2012年辽宁省高考数学试卷（文科） 26页

‎2012年辽宁省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）已知向量=（1，﹣1），=（2，x）．若•=1，则x=（　　）‎ A．﹣1 B．﹣ C． D．1‎ ‎2．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁UA）∩（∁UB）=（　　）‎ A．{5，8} B．{7，9} C．{0，1，3} D．{2，4，6}‎ ‎3．（5分）复数=（　　）‎ A． B． C．1﹣i D．1+i ‎4．（5分）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（　　）‎ A．12 B．16 C．20 D．24‎ ‎5．（5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（　　）‎ A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0‎ C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0‎ ‎6．（5分）已知，α∈（0，π），则sin2α=（　　）‎ A．﹣1 B． C． D．1‎ ‎7．（5分）将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线是（　　）‎ A．x+y﹣1=0 B．x+y+3=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y+3=0‎ ‎8．（5分）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（　　）‎ A．（﹣1，1] B．（0，1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎9．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（　　）‎ A．20 B．35 C．45 D．55‎ ‎10．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（　　）‎ A．4 B． C． D．﹣1‎ ‎11．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（　　）‎ A．1 B．3 C．﹣4 D．﹣8‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，满分20分）‎ ‎13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　．‎ ‎14．（5分）已知等比数列{an}为递增数列．若a1＞0，且2（an+an+2）=5an+1，则数列{an}的公比q=　　．‎ ‎15．（5分）已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为　　．‎ ‎16．（5分）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形．若PA=2，则△OAB的面积为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求cosB的值；‎ ‎（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．‎ ‎18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥A′﹣MNC的体积．‎ ‎（椎体体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高）‎ ‎19．（12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．‎ ‎（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 ‎（Ⅱ）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．‎ P（ K2≥k）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ 附．‎ ‎20．（12分）如图，动圆，1＜t＜3与椭圆C2：相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．‎ ‎（Ⅰ）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；‎ ‎（Ⅱ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．‎ ‎21．（12分）设，证明：‎ ‎（Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜（ x﹣1）；‎ ‎（Ⅱ）当1＜x＜3时，．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。‎ ‎22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲 如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：‎ ‎（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；‎ ‎（Ⅱ）AC=AE．‎ ‎23．选修4﹣4：坐标系与参数方程 在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．‎ ‎（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；‎ ‎（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．‎ ‎24．选修4﹣5：不等式选讲 已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2012年辽宁省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）（2012•辽宁）已知向量=（1，﹣1），=（2，x）．若•=1，则x=（　　）‎ A．﹣1 B．﹣ C． D．1‎ ‎【分析】由题意，=（1，﹣1），=（2，x）．•=1，由数量积公式可得到方程2﹣x=1，解此方程即可得出正确选项 ‎【解答】解：因为向量=（1，﹣1），=（2，x）．•=1‎ 所以2﹣x=1，解得x=1‎ 故选D ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•辽宁）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁UA）∩（∁UB）=（　　）‎ A．{5，8} B．{7，9} C．{0，1，3} D．{2，4，6}‎ ‎【分析】由题已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，可先求出两集合A，B的补集，再由交的运算求出（∁UA）∩（∁UB）‎ ‎【解答】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，‎ 所以CUA={2，4，6，7，9}，CUB={0，1，3，7，9}，‎ 所以（CUA）∩（CUB）={7，9}‎ 故选B ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•辽宁）复数=（　　）‎ A． B． C．1﹣i D．