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  • 2021-06-15 发布

【数学】2020届一轮复习人教A版第12课指数函数作业(江苏专用)

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随堂巩固训练(12)‎ ‎ 1. 已知a=,b=,c=,则a、b、c的大小关系为__c>,即a>b>1.又00且a≠1)有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围为____.‎ 解析:方程|ax-1|=2a有两个不相等的实数根可转化为函数y=|ax-1|与函数y=2a的图象有两个不同的交点,作出函数y=|ax-1|的图象,当a>1时,如图1;当00且a≠1)是R上的减函数,则实数a的取值范围为____.‎ 解析:根据单调性定义,函数f(x)为减函数应满足即≤a<1.‎ ‎ 7. 设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a=__-1__.‎ 解析:设g(x)=ex+ae-x,则f(x)=xg(x)是偶函数.所以g(x)=ex+ae-x(x∈R)是奇函数,所以g(0)=e0+ae-0=1+a=0,即a=-1.‎ ‎ 8. 若函数f(x)=ax-1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a的值为____.‎ 解析:易知函数f(x)是单调函数,所以当a>1时,f(2)=2,所以a2-1=2,解得a=,经验证符合题意;当00,所以2x-1>-1且2x-1≠0,所以∈(-∞,-1)∪(0,+∞),所以y=1+∈(-∞,0)∪(1,+∞),故所求的值域为(-∞,0)∪(1,+∞).‎ ‎10. 设a>0,f(x)=+是R上的偶函数.‎ ‎(1) 求a的值;‎ ‎(2) 判断并证明函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性;‎ ‎(3) 求函数f(x)的值域.‎ 解析:(1) 因为f(x)为偶函数,故f(1)=f(-1),于是+=+3a,‎ 即=.因为a>0,故a=1.‎ ‎(2) 由(1)可知f(x)=3x+.设x2>x1≥0,则f(x1)-f(x2)=3x1+-3x2-=(3x2-3x1).‎ 因为y=3x为增函数,且x2>x1,故3x2-3x1>0.‎ 因为x2>0,x1≥0,故x2+x1>0,于是<1,即-1<0,‎ 所以f(x1)-f(x2)<0,‎ 所以f(x)在区间[0,+∞)上为单调增函数.‎ ‎(3) 因为f(x)为偶函数,且f(x)在区间[0,+∞)上为增函数,所以f(0)=2为函数的最小值,故函数的值域为[2,+∞).‎ ‎11. 已知函数f(x)=3x,f(a+2)=18,g(x)=λ·3ax-4x的定义域为[0,1].‎ ‎(1) 求实数a的值;‎ ‎(2) 若函数g(x)在区间[0,1]上是单调减函数,求实数λ的取值范围.‎ 解析:(1) 由已知得3a+2=18,解得a=log32.‎ 故实数a的值为log32.‎ ‎(2) 方法一:由(1)知g(x)=λ·2x-4x,设0≤x10恒成立,即λ<2x2+2x1恒成立.‎ 由于2x2+2x1>20+20=2,‎ 所以实数λ的取值范围是(-∞,2].‎ 方法二:由(1)知g(x)=λ·2x-4x.‎ 因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数,‎ 所以g′(x)=λln 2·2x-ln 4·4x=2xln 2(-2·2x+λ)≤0在区间[0,1]上恒成立,‎ 所以λ≤2·2x在区间[0,1]上恒成立,‎ 所以实数λ的取值范围是(-∞,2].‎ ‎12. 已知函数y=1+2x+4x·a在x∈(-∞,1]上恒大于零,求实数a的取值范围.‎ 解析:由题意得1+2x+4x·a>0在x∈(-∞,1]上恒成立,‎ 即a>-在x∈(-∞,1]上恒成立.‎ 令f(x)=-=--,‎ 设t=,t≥,则f(t)=-t2-t=-+,‎ 所以当t=,即x=1时,函数f(t)取到最大值-,‎ 所以a>-,‎ 即实数a的取值范围为.‎ ‎13. 已知函数f(x)=.‎ ‎(1) 若a=-1,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2) 若函数f(x)有最大值3,求实数a的值;‎ ‎(3) 若函数f(x)的值域为(0,+∞),求实数a的值.‎ 解析:(1) 当a=-1时,f(x)=,‎ 令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,‎ 因为函数g(x)在区间(-∞,-2)上单调递增,在区间(-2,+∞)上单调递减,‎ 又y=在R上单调递减,‎ 所以函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间(-2,+∞)上单调递增,‎ 即函数f(x)的单调增区间是(-2,+∞),单调减区间是(-∞,-2).‎ ‎(2) 令h(x)=ax2-4x+3,则y=,‎ 因为函数f(x)有最大值3,‎ 所以函数h(x)有最小值-1,‎ 所以=-1,且a>0,解得a=1,‎ 即当函数f(x)有最大值3时,实数a的值为1.‎ ‎(3) 由指数函数的性质可知,若函数f(x)的值域为(0,+∞),则h(x)=ax2-4x+3的值域为R.‎ 若a≠0,则h(x)=ax2-4x+3为二次函数,其值域不可能为R,‎ 所以a=0.‎