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- 2021-06-15 发布
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备课资料
1.半角定理
在△ABC中,三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系:
,
,
,
其中p=（a+b+c).
证明:,
因为sin＞0,cos＞0,
所以
.
因为p = (a+b+c),
所以a -b+c =2(p-b),a+b-c=2(p -c).
所以.
而
所以.
所以.
同理,可得,
.从上面的证明过程中,我们可以得到用三角形的三条边表示半角的正弦和半角的余弦的公式:
.
同理可得
2.用三角形的三边表示它的内角平分线
设在△ABC中(如右图),已知三边a、b、c,如果三个角A、B和C的平分线分别是tA、tB和tC，那么，用已知边表示三条内角平分线的公式是：
;
;
.
证明：设AD是角A的平分线，并且BD=x，DC=y,那么，在△ADC中，由余弦定理，得tA2=b2+y2-2bycosC,①
根据三角形内角平分线的性质，得,
所以.
因为x+y=a,
所以.
所以.②
将②代入①,得
=.
因为,
所以
=
=所以.
同理,可得.
这就是已知三边求三角形内角平分线的公式.
3.用三角形的三边来表示它的外接圆的半径
设在△ABC中,已知三边a、b、c,那么用已知边表示外接圆半径R的公式是
.
证明: 因为,
所以.
所以.
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