高中数学必修3教案：3_3_1 几何概型（2） 4页

‎§3.3.1 几何概型（二）‎ ‎ 学习目标 ‎ ‎（1）正确理解几何概型的概念；‎ ‎（2）掌握几何概型的概率公式：‎ ‎ ；‎ ‎（3）会把相应的几何概型问题“角度”化、“面积”化、“体积”化.‎ ‎ 重点难点 ‎ 重点: 几何概型的概念及应用.‎ 难点: 对几何概型的理解，将问题“角度”化、“面积”化、“体积”化.‎ ‎ 学法指导 处理几何概型的主要思路是问题“长度”化、 “面积”化、“角度”化或“体积”化.‎ ‎ 知识链接 几何概型的概率公式及其应用.‎ ‎ 问题探究 ‎【典型例题】 测量面积 一般的对于两个平面区域d，D，且，点落在区域D内每一点上都是等可能的，当D是个平面图形，记“点P落在区域d内” 为事件A，且事件A发生的概率只与d的面积有关时，一般有 例1 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？‎ 分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是等可能的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型公式可以求得概率。‎ 练习：如图１是一个边长为‎1米的正方形木板，上面画着一个边界不规则的地图和板上被雨点打上的痕迹，则这个地图的面积为______平方米．‎ 分析：雨点落在地图 上的概率问题是几何 概型，用面积比计算．‎ 雨点打在地图和板上 是随机的，地图上有 ‎9个雨点痕迹，板上 其他位置有18个雨点 痕迹，由此计算雨点落在地图上的概率，反过来推导地图面积．‎ 例2‎ 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:00～8:00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，那么事件A是哪种类型的事件？‎ 分析：送报人到达的时刻与父亲离开家的时刻是相互独立且是等可能的，所以应该引入两个变量来求解.‎ 设送报人到达的时间为x(6.5≤x≤7.5)，父亲离开家的时刻为y(7≤y≤8)事件A对应于不等关系“y≥x”.怎样建立x与y之间的关系才能解决这一不等关系呢？‎ 自然我们就想到建立二维平面直角坐标系，将x与y之间的关系向点（x, y）转化，用点来解决(参看课本p138图3.3-2)。试验全部结果所构成的区域 ‎，面积，事件A所构成的区域 ‎，这是一个几何概型.‎ 练习 从开区间中随机取两个数，求下列情况下的概率：‎ ‎⑴ 两数之和小于；‎ ‎ ⑵两数平方和小于.‎ ‎ ‎ ‎【典型例题】 测量角度 对于两个平面区域d，D，且，当D为平面图形时，如果点P在整个平面图形上或线段长度上分布不是等可能的，注意观察角度是否等可能，若只与角度有关，则可以选择角度作为事件A所构成的区域．‎ 例3 如图3，在平面直角坐标系内，射线落在角的终边上，任作一条射线，求射线落在内的概率．‎ 分析：以为起点作射线是随机的，因而射线落在任何位置都是等可能的．落在内的概率只与的大小有关，符合几何概型的条件．‎ ‎ ‎ 例4 在等腰中，‎ 过直角顶点C在内部任做一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|<|AC|的概率。‎ B A C M 图 分析：因为过一点 例4图 作射线是均匀的，‎ 所以基本事件“射线 CM落在 内任一处”是 等可能的, ‎ 且对应于角 ‎.所 以使|AM|<|AC|的概率只与(点在线段AB上，且|AC|=|A|)的大小有关系，这符合几何概型的条件．‎ 注 对比§‎3.3.1‎ 几何概型（一）例3你会发现此类题目容易与长度型的几何概率问题混淆。解决本题的关键是找准基本事件的对应点，保证所给概率问题的等可能性，才能得出与原题对应的正确解答。‎ ‎【典型例题】 测量体积 对于两个区域d，D，且，当D为三维空间时，当点P落在D每一处都是等可能的，记“点P落在区域d内” 为事件A，且事件A发生的概率只与d的体积有关时，可以选择体积作为事件A所构成的区域．‎ ‎ ‎ 例5 在1升高产小麦种子中混入了一个带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？‎ 分析：病种子在这‎1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，‎1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。‎ ‎ 目标检测 ‎1．向面积为的内任投一点，则的面积小于的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. (选做)A是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A、B两点，得到弦AB,它的长度大于等于半径长度的概率为 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）‎ A．0.5 B．0.4 ‎ C．0.004 D．不能确定 ‎4．(选做)在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7．现在向该矩形内随机投一点P，则时的概率是 . ‎ ‎5.在棱长为1的正方体 中做四棱锥，使四棱锥的体积小于的概率是 .‎ ‎6．在区间(0,1)中随机地取出两个数，这两个数的和小于的概率是 ．‎ ‎【能力提升】‎ ‎7.如图，，，，在线段上任取一点，试求：(1)为钝角三角形的概率；‎ ‎(2)为锐角三角形的概率．‎ ‎8.（会面问题）甲乙两人相约上午8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去，求甲乙两人能会面的概率.（见下图所示）‎ x－y=－20‎ x－y=20‎ ‎20‎ ‎20‎ 练习 ‎ ‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎10‎ xy O ‎9. (选做) 在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 纠错矫正 ‎ 总结反思 x