式不恒成立；‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）（2012•辽宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为　38　．‎ ‎【分析】通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．‎ ‎【解答】解：由三视图可知，几何体是底面边长为4和3高为1的长方体，中间挖去半径为1的圆柱，‎ 几何体的表面积为：长方体的表面积+圆柱的侧面积﹣圆柱的两个底面面积．‎ 即S=2×（3×4+1×3+1×4）+2π×1﹣2×12π=38．‎ 故答案为：38．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2012•辽宁）已知等比数列{an}为递增数列，且a52=a10，2（an+an+2）=5an+1，则数列{an}的通项公式an=　2n　．‎ ‎【分析】通过，求出等比数列的首项与公比的关系，通过2（an+an+2）=5an+1求出公比，推出数列的通项公式即可．‎ ‎【解答】解：∵，∴，‎ ‎∴a1=q，‎ ‎∴，‎ ‎∵2（an+an+2）=5an+1，‎ ‎∴，‎ ‎∴2（1+q2）=5q，‎ 解得q=2或q=（等比数列{an}为递增数列，舍去）‎ ‎∴．‎ 故答案为：2n．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2012•辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为　﹣4　．‎ ‎【分析】通过P，Q的横坐标求出纵坐标，通过二次函数的导数，推出切线方程，求出交点的坐标，即可得到点A的纵坐标．‎ ‎【解答】解：因为点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，‎ 代入抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2．‎ 由x2=2y，则y=，所以y′=x，‎ 过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，﹣2，‎ 所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y=4x﹣8，y=﹣2x﹣2 ‎ 联立方程组解得x=1，y=﹣4 ‎ 故点A的纵坐标为﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2012•辽宁）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为　　．‎ ‎【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算 ‎【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，‎ ‎∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，‎ ‎∵圆O的半径为，‎ ‎∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2‎ 球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离 设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC×h=S△PAB×PC=××2×2×2=‎ ‎△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC=×‎ ‎∴h==‎ ‎∴正方体中心O到截面ABC的距离为﹣=‎ 故答案为 ‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2012•辽宁）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求cosB的值；‎ ‎（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB的值；‎ ‎（Ⅱ）（解法一），由b2=ac，cosB=，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；‎ ‎（解法二），由b2=ac，cosB=，根据余弦定理cosB=可求得a=c，从而可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，‎ ‎∴cosB=；…6分 ‎（Ⅱ）（解法一）‎ 由已知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC，‎ 又cosB=，‎ ‎∴sinAsinC=1﹣cos2B=…12分 ‎（解法二）‎ 由已知b2=ac及cosB=，‎ 根据余弦定理cosB=解得a=c，‎ ‎∴B=A=C=60°，‎ ‎∴sinAsinC=…12分 ‎　‎ ‎18．（12分）（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；‎ ‎（Ⅱ）若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角，求λ的值．‎ ‎【分析】（I）法一，连接AB′、AC′，说明三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，推出MN∥AC′，然后证明MN∥平面A′ACC′；‎ 法二，取A′B′的中点P，连接MP、NP，推出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，然后通过平面与平面平行证MN∥平面A′ACC′．‎ ‎（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，设AA′=1，推出A，B，C，A′，B′，C′坐标求出M，N，设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，通过，取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，取 ‎，利用二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，所以，解λ．‎ ‎【解答】（I）证明：连接AB′、AC′，‎ 由已知∠BAC=90°，AB=AC，‎ 三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，‎ 所以M为AB′中点，‎ 又因为N为B′C′的中点，‎ 所以MN∥AC′，‎ 又MN⊄平面A′ACC′，‎ 因此MN∥平面A′ACC′；‎ 法二：取A′B′的中点P，连接MP、NP，‎ M、N分别为A′B、B′C′的中点，‎ 所以MP∥AA′，NP∥A′C′，‎ 所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，‎ 又MP∩NP=P，因此平面MPN∥平面A′ACC′，‎ 而MN⊂平面MPN，‎ 因此MN∥平面A′ACC′．‎ ‎（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，‎ 设AA′=1，则AB=AC=λ，于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）．‎ 所以M（），N（），‎ 设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，‎ 由，得，‎ 可取，‎ 设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，‎ 由，得，‎ 可取，‎ 因为二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，‎ 所以，‎ 即﹣3+（﹣1）×（﹣1）+λ2=0，‎ 解得λ=．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．‎ ‎（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×‎ ‎2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）‎ P（ K2≥k）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎．‎ ‎【分析】（I）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与3.841比较即可得出结论；‎ ‎（II）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由于X∽B（3，），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可 ‎【解答】解：（I）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：‎ K2==≈3.03，‎ 因为3.03＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．