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- 2021-06-15 发布
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江西省高安中学 2019—2020 学年度上学期期中考试
高一年级数学试题(A 卷)
一. 选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1.已知集合 A= ,则 A∩B 的元素个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.若两直线 的倾斜角分别为 ,则下列四个命题中正确的是( )
A.若 ,则两直线的斜率: B.若 ,则两直线的斜率:
C.若两直线的斜率: ,则 D.若两直线的斜率: ,则
3.平面向量 与 的夹角为 , , ,则 等于 ( )
A. B. C. D.
4.已知直线 的倾斜角为 ,则 的值是( )
A. B. C. D.
5.设数列 为等差数列,且其前 n 项和为 .若 ,则 ( )
A.40 B.54 C.80 D.96
6.已知直三棱柱 的所有棱长都相等, 为 的中点,则 与 所成角
的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.在 中, ,则 ( )
A. B. C. D.
8.若 是函数 的两个不同的零点,且 这三个数可适
当排序后构成等差数列,也可适当排序后构成等比数列,则 的值等于( )
A.7 B.8 C.9 D.10
{ } { }3( , ) , ( , )x y y x B x y y x= = =
1 2,l l 1 2,α α
1 2
α α< 1 2k k< 1 2
α α= 1 2k k=
1 2k k< 1 2
α α< 1 2k k= 1 2
α α=
a
→
b
→
45 ( )1,1a = 2b = 3a b+
34 2 5 30 13 6 2+
2 3 0x y− − = θ sin2θ
1
4
3
4
4
5
2
5
{ }na nS 8 112 6a a= + 9S =
1 1 1ABC A B C− M 1 1AC AM 1BC
15
3
5
3
6
4
10
4
ABC∆ cos cos 2b C c B b+ = b
a
=
1
2 2 2
2
− 2
,a b 2( ) ( 0, 0)f x x px q p q= − + > > , , 2a b −
p q+
,则不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
10.已知函数 ,将 的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 倍,
纵坐标不变,再把所得的图象向右平移 个单位长度,所得的图象关于原点对称,则 的一
个值是( )
A. B. C. D.
11.正数 满足 ,若不等式 对任意实数 恒成立,则实
数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知球 是正三棱锥 的外接球,底边 ,侧棱 ,点 在线段
上,且 ,过点 作球 的截面,则所得截面圆面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
二. 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填在题中横线上)
13.已知函数 在区间 上单调递增,则实数 的取值范围是_____.
14.记不等式组 表示的平面区域为 ,则圆 在区域 内的
弧长为________.
15.已知等差数列 的公差 ,且 成等比数列,若 为数列 的前
项和,则 的最小值为____________.
[ ] [ ] 时,,且上的偶函数,当是定义在已知函数 2121 ,0,,21)(.9 xxmxxmmxf ≠∈−
( ) ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x− − < ( ) ( )1 2f x f x− ≤
11, 3
−
1 1,2 3
−
10, 3
10, 2
( ) cos 2 4f x x
π = +
( )y f x= 1
2
ϕ ϕ
3
16
π 3
8
π 3
4
π 5
16
π
ba, 191 =+
ba mxxba −++−≥+ 1842 x
m
[3, )+∞ ( ,3]−∞ ( ,6]−∞ [6, )+∞
O A BCD− 3BC = 2 3AB = E BD
3BD BE= E O
5 ,44
π π
[ ]2 ,4π π 9 ,44
π π
11 ,44
π π
( )2( ) lg 2f x x ax= − + (2, )+∞ a
( 2 )( 3 ) 0,
0
x y x y
x
− + ≥
≥ D 2 2 1x y+ = D
{ }na 0d ≠ 1 3 13, ,a a a 1 1, na S= { }na n
2 24
5
n
n
S
a
+
+
16.已知函数 满足 ,且 ,当 时,
,若曲线 与直线 有 5 个交点,则实数 的取值范围是
______.
三 .解 答 题 (本 大 题 共 6 小 题 ,共 75 分 ,17 题 满 分 10 分 , 其 余 满 分 12 分 )
17.(1)已知直线 : 与 : .若 ,求 的值.
18. 已知公差不为 0 的等差数列 的首项 ,且 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 , ,求数列 的前 项和 .
19. 如图,在四棱锥 中, 平面 ,底面 是等腰梯形,且
,其中
.
(1)证明:平面 平面 .
