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- 2021-06-15 发布
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2018—2019学年河北省衡水中学
高三年级上学期四调考试数学(理)试题此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
数学
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1.下列命题正确的个数为
①梯形一定是平面图形;
②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a4=
A.52 B.3 C.72 D.4
3.已知双曲线my2-x2=1(m∈R)与抛物线x2=8y有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为
A.y=±3x B.y=±3x C.y=±13x D.y=±33x
4.如图,一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C,再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B,则它可以爬行的不同的最短路径有
A.40条 B.60条 C.80条 D.120条
5.函数f(x)=x2-2|x|的图象大致是
A. B.
C. D.
6.若tan(x2+π4)+tan(x2-π4)=32,则tanx=
A.-2 B.2 C.34 D.-34
7.某县教育局招聘了8名小学教师,其中3名语文教师,3名数学教师,2名全科教师,需要分配到A,B两个学校任教,其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师,则分配方案种数为
A.72 B.56 C.57 D.63
8.一个简单几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A.96π+36 B.72π+48 C.48π+96 D.24π+48
9.已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论不正确的是
A.y=f(x)的图象关于点(π,0)中心对称
B.y=f(x)既是奇函数,又是周期函数
C.y=f(x)的图象关于直线x=π2对称
D.y=f(x)的最大值为32
10.如图所示,某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成,该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为
A.2000π9 B.4000π27 C.81π D.128π
11.已知y2=4x的准线交x轴于点Q,焦点为F,过Q且斜率大于0的直线交y2=4x于A,B,∠AFB=600,则|AB|=
A.476 B.473 C.4 D.3
12.已知fx=x2,x≤0-xe1-x+ax2-a,x>0是减函数,且fx+bx有三个零点,则b的取值范围为
A.0,ln22∪e-1,+∞ B.0,ln22
C.e-1,+∞ D.ln22∪e-1,+∞
二、解答题
13.数列{an}满足a1=6,an+1=6an-9an(n∈N*).
(1)求证:数列{1an-3}是等差数列;
(2)求数列{lgan}的前999项和.
14.在四棱锥P-ABCD,AB//CD,∠ABC=900,BC=CD=PD=2,AB=4,PA⊥BD,平面PBC⊥平面PCD,M,N分别是AD,PB中点.
(1)证明:PD⊥平面ABCD;
(2)求MN与平面PDA所成角的正弦值.
15.在ΔABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b2+c2-a2=accosC+c2cosA.
(1)求角A的大小;
(2)若ΔABC的面积SΔABC=2534,且a=5,求sinB+sinC.
16.如图,直线AQ⊥平面α,直线AQ⊥平行四边形,四棱锥的顶点P在平面α上,AB=7,AD=3,AD⊥DB,AC∩BD=O,OP//AQ,AQ=2,M,N分别是AQ与CD的中点.
(1)求证:MN//平面QBC;
(2)求二面角M-CB-Q的余弦值.
17.如图,椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为32,过抛物线C2:x2=4by焦点F的直线交抛物线于M,N两点,当|MF|=74时,M点在x轴上的射影为F1,连接NO,MO)并延长分别交C1于A,B两点,连接AB,ΔOMN与ΔOAB的面积分别记为SΔOMN,SΔOAB,设λ= SΔOMNSΔOAB.
(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程;
(2)求λ的取值范围.
18.已知函数f(x)=ax32-lnx-23的图象的一条切线为x轴.
(1)求实数a的值;
(2)令g(x)=|f(x)+f'(x)|,若存在不相等的两个实数x1,x2满足g(x1)=g(x2),求证:x1x2<1.
三、填空题
19.已知向量m,n夹角为600,且|m|=1,|2m+n|=10,则|n|=_______.
20.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=1200,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_______.
21.某校毕业典礼由6个节目组成,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.
22.三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,ΔABC为正三角形,外接球表面积为12π,则三棱锥P-ABC的体积VP-ABC的最大值为______.