‎ ‎（II）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率是0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，‎ 由题意X∽B（3，），从而分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E（X）=np=3×=．D（X）=npq=3××=．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2012•辽宁）如图，已知椭圆C0：，动圆C1：．点A1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．‎ ‎（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设动圆C2：与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出线A1A的方程、直线A2B的方程，求得交点满足的方程，利用A在椭圆C0上，化简即可得到M轭轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）根据矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，可得A，A′坐标之间的关系，利用A，A′均在椭圆上，即可证得=a2+b2为定值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：设A（x1，y1），B（x1，﹣y1），‎ ‎∵A1（﹣a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为①‎ 直线A2B的方程为y=﹣（x﹣a）②‎ 由①×②可得：③‎ ‎∵A（x1，y1）在椭圆C0上，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 代入③可得：‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）证明：设A′（x3，y3），‎ ‎∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等 ‎∴4|x1||y1|=4|x3||y3|‎ ‎∴=‎ ‎∵A，A′均在椭圆上，‎ ‎∴=‎ ‎∴=‎ ‎∴‎ ‎∵t1≠t2，∴x1≠x3．‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴=a2+b2为定值．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2012•辽宁）设f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切．‎ ‎（I）求a，b的值；‎ ‎（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜．‎ ‎【分析】（I）由y=f（x）过（0，0），可求b的值，根据曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切，利用导函数，可求a的值；‎ ‎（II）由（I）知f（x）=ln（x+1）+，由均值不等式，可得，构造函数k（x）=ln（x+1）﹣x，可得ln（x+1）＜x，从而当x＞0时，f（x）＜，记h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，可证h（x）在（0，2）内单调递减，从而h（x）＜0，故问题得证．‎ ‎【解答】（I）解：由y=f（x）过（0，0），∴f（0）=0，∴b=﹣1‎ ‎∵曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切．‎ ‎∴y′|x=0=‎ ‎∴a=0；‎ ‎（II）证明：由（I）知f（x）=ln（x+1）+‎ 由均值不等式，当x＞0时，，∴①‎ 令k（x）=ln（x+1）﹣x，则k（0）=0，k′（x）=，∴k（x）＜0‎ ‎∴ln（x+1）＜x，②‎ 由①②得，当x＞0时，f（x）＜‎ 记h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，则当0＜x＜2时，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）﹣9‎ ‎＜＜‎ ‎=‎ ‎∴h（x）在（0，2）内单调递减，又h（0）=0，∴h（x）＜0‎ ‎∴当0＜x＜2时，f（x）＜．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．‎ ‎22．（10分）（2012•辽宁）选修4﹣1：几何证明选讲 如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：‎ ‎（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；‎ ‎（Ⅱ）AC=AE．‎ ‎【分析】（I）利用圆的切线的性质得∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DAB，从而有△ACB∽△DAB，=，由此得到所证．‎ ‎（II）利用圆的切线的性质得∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，可得△EAD∽△ABD，=，AE•BD=AD•AB，再结合（I）的结论AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．‎ ‎【解答】证明：（I）∵AC与⊙O'相切于点A，故∠CAB=∠ADB，‎ 同理可得∠ACB=∠DAB，‎ ‎∴△ACB∽△DAB，∴=，‎ ‎∴AC•BD=AD•AB．‎ ‎（II）∵AD与⊙O相切于点A，∴∠AED=∠BAD，‎ 又∠ADE=∠BDA，∴△EAD∽△ABD，‎ ‎∴=，∴AE•BD=AD•AB．‎ 再由（I）的结论AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．‎ ‎　‎ ‎23．（2012•辽宁）选修4﹣4：坐标系与参数方程 在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．‎ ‎（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；‎ ‎（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．‎ ‎【分析】（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；‎ ‎（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．‎ 解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程．‎ ‎【解答】解：（I）由，x2+y2=ρ2，‎ 可知圆，的极坐标方程为ρ=2，‎ 圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，‎ 解得：ρ=2，，‎ 故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．‎ ‎（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．‎ 故圆C1，C2的公共弦的参数方程为 ‎（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）‎ ‎（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1‎ 从而于 是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．‎ ‎　‎ ‎24．（2012•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲 已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先解不等式|ax+1|≤3，再根据不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，分类讨论，即可得到结论．‎ ‎（Ⅱ）记，从而h（x）=，求得|h（x）|≤1，即可求得k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2‎ ‎∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．‎ ‎∴当a≤0时，不合题意；‎ 当a＞0时，，‎ ‎∴a=2；‎ ‎（Ⅱ）记，‎ ‎∴h（x）=‎ ‎∴|h（x）|≤1‎ ‎∵恒成立，‎ ‎∴k≥1．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；涨停；caoqz；xize；吕静；qiss；刘长柏；wfy814（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日