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- 2021-06-11 发布
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2. 4等比数列教案(一)
授课类型:新授
教学目标
(一) 知识与技能目标
1.等比数列的定义;
2.等比数列的通项公式.
(二) 过程与能力目标
1.明确等比数列的定义;
2.掌握等比数列的通项公式,会解决知道,,,n中的三个,求另一个的问题.
教学重点
1.等比数列概念的理解与掌握;
2.等比数列的通项公式的推导及应用.
教学难点
等差数列"等比"的理解、把握和应用.
教学过程
一、情境导入:
下面我们来看这样几个数列,看其又有何共同特点?(教材上的P48面)
1,2,4,8,16,…,263; ① 1,,,,…; ②
1,,…; ③ ④
对于数列①,= ; =2(n≥2).对于数列②, =;(n≥2).
对于数列③,= ; =20(n≥2).
共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数.
二、检查预习
1.等比数列的定义.
2. 等比数列的通项公式:
, ,
3.{an}成等比数列
4.求下面等比数列的第4项与第5项:
(1)5,-15,45,……;(2)1.2,2.4,4.8,……;(3),…….
三、合作探究
(1)等比数列中有为0的项吗?
(2)公比为1的数列是什么数列?
(3)既是等差数列又是等比数列的数列存在吗?
(4)常数列都是等比数列吗?
四交流展示
1. 等比数列的定义:一般地,若一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比,用字母q表示(q≠0),即:=q(q≠0)
注:(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q; {}成等比数列=q(,q≠0.)
(2) 隐含:任一项
(3) q=1时,{an}为常数数列. (4).既是等差又是等比数列的数列:非零常数列.
2.等比数列的通项公式1:
观察法:由等比数列的定义,有:;
; ;… … … … … … …
.
迭乘法:由等比数列的定义,有:;;;…;
所以,即
等比数列的通项公式2:
五精讲精练
例1.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.
解:
点评:考察等比数列项和通项公式的理解
变式训练一:教材第52页第1
例2.求下列各等比数列的通项公式:
解:(1)
(2)
点评:求通项时,求首项和公比
变式训练二 :教材第52页第2
例3.教材P50面的例1。
例4. 已知无穷数列,
求证:(1)这个数列成等比数列;
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的;
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.
证:(1)(常数)∴该数列成等比数列.
(2),即:.
(3),∵,∴.
∴且,
∴,(第项).
变式训练三:教材第53页第3、4题.
六、课堂小结:
1.等比数列的定义;
2.等比数列的通项公式及变形式
七、板书设计
八、课后作业
阅读教材第48~50页;
2.4等比数列教案(二)
授课类型:新授
教学目标
(一) 知识与技能目标
进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式;
(二) 过程与能力目标
利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质
(三) 方法与价值观
培养学生应用意识.
教学重点,难点
(1)等比数列定义及通项公式的应用;
(2)灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题.
教学过程
二.问题情境
1.情境:在等比数列中,(1)是否成立?是否成立?
(2)是否成立?
2.问题:由情境你能得到等比数列更一般的结论吗?
三.学生活动
对于(1)∵,,∴,成立.
同理 :成立.
对于(2),,,
∴,成立.
一般地:若,则.
四.建构数学
1.若为等比数列,,则.
由等比数列通项公式得:,,
故且,
∵,∴.
2.若为等比数列,则.
由等比数列的通项公式知:,则 .
五.数学运用
1.例题:
例1.(1)在等比数列中,是否有()?
(2)在数列中,对于任意的正整数(),都有,
那么数列一定是等比数列.
解:(1)∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列是等比数列,∴,即()成立.
(2)不一定.例如对于数列,总有,但这个数列不是等比数列.
例2. 已知为,且,该数列的各项都为正数,求的通项公式。
解:设该数列的公比为,由得,又数列的各项都是正数,故,
则 .
例3.已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。
解:由题意可以设这三个数分别为,得:
∴,即得或,
∴或,
故该三数为:1,3,9或,3,或9,3,1或,3,.
说明:已知三数成等比数列,一般情况下设该三数为.
例4. 如图是一个边长为的正三角形,将每边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图形(2),如此继续下去,得图形(3)……求第个图形的边长和周长.
解:设第个图形的边长为,周长为.
由题知,从第二个图形起,每一个图形的边长均为上一个图形的边长的,∴数列是等比数列,首项为,公比为.
∴.
要计算第个图形的周长,只要计算第个图形的边数.
第一个图形的边数为,从第二个图形起,每一个图形的边数均为上一个图形的边数的倍,
∴第个图形的边数为.
.