1+i ‎【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项 ‎【解答】解：‎ 故选A ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•辽宁）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（　　）‎ A．12 B．16 C．20 D．24‎ ‎【分析】利用等差数列的性质可得，a2+a10=a4+a8，可求结果 ‎【解答】解：由等差数列的性质可得，则a2+a10=a4+a8=16，‎ 故选B ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•辽宁）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（　　）‎ A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0‎ C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0‎ ‎【分析】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项 ‎【解答】解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，‎ 故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•辽宁）已知，α∈（0，π），则sin2α=（　　）‎ A．﹣1 B． C． D．1‎ ‎【分析】由，两边同时平方，结合同角平方关系可求．‎ ‎【解答】解：∵，‎ 两边同时平方可得，（sinα﹣cosα）2=2，‎ ‎∴1﹣2sinαcosα=2，‎ ‎∴sin2α=﹣1．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•辽宁）将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线是（　　）‎ A．x+y﹣1=0 B．x+y+3=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y+3=0‎ ‎【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程．‎ ‎【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，‎ 可得出圆心坐标为（1，2），‎ 将x=1，y=2代入A选项得：x+y﹣1=1+2﹣1=2≠0，故圆心不在此直线上；‎ 将x=1，y=2代入B选项得：x+y+3=1+2+3=6≠0，故圆心不在此直线上；‎ 将x=1，y=2代入C选项得：x﹣y+1=1﹣2+1=0，故圆心在此直线上；‎ 将x=1，y=2代入D选项得：x﹣y+3=1﹣2+3=2≠0，故圆心不在此直线上，‎ 则直线x﹣y+1=0将圆平分．‎ 故选C ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•辽宁）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（　　）‎ A．（﹣1，1] B．（0，1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎【分析】由y=x2﹣lnx得y′=，由y′≤0即可求得函数y=x2﹣lnx的单调递减区间．‎ ‎【解答】解：∵y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），‎ y′=，‎ ‎∴由y′≤0得：0＜x≤1，‎ ‎∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•辽宁）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（　　）‎ A．20 B．35 C．45 D．55‎ ‎【分析】先画出满足约束条件 的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．‎ ‎【解答】解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：‎ 令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大 作直线l：2x+3y=0‎ 把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，‎ 由可得x=5，y=15，此时z=55‎ 故选D ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•辽宁）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（　　）‎ A．4 B． C． D．﹣1‎ ‎【分析】根据流程图，先进行判定条件，满足条件则运行循环体，一直执行到不满足条件即跳出循环体，求出此时的S即可．‎ ‎【解答】解：第一次运行得：S=﹣1，i=2，满足i＜6，则继续运行 第二次运行得：S=，i=3，满足i＜6，则继续运行 第三次运行得：S=，i=4，满足i＜6，则继续运行 第四次运行得：S=4，i=5，满足i＜6，则继续运行 第五次运行得：S=﹣1，i=6，不满足i＜6，则停止运行 输出S=﹣1，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2012•辽宁）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．‎ ‎【解答】解：设AC=x，则BC=12﹣x（0＜x＜12）‎ 矩形的面积S=x（12﹣x）＞20‎ ‎∴x2﹣12x+20＜0‎ ‎∴2＜x＜10‎ 由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P==．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2012•辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（　　）‎ A．1 B．3 C．﹣4 D．﹣8‎ ‎【分析】首先可求出P（4，8），Q（﹣2，2），然后根据导数的几何意义求出切线方程AP，AQ的斜率KAP，KAQ ‎，再根据点斜式写出切线方程，然后联立方程即可求出点A的纵坐标．‎ ‎【解答】解：∵P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，‎ ‎∴P（4，8），Q（﹣2，2），‎ ‎∵x2=2y，‎ ‎∴y=，‎ ‎∴y′=x，‎ ‎∴切线方程AP，AQ的斜率KAP=4，KAQ=﹣2，‎ ‎∴切线方程AP为y﹣8=4（x﹣4），即y=4x﹣8，‎ 切线方程AQ的为y﹣2=﹣2（x+2），即y=﹣2x﹣2，‎ 令，‎ ‎∴，‎ ‎∴点A的纵坐标为﹣4．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，满分20分）‎ ‎13．（5分）（2012•辽宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　12+π　．‎ ‎【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个圆柱，底面直径为2，高为1．下部为长方体，长、宽、高分别为4，3，1．分别求体积再相加即可．‎ ‎【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一个圆柱，底面直径为2，高为1，体积为π×12×1=π．‎ 下部为长方体，长、宽、高分别为4，3，1，体积为4×3×1=12．‎ 故所求体积等于12+π 故答案为：12+π ‎　‎ ‎14．（5分）（2012•辽宁）已知等比数列{an}为递增数列．若a1＞0，且2（an+an+2）=5an+1，则数列{an}的公比q=　2　．