2014高考全国卷（文科数学）试卷 8页

‎2014·全国卷(文科数学)‎ ‎1．[2014·全国卷] 设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．2B．3‎ C．5D．7‎ ‎1．B　[解析]根据题意知M∩N＝{1，2，4，6，8}∩{1，2，3，5，6，7}＝{1，2，6}，所以M∩N中元素的个数是3.‎ ‎2．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝(　　)‎ A.B. C．－D．－ ‎2．D　[解析]根据题意，cosα＝＝－.‎ ‎3．、[2014·全国卷] 不等式组的解集为(　　)‎ A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－1＜x＜0}‎ C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}‎ ‎3．C　[解析]由得即0－1，所以y∈R，所以函数y＝ln(＋1)(x>－1)的反函数是y＝(ex－1)3(x∈R)．‎ ‎6．[2014·全国卷] 已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝(　　)‎ A．－1B．0‎ C．1D．2‎ ‎6．B　[解析]因为a，b为单位向量，且其夹角为60°，所以(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos60°－|b|2＝0.‎ ‎7．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)‎ A．60种B．70种 C．75种D．150种 ‎7．C　[解析]由题意，从6名男医生中选出2名，5名女医生中选出1名组成一个医疗小组，不同的选法共有CC＝75(种)．‎ ‎8．[2014·全国卷] 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)‎ A．31B．32‎ C．63D．64‎ ‎8．C　[解析]设等比数列{an}的首项为a，公比为q，易知q≠1，根据题意可得解得q2＝4，＝－1，所以S6＝＝(－1)(1－43)＝63.‎ ‎9．[2014·全国卷] 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)‎ A.＋＝1B.＋y2＝1‎ C.＋＝1D.＋＝1‎ ‎9．A　[解析]根据题意，因为△AF1B的周长为4，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎10．、[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)‎ A.B．16π C．9πD. ‎10．A　[解析]如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE＝AC＝.设球心为O，球的半径为R，则OE＝4－R，OA＝R.又因为△AOE为直角三角形，所以OA2＝OE2＋AE ‎2，即R2＝(4－R)2＋2，解得R＝，所以该球的表面积S＝4πR2＝4π2＝.‎ ‎11．[2014·全国卷] 双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于(　　)‎ A．2B．2 C．4D．4 ‎11．C　[解析]易知双曲线－＝1的渐近线方程是y＝±x，不妨设焦点(c，0)到其中一条渐近线x－y＝0的距离为，则＝，整理得b＝.又双曲线C的离心率e＝＝2，c2＝a2＋b2，所以c＝2，即2c＝4，即双曲线C的焦距等于4.‎ ‎12．[2014·全国卷] 奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝(　　)‎ A．－2B．－1‎ C．0D．1‎ ‎12．D　[解析]因为f(x＋2)为偶函数，所以其对称轴为直线x＝0，所以函数f(x)的图像的对称轴为直线x＝2.又因为函数f(x)是奇函数，其定义域为R，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝0＋f(－5)＝－f(5)＝－f(－1)＝f(1)＝1.‎ ‎13．[2014·全国卷] (x－2)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)‎ ‎13．－160　[解析] (x－2)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r(－2)r，令6－r＝3，解得r＝3.因为C(－2)3＝－160，所以x3的系数为－160.‎ ‎14．、[2014·全国卷] 函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为________．‎ ‎14.　[解析]因为y＝cos2x＋2sinx＝1－2sinx2＋2sinx＝－2＋，所以当sinx＝时函数y＝cos2x＋2sinx取得最大值，最大值为.‎ ‎15．[2014·全国卷] 设x，y满足约束条件则z＝x＋4y的最大值为________．‎ ‎15．5　[解析]如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC的内部(包括边界)，z＝x＋4y的最大值即为直线y＝－x＋z的截距最大时z的值．结合题意知，当y＝－x＋z经过点A时，z取得最大值，联立x－y＝0和x＋2y＝3，可得点A的坐标为(1，1)，所以zmax＝1＋4＝5.‎ ‎16．、[2014·全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．‎ ‎16.　[解析]如图所示，根据题意知，OA⊥PA，OA＝，OP＝，所以PA＝＝2，所以tan∠OPA＝＝＝，故tan∠APB＝＝，即l1与l2的夹角的正切值等于.‎ ‎17．[2014·全国卷] 数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.‎ ‎(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ ‎17．解：(1)由an＋2＝2an＋1－an＋2，得 an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，‎ 即bn＋1＝bn＋2.‎ 又b1＝a2－a1＝1，‎ 所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)，‎ 即an＋1－an＝2n－1.‎ 于是(2k－1)，‎ 所以an＋1－a1＝n2，‎ 即an＋1＝n2＋a1.‎ 又a1＝1，所以{an}的通项公式an＝n2－2n＋2.‎ ‎18．、[2014·全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acosC＝2ccosA，tanA＝，求B.‎ ‎18．解：由题设和正弦定理得3sinAcosC＝2sinCcosA，‎ 故3tanAcosC＝2sinC.‎ 因为tanA＝，‎ 所以cosC＝2sinC，‎ 所以tanC＝，‎ 所以tanB＝tan[180°－(A＋C)]‎ ‎＝－tan(A＋C)‎ ‎＝ ‎＝－1，‎ 所以B＝135°.‎ ‎19．、[2014·全国卷] 如图11所示，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.‎ ‎(1)证明：AC1⊥A1B；‎ ‎(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1ABC的大小．‎ ‎ 图11‎ ‎19．解：方法一：(1)证明：因为A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，故平面AA1C1C⊥平面ABC.