(2)求点 到平面 的距离。
( )f x ( 1 ) (1 )f x f x− + = + (1 ) (1 ),( )f x f x x R+ = − ∈ [ ]0,1x∈
( ) 2 1xf x = − ( )y f x= ( 1)y k x= − k
1l 2 1 0x my+ + = 2l 4 ( 1) 2 0mx m y+ + + = 1 2l l m
..03)62(),22(2 的方程求圆在直线两点,且圆心,,过)已知圆( CyxCBAC =+−
{ }na 1 2a = 1 2 41, 1, 1a a a+ + +
{ }na
1
1
n
n n
b a a +
= *n N∈ { }nb n nS
P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD
/ /AD BC
2 5, 2, 2 4 2,AB PA BC AD AC BD E= = = = =
PBD ⊥ PAC
B PDC
20.在平面四边形 中,已知 , , .
(1)若 ,求 的面积;
(2)若 , ,求 的长.
(1)当 时,求 的值域;
(2)若对任意 , ,求实数 的取值范围.
22.对于定义域为 的函数 ,部分 与 的对应关系如下表:
1 2 3 4 5
0 2 2 0 0 2
(1)求 ;
(2)数列 满足 ,且对任意 ,点 都在函数 的图像上,
求 ;
(3)若 ,其中 , , , ,
求此函数的解析式,并求 ( ).
ABCD 3
4ABC
π∠ = AB AD⊥ 1AB =
5AC = ABC∆
2 5sin 5CAD∠ = 4=AD CD
nmxfxxnxxm ⋅==−= )()cos4,sin2(),1,cos3(sin.21 2 ,函数已知向量
[0, ]2x
π∈ ( )f x
[0, ]2x
π∈ 2 ( ) ( 2) ( ) 2 0f x a f x a− + + + ≥ a
R ( )y f x= x y
x 2− 1− 0
y 3 1−
{ [ (0)]}f f f
{ }nx 1 2x = n ∗∈N 1( , )n nx x + ( )y f x=
1 2 4nx x x+ + +
( ) sin( )y f x A x bω ϕ= = + + 0A > 0 ω π< < 0 ϕ π< < 0 3b< <
(1) (2) (3 )f f f n+ + + n ∗∈N
江西省高安中学 2019—2020 学年度上学期期中考试
高一年级数学试题(A 卷)答案
一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A C B D A C C A D B
二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分)
13. 14. 15.4 16. .
三、解答题:
17.(1)因为 ,所以 ,解得 .
(2)根据题意,设圆 C 的圆心为(a,b),半径为 r,
则圆 C 方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2,
又由圆 C 过 A(﹣2,2),B(2,6)两点,且圆心 C 在直线 3x+y=0 上,
则有 ,解可得 a=﹣2,b=6,r2=16,
则圆 C 的方程为(x+2)2+(y﹣6)2=16;
18.(1)设数列 的公差为 ,则 , .
由 , , 成等比数列,得 ,
即 ,得 (舍去)或 .
所以数列 的通项公式为 , .
(2)因为 ,
所以 .
19.(1)过点 作 交 于点 .
( ],3−∞
4
π 1 1 1 1, ,4 6 6 4
− −
1 2l l
22( 1) 4 0
2 ( 1) 0
m m
m m
+ − =
− + ≠
1
2m = −
{ }na d ( )2 1na n d= + − *Nn∈
1 1a + 2 1a + 4 1a + ( ) ( )( )2
2 1 41 1 1a a a+ = + +
( ) ( )23 3 3 3d d+ = + 0d = 3d =
3 1na n= − *Nn∈
( )( )1
1 1 1 1 1
3 1 3 2 3 3 1 3 2n
n n
b a a n n n n+
= = = − − + − +
( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2 5 3 5 8 3 3 1 3 2 3 2 3 2 2 3 2n
nS n n n n
= − + − + + − = − = − + + +
A AH BC⊥ BC H
因为底面 是等腰梯形,且 ,所以
在 中, ,同理可得
因为 与 相似,所以 ,
所以 ,则
因为 平面 平面 ,所以
因为 平面 平面 ,且
,所以 平面
因为 平面 ,所以平面 平面
(2)因为 平面 ,所以 ,
因为 ,所以
在 中,因为 ,
所以 ,
所以 ,则 的面积为
设点 到平面 的距离为 ,则三棱锥 的体积
因为 ,所以 ,解得
故点 到平面 的距离为
20.解:(1)在 中,
即 ,解得 .
