【数学】2020届一轮复习人教B版（文）选修4－5绝对值不等式作业 5页

课时作业72　绝对值不等式 ‎　　　　　　　　　　　　‎ ‎[基础达标]‎ ‎1．[2018·全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．‎ 解析：(1)当a＝1时，‎ f(x)＝ 可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．‎ ‎(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.‎ 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．‎ 故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.‎ 由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.‎ 所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．‎ ‎2．[2017·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．‎ 解析：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①‎ 当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；‎ 当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；‎ 当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，‎ 从而1＜x≤.‎ 所以f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤.‎ ‎(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，‎ 所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1,1]时f(x)≥2.‎ 又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.‎ 所以a的取值范围为[－1,1]．‎ ‎3．[2019·宝安，潮阳，桂城等八校联考]已知函数f(x)＝|x－a|－|2x－1|.‎ ‎(1)当a＝2时，求f(x)＋3≥0的解集；‎ ‎(2)当x∈[1,3]时，f(x)≤3恒成立，求a的取值范围．‎ 解析：(1)当a＝2时，由f(x)≥－3，可得|x－2|－|2x－1|≥－3，‎ ‎∴或 或 解得－4≤x＜或≤x＜2或x＝2.‎ 综上，不等式f(x)＋3≥0的解集为{x|－4≤x≤2}．‎ ‎(2)当x∈[1,3]时，f(x)≤3恒成立，‎ 即|x－a|≤3＋|2x－1|＝2x＋2.‎ 故－2x－2≤x－a≤2x＋2，即－3x－2≤－a≤x＋2，‎ ‎∴－x－2≤a≤3x＋2对x∈[1,3]恒成立．‎ ‎∴a∈[－3,5]．‎ ‎4．[2019·南昌调研]设函数f(x)＝|2x－3|.‎ ‎(1)求不等式f(x)＞5－|x＋2|的解集；‎ ‎(2)若g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)的最小值为4，求实数m的值．‎ 解析：(1)∵f(x)＞5－|x＋2|可化为|2x－3|＋|x＋2|＞5，‎ ‎∴当x≥时，原不等式化为(2x－3)＋(x＋2)＞5，解得x＞2，‎ ‎∴x＞2；‎ 当－2＜x＜时，原不等式为(3－2x)＋(x＋2)＞5，解得x＜0，∴－2＜x＜0；‎ 当x≤－2时，原不等式化为(3－2x)－(x＋2)＞5，解得x＜－，‎ ‎∴x≤－2.‎ 综上，不等式f(x)＞5－|x＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋‎ ‎∞)．‎ ‎(2)∵f(x)＝|2x－3|，‎ ‎∴g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)＝|2x＋2m－3|＋|2x－2m－3|≥|(2x＋2m－3)－(2x－2m－3)|＝|4m|，‎ ‎∴依题意有4|m|＝4，解得m＝±1.‎ ‎5．[2019·郑州测试]已知f(x)＝|2x－1|＋|ax－5|(0＜a＜5)．‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥9的解集；‎ ‎(2)若函数y＝f(x)的最小值为4，求实数a的值．‎ 解析：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋|x－5|＝ 所以f(x)≥9⇔或或 解得x≤－1或x≥5，‎ 即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．‎ ‎(2)∵0＜a＜5，∴＞1，则 f(x)＝ 注意到当x＜时，f(x)单调递减，当x＞时，‎ f(x)单调递增，‎ ‎∴f(x)的最小值在上取得，‎ ‎∵在上，当0＜a≤2时，f(x)单调递增，当2＜a≤5时，f(x)单调递减，‎ ‎∴或 解得a＝2.‎ ‎6．[2018·全国卷Ⅲ]设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)画出y＝f(x)的图象；‎ ‎(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．‎ 解析：(1)f(x)＝ y＝f(x)的图象如图所示．‎ ‎(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎7．[2019·益阳市，湘潭市调研]设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＞0；‎ ‎(2)若f(x)＋3|x－4|＞|m－2|对一切实数x均成立，求m的取值范围．‎ 解析：(1)当x≥4时，f(x)＝2x＋1－x＋4＝x＋5，原不等式即x＋5＞0，‎ 解得x＞－5，又x≥4，∴x≥4；‎ 当－≤x＜4时，f(x)＝2x＋1＋x－4＝3x－3，原不等式即3x－3＞0，‎ 解得x＞1，又－≤x＜4，∴1＜x＜4；‎ 当x＜－时，f(x)＝－2x－1＋x－4＝－x－5，原不等式即－x－5＞0，‎ 解得x＜－5，∴x＜－5.‎ 综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜－5}．‎ ‎(2)f(x)＋3|x－4|＝|2x＋1|＋2|x－4|≥|2x＋1－(2x－8)|＝9，‎ 当－≤x≤4时，等号成立，‎ ‎∴f(x)＋3|x－4|的最小值为9，要使f(x)＋3|x－4|＞|m－2|对一切实数x均成立，需|m－2|＜9，‎ ‎∴m的取值范围是(－7,11)．‎