2018—2019学年河北省衡水中学
高三年级上学期四调考试数学(理)试题
数学 答 案
参考答案
1.C
【解析】
分析:逐一判断每个命题的真假,得到正确命题的个数.
详解:对于①,由于两条平行直线确定一个平面,所以梯形可以确定一个平面,所以该命题是真命题;对于②,两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行或异面或相交,所以该命题是假命题;对于③,两两相交的三条直线最多可以确定三个平面,是真命题;对于④,如果两个平面有三个公共点,则这两个平面相交或重合,所以该命题是假命题.故答案为:C.
点睛:(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系,意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象能力.(2)对于类似这种空间直线平面位置关系的命题的判断,一般可以利用举反例的方法和直接证明法,大家要灵活选择方法判断.
2.C
【解析】
【分析】
利用等差数列前n项和公式,代入S8=4S4即可求出a1=12,再利用等差数列通项公式就能算出a4.
【详解】
∵{an}是公差为1的等差数列,S8=4S4,
∴8a1+8×7×12=4×(4a1+4×3×12)
解得a1=12,则a4=12+3×1=72,故选C.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及其前n项和公式的运用,是基础题。
3.A
【解析】
【分析】
先求出抛物线的焦点,进而知道双曲线的一个焦点,从而求出m,和双曲线的渐近线。
【详解】
∵抛物线x2=8y的焦点为(0,2)
∴双曲线的一个焦点为(0,2),∴1m+1=4,∴m=13
∴双曲线的渐近线方程为y=±3x
所以A选项是正确的.
【点睛】
本题考查了双曲线和抛物线的标准方程及几何性质,是基础题。
4.B
【解析】
试题分析:蚂蚁从A到C需要走五段路,其中三纵二竖,共有C52=10条路径,从C到B共有3×2=6条路径,根据分步计数乘法原理可知,蚂蚁从A到B可以爬行的不同的最短路径有10×6=60条,故选B.
考点:分步计数乘法原理.
5.B
【解析】
f(x)=x2-2x的定义域为R,
f(-x)=-x2-2-x=x2-2x= f(x)
则f(x)是偶函数
又f0=-1<0
故选B
6.C
【解析】
【分析】
将题干所给等式利用两角和差的正切公式展开,然后利用二倍角的正切公式求出tanx.
【详解】
tan(x2+π4)+tan(x2-π4)=tanx2+11-tanx2+tanx2-11+tanx2=4tanx21-tan2x2=2tanx=32,所以tanx= 34.
【点睛】
考查了三角函数公式的运用以及计算能力。
7.A
【解析】
【分析】
先将两个全科老师分给语文和数学各一个,再将新组成的语文老师和数学老师分给两个学校。
【详解】
先将两个全科老师分给语文和数学各一个,有C21种,然后将新的4个语文老师分给两个学校C32A22种,同样的方法将新的4个数学老师分给两个学校 C32A22种,所以共有C21C32A22C32A22=72种分配方法。
【点睛】
排列组合中多面手问题,要优先考虑多面手。
8.D
【解析】
【分析】
该几何体是由两部分组成的,左半部分是四分之一圆锥,右半部分是三棱锥,运用锥体体积公式可以求解.。
【详解】
该几何体是由左右两部分组成的锥体,左半部分是四分之一圆锥,其体积V左=14×13π∙62×8=24π,右半部分是三棱锥,其体积V右=13×12×6×6×8=48,所以该几何体的体积V总=24π+48.故选D.
