湖南省永州市2020届高三上学期第一次模拟考试数学（理）答案 6页

数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎ ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B A D A B C D C A D B ‎ ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.‎ ‎ 13．2 14．5 15． 16． ‎ 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（1）在中，由正弦定理得， ……………2分 ‎，， ……………4分 因为，所以. ……………6分 ‎（2），且，， ……………7分 在中，，， ‎ 由余弦定理得， ……………9分 即，解得：或 …………11分 的长为1或3. ……………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）如图连接，易知，均为正三角形，取中点，‎ 连接， ，则， ……………2分 又， 平面， ‎ 平面， ……………4分 又平面，所以. ……………5分 ‎（2）因为二面角为直二面角，所以平面平面，‎ 又因为平面平面，且，所以平面.‎ 又因为，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. ……………6分 则，，.所以，‎ 设平面的法向量为.由得 取，所以. ……………9分 又因为直线平面，所以是平面的一个法向量，‎ 所以. ……………11分 又因为二面角为锐二面角 所以二面角的余弦值. ……………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由题意知，解得 所以椭圆的方程为. ……………4分 ‎（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，‎ 联立，消去，整理得：‎ ‎∴ ……………6分 由得：或…………7分 因为坐标原点在以线段为直径的圆外 ‎∴ ……………9分 又 ‎∵，即 ∴. ……………11分 故或. ……………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）根据条形图可知，优等品的频率为，用频率估计概率，则任取一件产品为优等品的概率为. ……………2分 ‎（2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为，‎ 由题意，或 ‎ ……………3分 ‎； ……………4分 ‎ ……………5分 故的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎47000‎ ‎39000‎ 所以数学期望 ……………6分 ‎（3）机器人在第0格为必然事件，，第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率.机器人移到第格的情况只有两种：‎ ①先到第格，又出现反面，其概率，‎ ②先到第格，又出现正面，其概率 所以，故 ……………8分 所以时，数列为首项，‎ 公比为的等比数列.‎ 所以，，，，， ……………9分 以上各式累加，得， ‎ 所 …10分 所以获胜概率，‎ 失败概率 ……………11分 ‎，所以获胜概率更大，‎ 故此方案能吸引顾客购买该款产品. ……………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）函数的定义域为．， …………1分 当时，在单调递增，‎ ‎，时，‎ ‎∴存在唯一正数，使得， ……………3分 函数在单调递减，在单调递增，‎ ‎∴函数有唯一极小值点，没有极大值点，‎ ‎∴当时，有唯一极小值点，没有极大值点． ……………5分 ‎（2）由（1）知，当时，有唯一极小值点，‎ ‎∴，恒成立 ‎∵，∴，‎ ‎∴． ……………6分 令，则在单调递减，‎ 由于，，‎ ‎∴存在唯一正数，使得，从而．……8分 由于恒成立，‎ ‎①当时，成立；‎ ‎②当时，由于，∴．‎ 令，当时，，‎ ‎∴在单调递减，从而．‎ ‎∵，且，且，‎ ‎∴． ……………10分 下面证明时，．‎ ‎，且在单调递增，由于，，‎ ‎∴存在唯一，使得，‎ ‎∴．‎ 令，，易知在单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即时，．‎ ‎∴的最大值是10． ……………12分 ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：（1）曲线的极坐标方程可化为 ……………………2分 将 代入上式得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为. ………………………………5分 ‎（2）将直线的参数方程代入得 ‎ ，化简得 ； ………6分 由，得 ；‎ ‎， ………………………8分 ‎ ，‎ 所以. ………………………………10分 ‎23. （本小题满分10分）‎ 解：（1） .……2分 当时，无解； ‎ 当时，由得，解得； ‎ 当时，恒成立，则；‎ 综上所述，不等式的解集为. …………………………5分 ‎（2）不等式恒成立, ‎ 恒成立. ………………………………7分 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，,‎ ‎， ………………………………9分 ‎，即实数的取值范围. ………………………………10分