2.练习:
1.已知是等比数列且,,
则 .
2.已知是等比数列,,,且公比为整数,则
.
3.已知在等比数列中,,,则 .
五.回顾小结:
1.等比数列的性质(要和等差数列的性质进行类比记忆).
六.课外作业:书练习第1,2题,习题第6,8,9,10题.
七板书设计
课内探究学案
(一 )学习目标
1.明确等比数列的定义;
2.掌握等比数列的通项公式,会解决知道,,,n中的三个,求另一个的问题.
教学重点
1.等比数列概念的理解与掌握;
2.等比数列的通项公式的推导及应用.
教学难点
等差数列"等比"的理解、把握和应用.
(二)学习过程
1、自主学习、合作探究
1.等差数列的证明:①();②(、),;③证明为常数(对于适用);④证明。
2.当引入公比辅助解题或作为参数时,注意考虑是否需要对和进行分类讨论。
3.证明数列是等比数列、不是等比数列,讨论数列是否等比数列,求解含参等比数列中的参数这四类问题同源。
4.注意巧用等比数列的主要性质,特别是()和()。
5. 三数成等比数列,一般可设为、、;四数成等比数列,一般可设为、、、;五数成等比数列,一般可设为、、、、。
2、精讲点拨
三、典型例题
例1 数列为各项均为正数的等比数列,它的前项和为80,且前
项中数值最大的项为54,它的前项和为6560,求首项和公比。
解:若,则应有,与题意不符合,故。依题意有:
得即
得或(舍去),。
由知,数列的前项中最大,得。
将代入(1)得 (3),
由得,即 (4),
联立(3)(4)解方程组得。
例2 (1)已知为等比数列,,,求的通项公式。
(2)记等比数列的前项和为,已知,,,求和公比的值。
解:(1)设等比数列的公比为(),,则,
即也即,解此关于的一元方程得或。
,或。
(2)在等比数列中,有,又,联立解得
或,
由此知,而,从而解得
或。
例3 已知数列,其中,且数列(为常数)为等比数列,求常数。
解:为等比数列,那么,将代入并整理得,解之得或。
例4 设、是公比不相等的两个等比数列,,证明数列不是等比数列。
解:设、分别是公比为、()的两个等比数列,要证明不是等比数列,我们只需证即可。事实上
,,,又、,,数列不是等比数列。
3、反思总结
4当堂检测
1.已知等比数列中,则其前3项的和的取值范围是( )
2.已知是等比数列,,则
3.若实数、、成等比数列,则函数与轴的交点的个数为( )
无法确定
4. 在数列中,,且是公比为()的等比数列,该数列满足(),则公比的取值范围是( )
5.设数列满足(,,),且
,则__________。
6.设为公比的等比数列,若和是方程的两根,则__________。
7.设是由正数组成的等比数列,公比,且,则__________。
8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列,则________。
9.设数列为等比数列,,已知,。
(1)求等比数列的首项和公比;
(2)求数列的通项公式。
10.设数列的前项和为,已知
(1)证明:当时,是等比数列;
(2)求的通项公式。
11.已知数列和满足:,,其中为实数,为正整数。
(1)对任意实数,证明数列不是等比数列;
(2)试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;
(3)设,为数列的前项和。是否存在实数,使得对任意正整数,都有?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由。
【当堂检测】
1. 解析:设数列的公比为,那么,函数()的值域为,从而求得的取值范围。
2. 解析:等比数列的公比,显然数列也是等比数列,其首项为,公比,。
3. 解析:、、成等比数列,,二次函数的判别式,从而函数与轴无交点。
4. ,,而,
,即,解得,而,故公比的取值范围为。
5.
解析:,即,也即,从而数列是公比为的等比数列。。
6.
解析:的两根分别为和,,从而、,
。。
7.
解析:,,
。
8.
解析:设该等比数列为、、、, ,
,从而、、,
。
9.解:(1)对于等式,令得;令得,,。
(2),则 ①
①得 ②
②①得:
。
10.解:(1)证明:由题意知,且,
两式相减得,即 ①
当时,由①知,于是
又,所以是首项为1,公比为2的等比数列。
(2)当时,由(1)知,即;
当时,由①得
11.解:(1)证明:假设存在一个实数,使是等比数列,则有,即
,矛盾。
所以不是等比数列.
