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  • 2021-06-15 发布

【数学】2020届一轮复习(理)通用版7-3基本不等式作业

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课时跟踪检测(三十八) 基本不等式 ‎[A级 基础题——基稳才能楼高]‎ ‎1.函数f(x)=的最大值为(  )‎ A.           B. C. D.1‎ 解析:选B 显然x≥0.当x=0时,f(x)=0;当x>0时,x+1≥2,∴f(x)≤,当且仅当x=1时取等号,f(x)max=.‎ ‎2,若a,b∈R,则下列恒成立的不等式是(  )‎ A.≥ B.+≥2‎ C.≥2 D.(a+b)≥4‎ 解析:选C 由于a,b∈R,所以A、B、D项不能直接运用基本不等式考察,先考虑C项.‎ ‎∵-2===≥0,∴≥2.‎ ‎3.(2018·东北三省四市一模)已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为(  )‎ A.8 B.9‎ C.12 D.16‎ 解析:选B 由题意可得+=1,则x+y=(x+y)·=5++≥5+2=9,当且仅当=,即x=3,y=6时等号成立,故x+y的最小值为9.‎ ‎4.已知x,y都为正实数,且x+y++=5,则x+y的最大值是(  )‎ A.3 B.3.5‎ C.4 D.4.5‎ 解析:选C 因为x+y++=x+y+≥x+y+=x+y+,所以x+y+≤5.令x+y=t.则t2-5t+4≤0,解得1≤t≤4.‎ ‎5.(2019·西藏林芝期中)若x,y均为正数,则++13的最小值是(  )‎ A.24 B.28‎ C.25 D.26‎ 解析:选C 因为x,y均为正数,所以由基本不等式得++13≥2+13=25,当且仅当x=2y时等号成立,故++13的最小值是25,故选C.‎ ‎[B级 保分题——准做快做达标]‎ ‎1.(2019·郑州外国语学校月考)若a>b>1,P=,Q=(lg a+lg b),R=lg ,则(  )‎ A.Rb>1,∴lg a>lg b>0,(lg a+lg b)>,即Q>P.∵>,∴lg >lg =(lg a+lg b),即R>Q,∴P0,y>0,则“x+2y=2”的一个充分不必要条件是(  )‎ A.x=y B.x=2y C.x=2且y=1 D.x=y或y=1‎ 解析:选C ∵x>0,y>0,∴x+2y≥2,当且仅当x=2y时取等号.故“x=2且y=1”是“x+2y=2”的充分不必要条件,故选C.‎ ‎3.(2019·豫西南联考)已知正项等比数列{an}的公比为2,若aman=4a,则+的最小值为(  )‎ A.1 B. C. D. 解析:选C 由题意知aman=a2m+n-2=4a22=a24,∴m+n=6,则+=(m+n)=++≥×=,当且仅当m=2n时取等号,∴+的最小值为,故选C.‎ ‎4.(2019·岳阳一中模拟)已知a>b>0,则2a++的最小值为(  )‎ A.6 B.4‎ C.2 D.3 解析:选A 因为+=+·=5++≥(5+4)=(当且仅当a=3b时取等号),所以2a++≥2a+≥6(当且仅当a=时后一个不等式取等号),故选A.‎ ‎5.(2019·甘肃诊断)已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y均为正数,则+的最小值是(  )‎ A. B. C.8 D.24‎ 解析:选C 因为a∥b,故3(y-1)=-2x,整理得2x+3y=3,所以+=(2x+3y)=12++≥=8,当且仅当x=,y=时等号成立,所以+的最小值为8,故选C.‎ ‎6.若实数a,b,c满足a2+b2+c2=8,则a+b+c的最大值为(  )‎ A.9 B.2 C.3 D.2 解析:选D (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=8+2ab+2ac+2bc.‎ ‎∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,‎ ‎∴8+2ab+2ac+2bc≤2(a2+b2+c2)+8=24,当且仅当a=b=c时取等号,∴a+b+c≤2.‎ ‎7.