‎ ‎【分析】由{an}为递增数列且a1＞0可知q＞1，由已知可得2（）=5anq，可求q ‎【解答】解：∵{an}为递增数列且a1＞0‎ ‎∴q＞1‎ ‎∵2（an+an+2）=5an+1，‎ ‎∴2（）=5anq ‎∴2+2q2=5q ‎∴q=2‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2012•辽宁）已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为　　．‎ ‎【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．‎ ‎【解答】解：∵PF1⊥PF2，‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．‎ ‎∵双曲线方程为x2﹣y2=1，‎ ‎∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8‎ 又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，‎ ‎∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4‎ 因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12‎ ‎∴|PF1|+|PF2|的值为 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2012•辽宁）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形．若PA=2，则△OAB的面积为　　．‎ ‎【分析】可将P，A，B，C，D补全为长方体ABCD﹣A′B′C′D′，让P与A′重合，则该长方体的对角线PC即为球O的直径（球O为该长方体的外接球，于是可求得PC的长度，可判断△OAB为等边三角形，从而而求其面积．‎ ‎【解答】解：依题意，可将P，A，B，C，D补全为长方体ABCD﹣A′B′C′D′，让P与A′重合，则球O为该长方体的外接球，长方体的对角线PC即为球O的直径．‎ ‎∵ABCD是边长为2正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，‎ ‎∴PC2=AP2+AC2=24+24=48，‎ ‎∴2R=4，R=OP=2，‎ ‎∴△OAB为边长是2的等边三角形，‎ ‎∴S△OAB=×2×2×sin60°‎ ‎=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．（12分）（2012•辽宁）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求cosB的值；‎ ‎（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB的值；‎ ‎（Ⅱ）（解法一），由b2=ac，cosB=，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；‎ ‎（解法二），由b2=ac，cosB=，根据余弦定理cosB=可求得a=c，从而可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，‎ ‎∴cosB=；…6分 ‎（Ⅱ）（解法一）‎ 由已知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC，‎ 又cosB=，‎ ‎∴sinAsinC=1﹣cos2B=…12分 ‎（解法二）‎ 由已知b2=ac及cosB=，‎ 根据余弦定理cosB=解得a=c，‎ ‎∴B=A=C=60°，‎ ‎∴sinAsinC=…12分 ‎　‎ ‎18．（12分）（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥A′﹣MNC的体积．‎ ‎（椎体体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高）‎ ‎【分析】（Ⅰ）证法一，连接AB′，AC′，通过证明MN∥AC′证明MN∥平面A′ACC′．‎ 证法二，通过证出MP∥AA′，PN∥A′C′．证出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，即能证明平面MPN∥平面A′ACC′后证明MN∥平面A′ACC′．‎ ‎（Ⅱ）解法一，连接BN，则V A′﹣MNC=V N﹣A′MC=V N﹣A′BC=V A′﹣NBC=．‎ 解法二，V A′﹣MNC=V A′﹣NBC﹣V M﹣NBC=V A′﹣NBC=．‎ ‎【解答】（Ⅰ）（证法一）‎ 连接AB′，AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，‎ 所以M为AB′的中点，又因为N为B′C′中点，所以MN∥AC′，‎ 又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′；‎ ‎（证法二）‎ 取A′B′中点，连接MP，NP．而M，N分别为AB′，B′C′中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′．所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′；又MP∩PN=P，‎ 所以平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′；‎ ‎（Ⅱ）（解法一）连接BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′，所以A′N⊥平面NBC，又A′N=B′C′=1，故 V A′﹣MNC=V N﹣A′MC=V N﹣A′BC=V A′﹣NBC=．‎ ‎（解法二）‎ V A′﹣MNC=V A′﹣NBC﹣V M﹣NBC=V A′﹣NBC=．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．‎ ‎（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 ‎（Ⅱ）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．‎ P（ K2≥k）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ 附．‎ ‎【分析】（I）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K方，与3.841比较即可得出结论；‎ ‎（II）由题意，列出所有的基本事件，计算出事件“任选3人，至少有1人是女性”包含的基本事件数，即可计算出概率．‎ ‎【解答】解：（I）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎…3分 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 ‎==≈3.03‎ 因为3.03＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关…6分 ‎（II）由频率分布直方图知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所的基本事件空间为 Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}‎ 其中ai表示男性，i=1，2，3，bi表示女性，i=1，2…9分 Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示事件“任选2人，至少有1人是女性”．则 A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}‎ 事件A有7个基本事件组成，因而P（A）=…12分 ‎　‎ ‎20．