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  • 2021-06-11 发布

高中数学必修5教案:2_4等比数例

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‎2. 4等比数列教案(一)‎ ‎ 授课类型:新授 教学目标 (一) 知识与技能目标 ‎1.等比数列的定义;‎ ‎2.等比数列的通项公式.‎ (二) 过程与能力目标 ‎1.明确等比数列的定义;‎ ‎2.掌握等比数列的通项公式,会解决知道,,,n中的三个,求另一个的问题.‎ 教学重点 ‎1.等比数列概念的理解与掌握;‎ ‎2.等比数列的通项公式的推导及应用.‎ 教学难点 等差数列"等比"的理解、把握和应用.‎ 教学过程 一、情境导入: ‎ 下面我们来看这样几个数列,看其又有何共同特点?(教材上的P48面)‎ ‎1,2,4,8,16,…,263; ① 1,,,,…; ②‎ ‎1,,…; ③ ④‎ 对于数列①,= ; =2(n≥2).对于数列②, =;(n≥2).‎ 对于数列③,= ; =20(n≥2).‎ 共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数.‎ 二、检查预习 ‎1.等比数列的定义.‎ ‎2. 等比数列的通项公式: ‎ ‎, , ‎ ‎3.{an}成等比数列 ‎4.求下面等比数列的第4项与第5项:‎ ‎(1)5,-15,45,……;(2)1.2,2.4,4.8,……;(3),…….‎ 三、合作探究 ‎(1)等比数列中有为0的项吗? ‎ ‎(2)公比为1的数列是什么数列?‎ ‎(3)既是等差数列又是等比数列的数列存在吗?‎ ‎(4)常数列都是等比数列吗?‎ 四交流展示 1. 等比数列的定义:一般地,若一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比,用字母q表示(q≠0),即:=q(q≠0)‎ 注:(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q; {}成等比数列=q(,q≠0.)‎ ‎(2) 隐含:任一项 ‎(3) q=1时,{an}为常数数列. (4).既是等差又是等比数列的数列:非零常数列.‎ ‎2.等比数列的通项公式1: ‎ 观察法:由等比数列的定义,有:;‎ ‎; ;… … … … … … … ‎ ‎.‎ ‎  迭乘法:由等比数列的定义,有:;;;…;‎ ‎      所以,即 等比数列的通项公式2: ‎ 五精讲精练 例1.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.‎ 解: ‎ 点评:考察等比数列项和通项公式的理解 变式训练一:教材第52页第1‎ 例2.求下列各等比数列的通项公式:‎ ‎ ‎ 解:(1)‎ ‎ (2)‎ 点评:求通项时,求首项和公比 变式训练二 :教材第52页第2‎ 例3.教材P50面的例1。‎ 例4. 已知无穷数列,‎ ‎ 求证:(1)这个数列成等比数列;‎ ‎ (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的;‎ ‎ (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.‎ 证:(1)(常数)∴该数列成等比数列.‎ ‎ (2),即:.‎ ‎ (3),∵,∴.‎ ‎ ∴且,‎ ‎∴,(第项).‎ ‎ 变式训练三:教材第53页第3、4题.‎ 六、课堂小结: ‎ ‎1.等比数列的定义;‎ ‎2.等比数列的通项公式及变形式 七、板书设计 八、课后作业 阅读教材第48~50页;‎ ‎2.4等比数列教案(二)‎ ‎ 授课类型:新授 教学目标 (一) 知识与技能目标 进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式;‎ (二) 过程与能力目标 利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质 (三) 方法与价值观 培养学生应用意识.‎ 教学重点,难点 ‎(1)等比数列定义及通项公式的应用;‎ ‎(2)灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题.