(2019·林州一中模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S8-2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为(  )‎ A.10 B.15‎ C.20 D.25‎ 解析:选C 由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8,由S8-2S4=5可得S8-S4=S4+5,由等比数列的性质可得S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则S4(S12-S8)=(S8-S4)2,综上可得:a9+a10+a11+a12=S12-S8==S4++10≥2+10=20,当且仅当S4=5时等号成立.故a9+a10+a11+a12的最小值为20.‎ ‎8.(2019·赣州月考)半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是(  )‎ A.2 B.0‎ C.-1 D.-2‎ 解析:选D ∵O为AB的中点,∴+=2,从而(+)·=2·=-2| |·||.又||+||=|OC―→|=AB=2≥2,∴||·||≤1,∴-2||·||≥-2,∴当且仅当||=||=1,即P为OC的中点时,(+)·取得最小值-2,故选D.‎ ‎9.(2019·玉溪月考)在△ABC中,若a2+b2=2c2,则内角C的最大值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选C ∵a2+b2=2c2,∴由余弦定理得cos C=≥==,当且仅当a=b时取等号.∵C是三角形的内角,∴角C的最大值为,故选C.‎ ‎10.(2019·淮安学情调研)已知正数x,y满足x+2y=3,则+的最小值为________.‎ 解析:∵x>0,y>0,x+2y=3,∴+=+=++≥2+=,当且仅当=即x=6-9,y=6-3时等号成立,∴+的最小值为.‎ 答案: ‎11.(2019·嘉兴基础测试)若正实数m,n满足2m+n+6=mn,则mn的最小值是________.‎ 解析:由2m+n+6=mn,m>0,n>0,得2+6≤2m+n+6=mn,令=t(t>0),则2t+6≤,即t2-4t-12≥0,解得t≤-2(舍)或t≥6,即≥6,mn≥18,则mn的最小值是18.‎ 答案:18‎ ‎12.(2019·张掖月考)设a>0,b>1,若a+b=2,则+的最小值为________.‎ 解析:∵a>0,b>1,a+b=2,‎ ‎∴+=(a+b-1)‎ ‎=3+++1‎ ‎=4++≥4+2,‎ 当=,‎ 即a=,b=时取等号,‎ 故最小值为4+2.‎ 答案:4+2 ‎13.(2019·石家庄高三一检)已知直线l:ax+by-ab=0(a>0,b>0)经过点(2,3),则a+b的最小值为________.‎ 解析:因为直线l经过点(2,3),所以2a+3b-ab=0,所以b=>0,所以a-3>0,所以a+b=a+=a-3++5≥5+2=5+2,当且仅当a-3=,即a=3+,b=2+时等号成立.‎ 答案:5+2 ‎14.(2018·唐山二模)已知a>0,b>0,c>0,d>0,a2+b2=ab+1,cd>1.‎ ‎(1)求证:a+b≤2;‎ ‎(2)判断等式+=c+d能否成立,并说明理由.‎ 解:(1)证明:由题意得(a+b)2=3ab+1≤32+1,当且仅当a=b时取等号.‎ 解得(a+b)2≤4,又a,b>0,‎ 所以a+b≤2.‎ ‎(2)不能成立.‎ 理由:由均值不等式得+≤+,当且仅当a=c且b=d时等号成立.‎ 因为a+b≤2,‎ 所以+≤1+.‎ 因为c>0,d>0,cd>1,‎ 所以c+d=+≥+>+1≥+,故+=c+d不能成立.‎ ‎15.(2019·孝感模拟)经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y= ‎(1)该型号汽车的速度为多少时,可使得每小时耗油量最少?‎ ‎(2)已知A,B两地相距120 km,假定该型号汽车匀速从A地驶向B地,则汽车速度为多少时总耗油量最少?‎ 解:(1)当x∈[50,80)时,y=(x2-130x+4 900)=[(x-65)2+675],‎ 所以当x=65时,y取得最小值,最小值为×675=9.‎ 当x∈[80,120]时,函数y=12-单调递减,‎ 故当x=120时,y取得最小值,最小值为12-=10.‎ 因为9<10,所以当x=65,‎ 即该型号汽车的速度为65 km/h时,可使得每小时耗油量最少.‎ ‎(2)设总耗油量为l L,由题意可知l=y·,‎ ‎①当x∈[50,80)时,l=y·=≥=16,‎ 当且仅当x=,即x=70时,l取得最小值,最小值为16;‎ ‎②当x∈[80,120]时,l=y·=-2为减函数,‎ 所以当x=120时,l取得最小值,最小值为10.‎ 因为10<16,所以当速度为120 km/h时,总耗油量最少.‎