（12分）（2012•辽宁）如图，动圆，1＜t＜3与椭圆C2：‎ 相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．‎ ‎（Ⅰ）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；‎ ‎（Ⅱ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设A（x0，y0），则矩形ABCD的面积S=4|x0||y0|，由得，从而=，由此可求矩形ABCD的面积的最大值；‎ ‎（Ⅱ）由A（x0，y0），B（x0，﹣y0），A1（﹣3，0），A2（3，0），确定直线AA1的方程，直线A2B方程，利用，即可求得直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，y0），则矩形ABCD的面积S=4|x0||y0|‎ 由得，从而==‎ ‎∴，时，Smax=6‎ ‎∴t=时，矩形ABCD的面积取得最大值，最大面积为6；‎ ‎（Ⅱ）由A（x0，y0），B（x0，﹣y0），A1（﹣3，0），A2（3，0），知直线AA1的方程为①‎ 直线A2B方程为②‎ 由①②可得：③‎ ‎∵④‎ ‎∴④代入③可得（x＜﹣3，y＜0）‎ ‎∴直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程（x＜﹣3，y＜0）．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2012•辽宁）设，证明：‎ ‎（Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜（ x﹣1）；‎ ‎（Ⅱ）当1＜x＜3时，．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证法一，记g（x）=lnx+﹣1﹣（x﹣1），可得到g′（x）=+﹣＜0，从而g（x）为减函数，又g（1）=0，当x＞1时，g（x）＜g（1），问题解决；‎ 证法二，利用均值不等式，可证得，当x＞1时，＜+．①，令k（x）=lnx﹣x+1，同理可证k（x）为减函数，于是有lnx＜x﹣1②，由①②可证得结论；‎ ‎（Ⅱ）记h（x）=f（x）﹣，可求得h′（x）=﹣＜＜0（1＜x＜3），从而h（x）在（1，3）内是递减函数，又由h（1）=0，得h（x）＜0，从而证得结论；‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）（证法一）：‎ 记g（x）=lnx+﹣1﹣（x﹣1），则当x＞1时，g′（x）=+﹣＜0，‎ 又g（1）=0，有g（x）＜0，即f（x）＜（ x﹣1）；…4′‎ ‎（证法二）由均值不等式，当x＞1时，2＜x+1，故＜+．①‎ 令k（x）=lnx﹣x+1，则k（1）=0，k′（x）=﹣1＜0，故k（x）＜0，即lnx＜x﹣1②‎ 由①②得当x＞1时，f（x）＜（ x﹣1）；‎ ‎（Ⅱ）记h（x）=f（x）﹣，由（Ⅰ）得，‎ h′（x）=+﹣‎ ‎=﹣‎ ‎＜﹣‎ ‎=，‎ 令g（x）=（x+5）3﹣216x，则当1＜x＜3时，g′（x）=3（x+5）2﹣216＜0，‎ ‎∴g（x）在（1，3）内是递减函数，又由g（1）=0，得g（x）＜0，‎ ‎∴h′（x）＜0，…10′‎ 因此，h（x）在（1，3）内是递减函数，又由h（1）=0，得h（x）＜0，‎ 于是，当1＜x＜3时，f（x）＜…12′‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。‎ ‎22．（10分）（2012•辽宁）选修4﹣1：几何证明选讲 如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：‎ ‎（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；‎ ‎（Ⅱ）AC=AE．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB=∠ADB，同理得到∠ACB=∠DAB，即可得到△ACB∽△DAB，进而得到结论；‎ ‎（Ⅱ）由AD与⊙O相切于A，得∠AED=∠BDA，再结合∠ADE=∠BDA，得到△EAD∽△ABD，最后结合第一问的结论即可得到 AC=AE成立．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）由AC与⊙O′相切于A，‎ 得∠CAB=∠ADB，‎ 同理∠ACB=∠DAB，‎ 所以△ACB∽△DAB，‎ 从而，‎ 即 AC•BD=AD•AB．‎ ‎（Ⅱ）由AD与⊙O相切于A，‎ 得∠AED=∠BAD，‎ 又∠ADE=∠BDA，‎ 得△EAD∽△ABD，‎ 从而，即AE•BD=AD•AB．‎ 结合（Ⅰ）的结论，AC=AE．‎ ‎　‎ ‎23．（2012•辽宁）选修4﹣4：坐标系与参数方程 在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．‎ ‎（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；‎ ‎（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．‎ ‎【分析】（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；‎ ‎（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．‎ 解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程．‎ ‎【解答】解：（I）由，x2+y2=ρ2，‎ 可知圆，的极坐标方程为ρ=2，‎ 圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，‎ 解得：ρ=2，，‎ 故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．‎ ‎（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．‎ 故圆C1，C2的公共弦的参数方程为 ‎（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）‎ ‎（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1‎ 从而于 是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．‎ ‎　‎ ‎24．（2012•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲 已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先解不等式|ax+1|≤3，再根据不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，分类讨论，即可得到结论．‎ ‎（Ⅱ）记，从而h（x）=，求得|h（x）|≤1，即可求得k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2‎ ‎∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．‎ ‎∴当a≤0时，不合题意；‎ 当a＞0时，，‎ ‎∴a=2；‎ ‎（Ⅱ）记，‎ ‎∴h（x）=‎ ‎∴|h（x）|≤1‎ ‎∵恒成立，‎ ‎∴k≥1．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；吕静；sllwyn；wfy814；minqi5；蔡华侨；zwx097；邢新丽；ywg2058；刘长柏；庞会丽；qiss（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日