‎ 教学过程 二.问题情境 ‎1.情境:在等比数列中,(1)是否成立?是否成立?‎ ‎(2)是否成立?‎ ‎2.问题:由情境你能得到等比数列更一般的结论吗?‎ 三.学生活动 对于(1)∵,,∴,成立.‎ 同理 :成立.‎ 对于(2),,,‎ ‎∴,成立.‎ 一般地:若,则.‎ 四.建构数学 ‎1.若为等比数列,,则.‎ 由等比数列通项公式得:,,‎ 故且,‎ ‎ ∵,∴.‎ ‎2.若为等比数列,则.‎ 由等比数列的通项公式知:,则 .‎ 五.数学运用 ‎1.例题:‎ 例1.(1)在等比数列中,是否有()?‎ ‎ (2)在数列中,对于任意的正整数(),都有,‎ 那么数列一定是等比数列.‎ 解:(1)∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列是等比数列,∴,即()成立.‎ ‎(2)不一定.例如对于数列,总有,但这个数列不是等比数列.‎ 例2. 已知为,且,该数列的各项都为正数,求的通项公式。‎ 解:设该数列的公比为,由得,又数列的各项都是正数,故,‎ 则 .‎ 例3.已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。‎ 解:由题意可以设这三个数分别为,得:‎ ‎∴,即得或,‎ ‎∴或, ‎ 故该三数为:1,3,9或,3,或9,3,1或,3,.‎ 说明:已知三数成等比数列,一般情况下设该三数为.‎ 例4. 如图是一个边长为的正三角形,将每边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图形(2),如此继续下去,得图形(3)……求第个图形的边长和周长.‎ 解:设第个图形的边长为,周长为.‎ 由题知,从第二个图形起,每一个图形的边长均为上一个图形的边长的,∴数列是等比数列,首项为,公比为.‎ ‎∴.‎ 要计算第个图形的周长,只要计算第个图形的边数.‎ 第一个图形的边数为,从第二个图形起,每一个图形的边数均为上一个图形的边数的倍,‎ ‎∴第个图形的边数为.‎ ‎.‎ ‎2.练习:‎ ‎1.已知是等比数列且,,‎ 则 .‎ ‎2.已知是等比数列,,,且公比为整数,则 ‎ .‎ ‎3.已知在等比数列中,,,则 .‎ 五.回顾小结:‎ ‎1.等比数列的性质(要和等差数列的性质进行类比记忆).‎ 六.课外作业:书练习第1,2题,习题第6,8,9,10题.‎ 七板书设计 课内探究学案 ‎(一 )学习目标 ‎1.明确等比数列的定义;‎ ‎2.掌握等比数列的通项公式,会解决知道,,,n中的三个,求另一个的问题.‎ 教学重点 ‎1.等比数列概念的理解与掌握;‎ ‎2.等比数列的通项公式的推导及应用.‎ 教学难点 等差数列"等比"的理解、把握和应用.‎ ‎(二)学习过程 ‎1、自主学习、合作探究 ‎1.等差数列的证明:①();②(、),;③证明为常数(对于适用);④证明。‎ ‎2.当引入公比辅助解题或作为参数时,注意考虑是否需要对和进行分类讨论。‎ ‎3.证明数列是等比数列、不是等比数列,讨论数列是否等比数列,求解含参等比数列中的参数这四类问题同源。‎ ‎4.注意巧用等比数列的主要性质,特别是()和()。‎ ‎5. 三数成等比数列,一般可设为、、;四数成等比数列,一般可设为、、、;五数成等比数列,一般可设为、、、、。‎ ‎2、精讲点拨 三、典型例题 例1 数列为各项均为正数的等比数列,它的前项和为80,且前 项中数值最大的项为54,它的前项和为6560,求首项和公比。‎ 解:若,则应有,与题意不符合,故。依题意有:‎ 得即 得或(舍去),。‎ 由知,数列的前项中最大,得。‎ 将代入(1)得 (3),‎ 由得,即 (4),‎ 联立(3)(4)解方程组得。‎ 例2 (1)已知为等比数列,,,求的通项公式。‎ ‎(2)记等比数列的前项和为,已知,,,求和公比的值。‎ 解:(1)设等比数列的公比为(),,则,‎ 即也即,解此关于的一元方程得或。‎ ‎,或。‎ ‎(2)在等比数列中,有,又,联立解得 或,‎ 由此知,而,从而解得 或。‎ 例3 已知数列,其中,且数列(为常数)为等比数列,求常数。‎ 解:为等比数列,那么,将代入并整理得,解之得或。‎ 例4 设、是公比不相等的两个等比数列,,证明数列不是等比数列。‎ 解:设、分别是公比为、()的两个等比数列,要证明不是等比数列,我们只需证即可。