【数学】2020届一轮复习人教B版坐标系作业 3页

一、选择题 ‎1．点M的直角坐标是(－1, )，则点M的极坐标为(　　)‎ A.　　　　　　　　B. C. D.，(k∈Z)‎ 解析：选D　ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.‎ 又∴ ‎∴θ＝＋2kπ，k∈Z.‎ 即点M的极坐标为，k∈Z.‎ ‎2．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为(　　)‎ A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1‎ C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1‎ 解析：选C　ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0，或ρcos θ＝x＝1.‎ ‎3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为(　　)‎ A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆 解析：选C　ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ，(ρ2＝4ρsin θ)，则x＝0，或x2＋y2＝4y.‎ ‎4．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)‎ A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2‎ B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2‎ C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1‎ D．θ＝0(ρ∈R) 和ρcos θ＝1‎ 解析：选B　由ρ＝2cos θ，可得圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故选B.‎ 二、填空题 ‎5．点M的柱坐标为，则它的直角坐标为________．‎ 解析：∵x＝2cos ＝1，y＝2sin ＝，z＝8.‎ ‎∴它的直角坐标为(1，，8)．‎ 答案：(1，，8)‎ ‎6．点M的球坐标为，则它的直角坐标为________．‎ 解析：x＝6·sin ·cos ＝3，y＝6sin sin ＝3，z＝6cos ＝0，∴它的直角坐标为(3,3，0)．‎ 答案：(3,3，0)‎ ‎7．在极坐标系中，点(1,2)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为________．‎ 解析：直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0，‎ d＝＝.‎ 答案： ‎8．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为________．‎ 解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为 ‎(－6,0)，故切线长为＝＝2.‎ 答案：2 三、解答题 ‎9．求由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1的伸缩变换．‎ 解：设变换为将其代入方程x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1.‎ 又∵4x2＋9y2＝36，即＋＝1.∴ 又∵λ>0，μ>0，∴λ＝，μ＝.‎ ‎∴将曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1的伸缩变换为 ‎10.‎ 如图，圆O1和圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．‎ 解：‎ 如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(－2,0)，O2(2,0)．‎ 设P(x，y)，则|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2＝(x＋2)2＋y2－1.‎ 同理，|PN|2＝(x－2)2＋y2－1.‎ ‎∵|PM|＝|PN|，即|PM|2＝2|PN|2.‎ 即(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]．即x2－12x＋y2＋3＝0.‎ 即动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.‎ ‎11．在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1.Q点在圆周上运动，O为极点．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．‎ 解：‎ ‎(1)如图所示，设M(ρ，θ)为圆C上任意一点，如图，在△OCM中，|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM＝，根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos ，化简整理，‎ 得ρ2－6·ρcos＋8＝0为圆C的轨迹方程．‎ ‎(2)设Q(ρ1，θ1)，则有ρ－6·ρ1cos＋8＝0.①‎ 设P(ρ，θ)，则OQ∶QP＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝ρ，‎ 又θ1＝θ，即 代入①得ρ2－6·ρcos＋8＝0，‎ 整理得ρ2－15ρcos＋50＝0为P点的轨迹方程．‎