(2)解:
。又,所以
当时,,这时不是等比数列;
当时,由上可知,。
故当时,数列是以为首项,为公比的等比数列。
(3)由(2)知,当时,,,不满足题目要求。
,故知,可得
,
要使对任意正整数成立,即
,
得 ①
令,则
当为正奇数时,;当为正偶数时,。
所以的最大值为,最小值为。
于是,由①式得。
当时,由知,不存在实数满足题目要求;
当时,存在实数,使得对任意正整数,都有,且的取值范围是。
等比数列学案
一、课前预习
(一)预习目标
1.理解等比数列的定义;
2.了解等比数列的通项公式
(二)自我探究
下面我们来看这样几个数列,看其又有何共同特点?(教材上的P48面)
1,2,4,8,16,…,263; ① 1,,,,…; ②
1,,…; ③ ④
对于数列①,= ; =2(n≥2).对于数列②, =;(n≥2).
对于数列③,= ; =20(n≥2).
共同特点:
(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q; {}成等比数列=q(,q≠0.)
(2) 隐含:任一项
(3) q=1时,{an}为常数数列.
(4).既是等差又是等比数列的数列:非零常数列.
(四)提出疑惑
(五)预习内容
1、等比数列的定义
2、等比数列的通项公式
1. 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比,我们通常用字母()表示。数学语言描述:对于数列,如果满足(、,为常数,),那么为等比数列。
2.当等比数列的公比时。该等比数列为常数列。
3.等比数列的通项公式:,对于等比数列的通项公式,我们有以下结论:
①;②(,此结论对于有意义时适用)。
4. 等比数列的增减性:若,当时,等比数列为递增数列;当时,等比数列为递减数列;当时,等比数列的增减性无法确定(摆动数列)。若,当时,等比数列为递减数列;当时,等比数列为递增数列;当时,等比数列的增减性无法确定(摆动数列)。
5. 如果在数和中间插入一个数,使得、、三数成等比数列,那么我们就称数为数和的等比中项,且。
6.等比数列的前项和公式
设数列是公比为的等比数列,那么该数列的前项和
。
7.等比数列的主要性质:
(1)在等比数列中,若,则;
(2)在等比数列中,若,则;
(3)对于等比数列,若数列是等差数列,则数列也是等比数列;
(4)若数列是等比数列,则对于任意实数,数列、也是等比数列;
(5)若数列是等比数列且,则数列也是等比数列;
(6)若数列是等比数列且,则数列为等差数列;
(7)若数列和都是等比数列,则数列也是等比数列;
(8)若是等比数列的前项和,则、、、…成等比数列,其公比为;
四、课堂同步训练
1.已知等比数列中,则其前3项的和的取值范围是( )
2.已知是等比数列,,则
3.若实数、、成等比数列,则函数与轴的交点的个数为( )
无法确定
4. 在数列中,,且是公比为()的等比数列,该数列满足(),则公比的取值范围是( )
5.设数列满足(,,),且
,则__________。
6.设为公比的等比数列,若和是方程的两根,则__________。
7.设是由正数组成的等比数列,公比,且,则__________。
8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列,则________。
9.设数列为等比数列,,已知,。
(1)求等比数列的首项和公比;
(2)求数列的通项公式。
10.设数列的前项和为,已知
(1)证明:当时,是等比数列;
(2)求的通项公式。
11.已知数列和满足:,,其中为实数,为正整数。
(1)对任意实数,证明数列不是等比数列;
(2)试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;
(3)设,为数列的前项和。是否存在实数,使得对任意正整数,都有?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由。
【同步训练参考答案】
1. 解析:设数列的公比为,那么,函数()的值域为,从而求得的取值范围。
2. 解析:等比数列的公比,显然数列也是等比数列,其首项为,公比,。
3. 解析:、、成等比数列,,二次函数的判别式,从而函数与轴无交点。
4. ,,而,
,即,解得,而,故公比的取值范围为。
5.
解析:,即,也即,从而数列是公比为的等比数列。。
6.
解析:的两根分别为和,,从而、,。。
7.
解析:,,
。
8.
解析:设该等比数列为、、、, ,
,从而、、,
。
9.解:(1)对于等式,令得;令得,,。
(2),则 ①
①得 ②
②①得:
。
10.解:(1)证明:由题意知,且,
两式相减得,即 ①
当时,由①知,于是
又,所以是首项为1,公比为2的等比数列。
(2)当时,由(1)知,即;
当时,由①得
故当时,数列是以为首项,为公比的等比数列。
(3)由(2)知,当时,,,不满足题目要求。
,故知,可得
,
要使对任意正整数成立,即
,
得 ①
令,则
当为正奇数时,;当为正偶数时,。
所以的最大值为,最小值为。
于是,由①式得。
当时,由知,不存在实数满足题目要求;
当时,存在实数,使得对任意正整数,都有,且的取值范围是。
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