事实上 ‎,,,又、,,数列不是等比数列。‎ ‎3、反思总结 ‎4当堂检测 ‎1.已知等比数列中,则其前3项的和的取值范围是( )‎ ‎       ‎ ‎      ‎ ‎2.已知是等比数列,,则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.若实数、、成等比数列,则函数与轴的交点的个数为( )‎ ‎ 无法确定 ‎4. 在数列中,,且是公比为()的等比数列,该数列满足(),则公比的取值范围是( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5.设数列满足(,,),且 ‎,则__________。‎ ‎6.设为公比的等比数列,若和是方程的两根,则__________。‎ ‎7.设是由正数组成的等比数列,公比,且,则__________。‎ ‎8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列,则________。‎ ‎9.设数列为等比数列,,已知,。‎ ‎(1)求等比数列的首项和公比;‎ ‎(2)求数列的通项公式。‎ ‎10.设数列的前项和为,已知 ‎(1)证明:当时,是等比数列;‎ ‎(2)求的通项公式。‎ ‎11.已知数列和满足:,,其中为实数,为正整数。‎ ‎(1)对任意实数,证明数列不是等比数列;‎ ‎(2)试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;‎ ‎(3)设,为数列的前项和。是否存在实数,使得对任意正整数,都有?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由。‎ ‎【当堂检测】‎ ‎1. 解析:设数列的公比为,那么,函数()的值域为,从而求得的取值范围。‎ ‎2. 解析:等比数列的公比,显然数列也是等比数列,其首项为,公比,。‎ ‎3. 解析:、、成等比数列,,二次函数的判别式,从而函数与轴无交点。‎ ‎4. ,,而,‎ ‎,即,解得,而,故公比的取值范围为。‎ ‎5. ‎ 解析:,即,也即,从而数列是公比为的等比数列。。‎ ‎6.‎ 解析:的两根分别为和,,从而、,‎ ‎。。‎ ‎7.‎ 解析:,,‎ ‎。‎ ‎8.‎ 解析:设该等比数列为、、、, ,‎ ‎,从而、、,‎ ‎。‎ ‎9.解:(1)对于等式,令得;令得,,。‎ ‎(2),则 ①‎ ‎①得 ②‎ ‎②①得:‎ ‎。‎ ‎10.解:(1)证明:由题意知,且,‎ 两式相减得,即 ①‎ 当时,由①知,于是 又,所以是首项为1,公比为2的等比数列。‎ ‎(2)当时,由(1)知,即;‎ ‎ 当时,由①得 ‎11.解:(1)证明:假设存在一个实数,使是等比数列,则有,即 ‎,矛盾。‎ 所以不是等比数列.‎ ‎(2)解: ‎ ‎。又,所以 当时,,这时不是等比数列;‎ 当时,由上可知,。‎ 故当时,数列是以为首项,为公比的等比数列。‎ ‎(3)由(2)知,当时,,,不满足题目要求。‎ ‎,故知,可得 ‎,‎ 要使对任意正整数成立,即 ‎,‎ 得 ①‎ 令,则 当为正奇数时,;当为正偶数时,。‎ 所以的最大值为,最小值为。‎ 于是,由①式得。‎ 当时,由知,不存在实数满足题目要求;‎ 当时,存在实数,使得对任意正整数,都有,且的取值范围是。‎ 等比数列学案 一、课前预习 ‎(一)预习目标 ‎1.理解等比数列的定义;‎ ‎2.了解等比数列的通项公式 ‎(二)自我探究 下面我们来看这样几个数列,看其又有何共同特点?(教材上的P48面)‎ ‎1,2,4,8,16,…,263; ① 1,,,,…; ②‎ ‎1,,…; ③ ④‎ 对于数列①,= ; =2(n≥2).对于数列②, =;(n≥2).‎ 对于数列③,= ; =20(n≥2).‎ 共同特点: ‎ ‎ (1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q; {}成等比数列=q(,q≠0.)‎ ‎(2) 隐含:任一项 ‎(3) q=1时,{an}为常数数列. ‎ ‎(4).既是等差又是等比数列的数列:非零常数列.‎ ‎(四)提出疑惑 ‎(五)预习内容 ‎1、等比数列的定义 ‎ ‎2、等比数列的通项公式 ‎ ‎1. 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比,我们通常用字母()表示。