【数学】2020届一轮复习（文）通用版4-8解三角形的实际应用作业 3页

课时跟踪检测（三十一） 解三角形的实际应用 ‎1．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)‎ A. km　 B. km C. km D．2 km 解析：选A　如图，在△ABC中，‎ 由已知可得∠ACB＝45°，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AC＝2×＝(km)．‎ ‎2.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)(　　)‎ A．8.4 km B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km 解析：选B　因为AB＝1 000×＝(km)，‎ 所以BC＝·sin 30°＝(km)．‎ 所以航线离山顶的高度h＝BC·sin 75°＝×sin 75°＝×sin(45°＋30°)≈11.4(km)．‎ 所以山高为18－11.4＝6.6(km)．‎ ‎3.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B的距离是84 m，则塔高CD为(　　)‎ A．24 m B．12 m C．12 m D．36 m 解析：选C　设塔高CD＝x m，‎ 则AD＝x m，DB＝x m.‎ 又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，‎ 在△ABD中，由余弦定理，‎ 得842＝x2＋(x)2－2·x2cos 150°，‎ 解得x＝12(负值舍去)，故塔高为12 m.‎ ‎4.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径的长度为(　　)‎ A．50 m B．50 m C．50 m D．50 m 解析：选B　设该扇形的半径为r，连接CO，如图所示．‎ 由题意，得CD＝150(m)，OD＝100(m)，∠CDO＝60°，‎ 在△CDO中，由余弦定理得，CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2，‎ 即1502＋1002－2×150×100×＝r2，‎ 解得r＝50(m)．‎ ‎5.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20 n mile的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了 30 min后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为________n mile/min.‎ 解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以AC＝＝＝10(n mile)，‎ 所以海轮航行的速度为＝(n mile/min)．‎ 答案： ‎6.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.‎ 解析：如题图，由题意知AB＝24×＝6(km)，在△ABS中，∠BAS＝30°，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，‎ ‎∴BS＝＝3(km)．‎ 答案：3 ‎7.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2－2)n mile 到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛 C.‎ ‎(1)求AC的长；‎ ‎(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．‎ 解：(1)由题意，在△ABC中，‎ ‎∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝(2－2)n mile，BC＝4 n mile，‎ 根据余弦定理得，‎ AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC ‎＝(2－2)2＋42＋(2－2)×4＝24，‎ 所以AC＝2.‎ 故AC的长为2 n mile.‎ ‎(2)由正弦定理得，sin∠CAB＝＝＝，所以∠CAB＝45°.‎ ‎8.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100 m和BN＝200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．‎ 解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，‎ ‎∴PM＝100.‎ 连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100，‎ ‎∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100.‎ 在Rt△AMQ中，‎ 由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.‎ 在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，‎ ‎∴BQ＝100，cos θ＝.‎ 在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100)2，‎ ‎∴BA＝100.‎ 即两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.‎