ABCD 2 4 2BC AD= = 2, 3 2BH HC= =
Rt ABH∆ 2 2 20 2 3 2AH AB BH= − = − = 6AC =
BEC△ DEA△ 2AE DE= =
2 2 24 4 8AE DE AD+ = + = = AC BD⊥
PA ⊥ ,ABCD BD ⊆ ABCD
PA BD⊥
PA ⊆ ,PAC AC ⊆ PAC
PA AC A= BD ⊥ PAC
BD ⊆ PBD PBD ⊥ PAC
PA ⊥ ABCD ,PA AC PA AD⊥ ⊥
2, 2 2, 6PA AD AC= = = 2 3, 2 10PD PC= =
PDC∆ 2 3, 2 10, 2 5PD PC CD= = =
20 40 12 3 2cos 52 2 5 2 10
PCD
+ −∠ = =
× ×
7sin 5PCD∠ = PDC∆
1 1 7sin 2 10 2 5 2 142 2 5PC CD PCD⋅ ∠ = × × × =
B PDC h B PCD− 2 14
3
hV =
1 1 4 2 3 2 2 83 2P BDCV V −= = × × × × = 2 14 83
h = 6 14
7h =
B PDC 6 14
7
ΔABC 2 2 2AC AB BC 2AB BC COS ABC∠= + − ⋅ ⋅
25 1 BC 2 BC= + + ⋅ 2BC 2BC 4 0⇒ + − = BC 2=
所以 .
(2)因为 ,所以 , ,
.在 中, ,
.
所以 .
21.(1)
当 时, , ,
所以 的值域为 .
(2)令 , ,由(1)得 ,问题等价于 ,
恒成立,当 时, ;
当 时, , 恒成立,
因为 , ,当且仅当 时,等号成立,
所以 的最小值为 2,故 ,综上,实数 的取值范围为 .
22.(1)
(2)
,周期为 4 , 所以
ΔABC
1 1 2 1S AB BC sin ABC 1 22 2 2 2
∠= ⋅ ⋅ = × × × =
0 2 5BAD 90 ,sin CAD 5
∠ ∠= = 2 5cos BAC 5
∠ = 5sin BAC 5
∠ =
πsin BCA sin BAC4
所以 ∠ ∠ = − ( )2 cos BAC sin BAC2
∠ ∠= −
2 2 5 5 10
2 5 5 10
= − =
ΔABC AC AB
sin ABC sin BCA∠ ∠=
AB sin ABCAC 5sin BCA
∠
∠
⋅∴ = = 2 2 2CD AC AD 2AC AD cos CAD∠= + − ⋅ ⋅所以
55 16 2 5 4 135
= + − × × × = CD 13=
( ) 2 22sin 2 3sin cos 4cosf x x x x x= − +
22 2cos 2 3sin cosx x x= + − 3 cos2 3sin2x x= + − 2cos 2 33x
π = + +
0, 2x
π ∈
42 ,3 3 3x
π π π + ∈
1cos 2 1,3 2x
π + ∈ −
( )f x [ ]1,4
( )t f x= 0, 2x
π ∈
[ ]1,4t ∈ ( )2 2 2 0t a t a− + + + ≥
[ ]1,4t ∈ 1t = a R∈
1t ≠ ( ) 11 1a t t
≤ − + −
( ]1,4t ∈
( ]1,4t ∈ ( ) ( )1 11 2 1 21 1t tt t
− + ≥ − ⋅ =− − 2t =
( ) 11 1t t
− + − 2a ≤ a ( ],2−∞
( ){ } ( )( ) ( )0 3 1 2f f f f f f = = − =
( ) ( ) ( )1 1 2 12, 2 0,n nx x f x x f x f+= = ∴ = = =
( )3 2 3,x f x= = ( )4 3 1,x f x= = − ( )5 4 2x f x= = 5 1x x∴ =
= .
(3)由题意得
又 而
从而有
此函数的最小正周期为 6,
1)当 时.
.
2)当 时.
.
1 2 4nx x x+ + + 4n
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1
1 2 2{ 0 3 3
2 0 4
f
f
f
f
− =
=
=
=
( ) ( ) ( ) ( )1 2 sin sin sin cos 0ω ϕ ω ϕ ω ϕ− ∴ + = − + ∴ =
0 ω π< < sin 0 cos 0ω ϕ∴ ≠ ∴ = 0 ϕ π< <
2
πϕ∴ =
( )2
3 3 2
{ 2 3 { 2cos 1 3 02 0
A b Acos A
Acos b b A A AAcos b
ω
ω ωω
+ = + − =
+ = ⇒ = − ⇒ − + − =+ =
2 22 4 2 2 3 0 2. 1A A A A A b∴ − + − + = ∴ = = 1cos 2
ω = 0 ω π< <
3
πω∴ =
( ) 2cos 13f x x
π∴ = +
( ) ( )6 0 3f f= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4)+ 5 6 6f f f f f f+ + + + = (
2n k= ( )*k N∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 6f f f n f f f k+ + + = + + +
( ) ( ) ( )1 2 6 6 3k f f f k n = + + + = =
2 1n k= − ( )*k N∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 6 6 2 6 1 6f f f n f f f k f k f k f k+ + + = + + + − − − − −
( ) ( ) ( )1 2 6 5 6 5 3 2k f f f k n = + + + − = − = −