【数学】2020届一轮复习（理）通用版7-3基本不等式作业 6页

课时跟踪检测（三十八） 基本不等式 ‎[A级　基础题——基稳才能楼高]‎ ‎1．函数f(x)＝的最大值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B． C. D．1‎ 解析：选B　显然x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；当x>0时，x＋1≥2，∴f(x)≤，当且仅当x＝1时取等号，f(x)max＝.‎ ‎2，若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是(　　)‎ A.≥ B．＋≥2‎ C.≥2 D．(a＋b)≥4‎ 解析：选C　由于a，b∈R，所以A、B、D项不能直接运用基本不等式考察，先考虑C项．‎ ‎∵－2＝＝＝≥0，∴≥2.‎ ‎3．(2018·东北三省四市一模)已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为(　　)‎ A．8 B．9‎ C．12 D．16‎ 解析：选B　由题意可得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时等号成立，故x＋y的最小值为9.‎ ‎4．已知x，y都为正实数，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是(　　)‎ A．3 B．3.5‎ C．4 D．4.5‎ 解析：选C　因为x＋y＋＋＝x＋y＋≥x＋y＋＝x＋y＋，所以x＋y＋≤5.令x＋y＝t.则t2－5t＋4≤0，解得1≤t≤4.‎ ‎5．(2019·西藏林芝期中)若x，y均为正数，则＋＋13的最小值是(　　)‎ A．24 B．28‎ C．25 D．26‎ 解析：选C　因为x，y均为正数，所以由基本不等式得＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当x＝2y时等号成立，故＋＋13的最小值是25，故选C.‎ ‎[B级　保分题——准做快做达标]‎ ‎1．(2019·郑州外国语学校月考)若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则(　　)‎ A．Rb>1，∴lg a>lg b>0，(lg a＋lg b)>，即Q>P.∵>，∴lg >lg ＝(lg a＋lg b)，即R>Q，∴P0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．x＝y B．x＝2y C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1‎ 解析：选C　∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2，当且仅当x＝2y时取等号．故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝2”的充分不必要条件，故选C.‎ ‎3．(2019·豫西南联考)已知正项等比数列{an}的公比为2，若aman＝4a，则＋的最小值为(　　)‎ A．1 B． C. D． 解析：选C　由题意知aman＝a2m＋n－2＝4a22＝a24，∴m＋n＝6，则＋＝(m＋n)＝＋＋≥×＝，当且仅当m＝2n时取等号，∴＋的最小值为，故选C.‎ ‎4．(2019·岳阳一中模拟)已知a>b>0，则2a＋＋的最小值为(　　)‎ A．6 B．4‎ C．2 D．3 解析：选A　因为＋＝＋·＝5＋＋≥(5＋4)＝(当且仅当a＝3b时取等号)，所以2a＋＋≥2a＋≥6(当且仅当a＝时后一个不等式取等号)，故选A.‎ ‎5．(2019·甘肃诊断)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　)‎ A. B． C．8 D．24‎ 解析：选C　因为a∥b，故3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以＋＝(2x＋3y)＝12＋＋≥＝8，当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值为8，故选C.‎ ‎6．若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝8，则a＋b＋c的最大值为(　　)‎ A．9 B．2 C．3 D．2 解析：选D　(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝8＋2ab＋2ac＋2bc.‎ ‎∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，‎ ‎∴8＋2ab＋2ac＋2bc≤2(a2＋b2＋c2)＋8＝24，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴a＋b＋c≤2.‎ ‎7．(2019·林州一中模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)‎ A．10 B．15‎ C．20 D．25‎ 解析：选C　由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5可得S8－S4＝S4＋5，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，综上可得：a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝S4＋＋10≥2＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立．故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.‎ ‎8．(2019·赣州月考)半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是(　　)‎ A．2 B．0‎ C．－1 D．－2‎ 解析：选D　∵O为AB的中点，∴＋＝2，从而(＋)·＝2·＝－2| |·||.又||＋||＝|OC―→|＝AB＝2≥2，∴||·||≤1，∴－2||·||≥－2，∴当且仅当||＝||＝1，即P为OC的中点时，(＋)·取得最小值－2，故选D.‎ ‎9．(2019·玉溪月考)在△ABC中，若a2＋b2＝2c2，则内角C的最大值为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选C　∵a2＋b2＝2c2，∴由余弦定理得cos C＝≥＝＝，当且仅当a＝b时取等号．∵C是三角形的内角，∴角C的最大值为，故选C.‎ ‎10．(2019·淮安学情调研)已知正数x，y满足x＋2y＝3，则＋的最小值为________．‎ 解析：∵x>0，y>0，x＋2y＝3，∴＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝即x＝6－9，y＝6－3时等号成立，∴＋的最小值为.‎ 答案： ‎11．(2019·嘉兴基础测试)若正实数m，n满足2m＋n＋6＝mn，则mn的最小值是________．‎ 解析：由2m＋n＋6＝mn，m>0，n>0，得2＋6≤2m＋n＋6＝mn，令＝t(t>0)，则2t＋6≤，即t2－4t－12≥0，解得t≤－2(舍)或t≥6，即≥6，mn≥18，则mn的最小值是18.‎ 答案：18‎ ‎12．(2019·张掖月考)设a>0，b>1，若a＋b＝2，则＋的最小值为________．‎ 解析：∵a>0，b>1，a＋b＝2，‎ ‎∴＋＝(a＋b－1)‎ ‎＝3＋＋＋1‎ ‎＝4＋＋≥4＋2，‎ 当＝，‎ 即a＝，b＝时取等号，‎ 故最小值为4＋2.‎ 答案：4＋2 ‎13．(2019·石家庄高三一检)已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2,3)，则a＋b的最小值为________．‎ 解析：因为直线l经过点(2,3)，所以2a＋3b－ab＝0，所以b＝>0，所以a－3>0，所以a＋b＝a＋＝a－3＋＋5≥5＋2＝5＋2，当且仅当a－3＝，即a＝3＋，b＝2＋时等号成立．‎ 答案：5＋2 ‎14．(2018·唐山二模)已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1.‎ ‎(1)求证：a＋b≤2；‎ ‎(2)判断等式＋＝c＋d能否成立，并说明理由．‎ 解：(1)证明：由题意得(a＋b)2＝3ab＋1≤32＋1，当且仅当a＝b时取等号．‎ 解得(a＋b)2≤4，又a，b>0，‎ 所以a＋b≤2.‎ ‎(2)不能成立．‎ 理由：由均值不等式得＋≤＋，当且仅当a＝c且b＝d时等号成立．‎ 因为a＋b≤2，‎ 所以＋≤1＋.‎ 因为c>0，d>0，cd>1，‎ 所以c＋d＝＋≥＋>＋1≥＋，故＋＝c＋d不能成立．‎ ‎15．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝ ‎(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？‎ ‎(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？‎ 解：(1)当x∈[50,80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，‎ 所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.‎ 当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，‎ 故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.‎ 因为9<10，所以当x＝65，‎ 即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少．‎ ‎(2)设总耗油量为l L，由题意可知l＝y·，‎ ‎①当x∈[50,80)时，l＝y·＝≥＝16，‎ 当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16；‎ ‎②当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，‎ 所以当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.‎ 因为10<16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．‎