数学语言描述:对于数列,如果满足(、,为常数,),那么为等比数列。‎ ‎2.当等比数列的公比时。该等比数列为常数列。‎ ‎3.等比数列的通项公式:,对于等比数列的通项公式,我们有以下结论:‎ ‎①;②(,此结论对于有意义时适用)。‎ ‎4. 等比数列的增减性:若,当时,等比数列为递增数列;当时,等比数列为递减数列;当时,等比数列的增减性无法确定(摆动数列)。若,当时,等比数列为递减数列;当时,等比数列为递增数列;当时,等比数列的增减性无法确定(摆动数列)。‎ ‎5. 如果在数和中间插入一个数,使得、、三数成等比数列,那么我们就称数为数和的等比中项,且。‎ ‎6.等比数列的前项和公式 设数列是公比为的等比数列,那么该数列的前项和 ‎。‎ ‎7.等比数列的主要性质:‎ ‎(1)在等比数列中,若,则;‎ ‎(2)在等比数列中,若,则;‎ ‎(3)对于等比数列,若数列是等差数列,则数列也是等比数列;‎ ‎(4)若数列是等比数列,则对于任意实数,数列、也是等比数列;‎ ‎(5)若数列是等比数列且,则数列也是等比数列;‎ ‎(6)若数列是等比数列且,则数列为等差数列;‎ ‎(7)若数列和都是等比数列,则数列也是等比数列;‎ ‎(8)若是等比数列的前项和,则、、、…成等比数列,其公比为;‎ 四、课堂同步训练 ‎1.已知等比数列中,则其前3项的和的取值范围是( )‎ ‎       ‎ ‎      ‎ ‎2.已知是等比数列,,则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.若实数、、成等比数列,则函数与轴的交点的个数为( )‎ ‎ 无法确定 ‎4. 在数列中,,且是公比为()的等比数列,该数列满足(),则公比的取值范围是( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5.设数列满足(,,),且 ‎,则__________。‎ ‎6.设为公比的等比数列,若和是方程的两根,则__________。‎ ‎7.设是由正数组成的等比数列,公比,且,则__________。‎ ‎8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列,则________。‎ ‎9.设数列为等比数列,,已知,。‎ ‎(1)求等比数列的首项和公比;‎ ‎(2)求数列的通项公式。‎ ‎10.设数列的前项和为,已知 ‎(1)证明:当时,是等比数列;‎ ‎(2)求的通项公式。‎ ‎11.已知数列和满足:,,其中为实数,为正整数。‎ ‎(1)对任意实数,证明数列不是等比数列;‎ ‎(2)试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;‎ ‎(3)设,为数列的前项和。是否存在实数,使得对任意正整数,都有?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由。‎ ‎【同步训练参考答案】‎ ‎1. 解析:设数列的公比为,那么,函数()的值域为,从而求得的取值范围。‎ ‎2. 解析:等比数列的公比,显然数列也是等比数列,其首项为,公比,。‎ ‎3. 解析:、、成等比数列,,二次函数的判别式,从而函数与轴无交点。‎ ‎4. ,,而,‎ ‎,即,解得,而,故公比的取值范围为。‎ ‎5. ‎ 解析:,即,也即,从而数列是公比为的等比数列。。‎ ‎6.‎ 解析:的两根分别为和,,从而、,。。‎ ‎7.‎ 解析:,,‎ ‎。‎ ‎8.‎ 解析:设该等比数列为、、、, ,‎ ‎,从而、、,‎ ‎。‎ ‎9.解:(1)对于等式,令得;令得,,。‎ ‎(2),则 ①‎ ‎①得 ②‎ ‎②①得:‎ ‎。‎ ‎10.解:(1)证明:由题意知,且,‎ 两式相减得,即 ①‎ 当时,由①知,于是 又,所以是首项为1,公比为2的等比数列。‎ ‎(2)当时,由(1)知,即;‎ ‎ 当时,由①得 故当时,数列是以为首项,为公比的等比数列。‎ ‎(3)由(2)知,当时,,,不满足题目要求。‎ ‎,故知,可得 ‎,‎ 要使对任意正整数成立,即 ‎,‎ 得 ①‎ 令,则 当为正奇数时,;当为正偶数时,。‎ 所以的最大值为,最小值为。‎ 于是,由①式得。‎ 当时,由知,不存在实数满足题目要求;‎ 当时,存在实数,使得对任意正整数,都有,且的取值范围是。 ‎