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- 2021-06-15 发布
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随堂巩固训练(44)
1. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为__2__．
解析：易知过原点且倾斜角为60°的直线方程为y＝x，圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝4，圆心为(0，2)，半径为2，所以圆心到直线的距离为＝1.设弦长为l，则＝，解得l＝2.
2. 若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为__(－∞，－3)∪__．
解析：将圆的方程化为(x－a)2＋y2＝3－2a.由题意知点A(a，a)在圆外，且>0，所以解得所以10)的公共弦长为2，则a＝__1__．
解析：联立方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4，相减得2ay＝2，所以y＝.由题意得＝，解得a＝1.
8. 圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0的位置关系是__相离__．
解析：将圆的方程化为标准方程得x2＋y2＝，所以圆心坐标为(0，0)，半径r＝.因为|sinθ|<1，所以<，所以圆心到直线xsinθ＋y－1＝0的距离d＝>＝r
，则直线与圆的位置关系是相离．
9. 若直线l：x＋y－2＝0与圆C：x2＋y2－2x－6y＋2＝0交于A，B两点，则△ABC的面积为__2__．
解析：圆C：x2＋y2－2x－6y＋2＝0的圆心为(1，3)，半径r＝2，圆心到直线的距离d＝＝，所以AB＝2，所以S△ABC＝×2×＝2.
10. 已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1) 求圆A的方程；
(2) 当MN＝2时，求直线l的方程．
解析：(1) 设圆A的半径为r.
因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
所以r＝＝2，
所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2) ①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
连结AQ，则AQ⊥MN.
因为MN＝2，所以AQ＝＝1，
所以由AQ＝＝1，得k＝，
所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
11. 已知点P(0，5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1) 若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求直线l的方程；
(2) 求过点P的圆C的弦的中点的轨迹方程．
解析：(1) 方法一：圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16.
如图所示，AB＝4，D是AB的中点，
所以CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，在Rt△ACD中，CD＝＝2.
当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点到直线距离公式得＝2，解得k＝，
所以直线l的方程为3x－4y＋20＝0；
当直线l的斜率不存在时也满足题意，此时直线的方程为x＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
方法二：当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx＋5，
联立方程组
消去y并整理得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0.①
设方程①的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝－.②
由弦长公式得|x1－x2|＝＝4，
将②代入得k＝，
所以直线l的方程为3x－4y＋20＝0；
当直线l的斜率不存在时也满足题意，此时直线的方程为x＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2) 设过点P的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，
所以·＝0，即(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，
化简得x2＋y2＋2x－11y＋30＝0，
故所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两个等腰直角三角形，A(－2，0)，C(a，0)(a>0)．设△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M，N.
(1) 若圆M与直线CD相切，求直线CD的方程；
(2) 若直线AB截圆N所得弦长为4，求圆N的标准方程；
(3) 是否存在这样的圆N，使得圆N上有且只有三个点到直线AB的距离为？若存在，求此时圆N的标准方程；若不存在，请说明理由．
解析：(1) 由题意得圆心M(－1，1)，直线CD的方程为x＋y－a＝0，
所以圆M的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.
因为圆M与直线CD相切，
所以圆心M到直线CD的距离d＝＝，
解得a＝2(舍去负值)，
所以直线CD的方程为x＋y－2＝0.
(2) 由题意得直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心N，
所以圆心N到直线AB的距离为＝.
因为直线AB截圆N所得的弦长为4，
所以＋()2＝＋，
所以a＝2(舍去负值)，
所以圆N的标准方程为(x－)2＋(y－)2＝6.
(3) 存在圆N，使得圆N上有且只有三个点到直线AB的距离为.
由(2)知圆心N到直线AB的距离为(定值)，且AB⊥CD始终成立，
所以当且仅当圆N的半径＝2，即a＝4时，圆N上有且只有三个点到直线AB的距离为，
此时圆N的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.
13. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝4交x轴于点A，B(点A在x轴的负半轴上)，M为圆O上一动点，MA，MB分别交直线x＝4于P，Q两点．
(1) 求P，Q两点纵坐标的乘积；
(2) 若点C的坐标为(1，0)，连结MC交圆O于另一点N.
①试判断点C与以PQ为直径的圆的位置关系，并说明理由；
②记MA，NA的斜率分别为k1，k2，试探究k1k2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
解析：(1) 由题意得点A(－2，0)，B(2，0)．
设点M(x0，y0)，则直线AM的方程为y＝·(x＋2)．
令x＝4，则y＝，所以点P.
同理点Q，
所以yPyQ＝·＝＝－12.
(2) ①点C在圆内．理由如下：
由(1)知＝，＝，
所以·＝9＋·＝－3，
所以∠PCQ>，所以点C在圆内．
②设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．
当直线MN的斜率不存在时，M(1，)，N(1，－)，此时k1k2＝－；
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝k(x－1)，
代入圆的方程x2＋y2＝4，整理得(1＋k2)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
又k1k2＝＝，
所以k1k2＝k2·＝－.
综上，k1k2为定值－.
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