又BC⊥AC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，所以BC⊥平面AA1C1C.‎ 连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1⊥A1C.‎ 由三垂线定理得AC1⊥A1B.‎ ‎(2)BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，‎ 故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1.‎ 作A1E⊥CC1，E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1.‎ 又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝.‎ 因为A1C为∠ACC1的平分线，故A1D＝A1E＝.‎ 作DF⊥AB，F为垂足，连接A1F.由三垂线定理得A1F⊥AB，‎ 故∠A1FD为二面角A1ABC的平面角．‎ 由AD＝＝1，得D为AC中点，‎ 所以DF＝，tan∠A1FD＝＝，‎ 所以cos∠A1FD＝.‎ 所以二面角A1ABC的大小为arccos.‎ 方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直线坐标系Cxyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内．‎ ‎(1)证明：设A1(a，0，c)，由题设有a≤2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，则＝(－2，1，0)，＝(－2，0，0)，＝(a－2，0，c)，＝＋＝(a－4，0，c)，＝(a，－1，c)．‎ 由||＝2，得＝2，即 a2－4a＋c2＝0.　　①‎ 又·＝a2－4a＋c2＝0，所以AC1⊥A1B.‎ ‎(2)设平面BCC1B1的法向量m＝(x，y，z)，‎ 则m⊥，m⊥，即m·CB＝0，m·＝0.‎ 因为＝(0，1，0)，＝＝(a－2，0，c)，所以y＝0，且(a－2)x＋cz＝0.‎ 令x＝c，则z＝2－a，所以m＝(c，0，2－a)，故点A到平面BCC1B1的距离为||·|cos〈m，〉|＝＝＝c.‎ 又依题设，A到平面BCC1B1的距离为，‎ 所以c＝，‎ 代入①，解得a＝3(舍去)或a＝1，‎ 于是＝(－1，0，)．‎ 设平面ABA1的法向量n＝(p，q，r)，则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0，‎ 所以－p＋r＝0，且－2p＋q＝0.令p＝，则q＝2，r＝1，所以n＝(，2，1)．‎ 又p＝(0，0，1)为平面ABC的法向量，故 cos〈n，p〉＝＝，‎ 所以二面角A1ABC的大小为arccos.‎ ‎20．、[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．‎ ‎(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；‎ ‎(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．‎ ‎20．解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.‎ B表示事件：甲需使用设备．‎ C表示事件：丁需使用设备．‎ D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．‎ E表示事件：同一工作日4人需使用设备．‎ F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.‎ ‎(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C×0.52，i＝0，1，2，‎ 所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.‎ ‎(2)由(1)知，若k＝2，则P(F)＝0.31＞0.1，‎ P(E)＝P(B·C·A2)＝P(B)P(C)P(A2)＝0.06.‎ 若k＝3，则P(F)＝0.06＜0.1，‎ 所以k的最小值为3.‎ ‎21．[2014·全国卷] 函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围．‎ ‎21．解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)．‎ ‎(i)若a≥1，则f′(x)≥0，且f′(x)＝0当且仅当a＝1，x＝－1时成立．故此时f(x)在R上是增函数．‎ ‎(ii)由于a≠0，故当a＜1时，f′(x)＝0有两个根；‎ x1＝，x2＝.‎ 若0＜a＜1，则当x∈(－∞，x2)或x∈(x1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；‎ 当x∈(x2，x1)时，f′(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是减函数．‎ 若a＜0，则当x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)时，f′(x)＜0，故f(x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是减函数；‎ 当x∈(x1，x2)时f′(x)＞0，故f(x)在(x1，x2)是增函数．‎ ‎(2)当a＞0，x＞0时，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0，故当a＞0时，f(x)在区间(1，2)是增函数．‎ 当a＜0时，f(x)在区间(1，2)是增函数当且仅当f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－≤a＜0.‎ 综上，a的取值范围是∪(0，＋∞)．‎ ‎22．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．‎ ‎22．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，‎ 所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.‎ 由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，‎ 所以C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．‎ 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.‎ 故线段AB的中点为D(2m2＋1，2m)，‎ ‎|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．‎ 又直线l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.‎ 将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.‎ 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．‎ 故线段MN的中点为E，‎ ‎|MN|＝|y3－y4|＝.‎ 由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而 |AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即 ‎4(m2＋1)2＋＋＝‎ ，‎ 化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.‎ 所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.‎