【点睛】
本题考查了组合体的三视图问题,以及锥体体积公式,需要平常多强化空间想象能力。
9.C
【解析】
试题分析:对于A中,因为f(π+x)=cos(π+x)sin2(π+x)=-cosxsin2x,
则f(π-x)=cos(π-x)sin2(π-x)=cosxsin2x,所以f(π+x)+f(π-x)=0,可得y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称,故A正确;对于B,因为f(π2+x)=cos(π2+x)sin2(π2+x)=-sinx(-sin2x)
=sinxsin2x,f(π2-x)=cos(π2-x)sin2(π2-x)=sinxsin2x,所以f(π2+x)=f(π2-x),可得y=f(x)的图象关于x=π2中心对称,故B正确;对于C,化简得f(x)=cosxsin2x=2cos2xsinx
=2sinx(1-sin2x),令t=sinx,f(x)=g(t)=2t(1-2t2),-1≤t≤1,因为g(t)=2t(1-t2)的导数
g'(t)=2-6t2=2(1+3t)(1-3t),所以当t∈(-1,-33)或t∈(33,1)时,g'(t)<0,函数g(t)为减函数;当t∈(-33,33)时,g'(t)>0,函数g(t)为增函数,因此函数g(t)的最大值为t=-1或t=33时的函数值,结合g(-1)=0x1>0,
因为kQA=kQB,即2x2x2+1=2x1x1+1,整理化简得x1x2=1,
|AB|2=(x2-x1)2+(2x2-2x1)2,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,
代入余弦定理|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|cos600整理化简得:
x1+x2=103,又因为x1x2=1,所以x1=13,x2=3,
|AB|=(x2-x1)2+(2x2-2x1)2=473,选B.
【点睛】
圆锥曲线题目要注意题中几何关系,利用余弦定理是解决本题的关键。
12.D
【解析】
【分析】
由于分段函数f(x)是减函数,从而知道当x>0时,f(x)=-x(e1-x+ax2-a)为减函数,此时导函数f'(x)≤0恒成立,从而求出a=1。再由于y=f(x)+bx有三个零点,也就是函数y=f(x)与y=-bx图象有三个交点,通过讨论-b与交点的情况进而求出b的取值范围。
【详解】
当x>0,f(x)=-x(e1-x+ax2-a)单调递减,
可得x>0时,f'(x)=-x(e1-x+ax2-a)-x(-e1-x+a2)=(x-1)(e1-x-a)≤0在恒成立。
当00时,f(x)=-bx,即b=e1-x+x2-1有唯一解。
令g(x)=e1-x+x2-1,g'(x)=-e1-x+12.令g'x=0得x=1+ln2,
所以x∈0,1+ln2时,g'x<0,g(x)单调递减;x∈1+ln2,+∞时,g'x>0,g(x)单调递增。
g(x)min=g(1+ln2)=ln22 ,
x→0时,g(x)→e-1,x→+∞时,g(x)→+∞,
所以要使b=e1-x+x2-1在(0,+∞)有唯一解,
只需b=ln22或b≥e-1.
故选D.
【点睛】
零点问题是近年高考中常考题型,常常转化为构造两个函数交点问题,利用数形结合也是常见的方法。
13.(1)见解析;(2)nlg3+lg(n+1)
【解析】
【分析】
(1)方程两边减3后,取倒数可化简得1an+1-3-1an-3=13,即可证明(2)化简lgan=lg3(n+1)n=lg3+lg(n+1)-lgn,相加相消求和即可.
【详解】
(1)数列an满足:a1=6,an+1=6an-9an(n∈N*)
1an+1-3= 16an-9an-3=an-3+33(an-3)=13+1an-3 ,
所以,1an+1-3-1an-3=13,
即,数列1an-3是以1a1-3=13为首项,13为公差的等差数列;
(2)由(1)得1an+1-3=13+(n-1)13,解之得:an=3(n+1)n;
所以,lgan=lg3(n+1)n=lg3+lg(n+1)-lgn
于是,Tn=[lg3+lg2-lg1]+[lg3+lg3-lg2]+⋯+[lg3+lg(n+1)-lgn]=nlg3+lg(n+1)
【点睛】
本题主要考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、对数的运算及相加相消求和,属于中档题.
14.(1)见解析(2)105
【解析】
【分析】
(1)要证明直线PD⊥平面ABCD,只需要证明直线PD与平面ABCD内两条相交直线都垂直,通过题中条件分析证明PD分别垂直于BD和BC即可。(2)建立空间直角坐标系,通过找出平面PDA的法向量,利用空间向量法计算线面角的公式即可。
【详解】
(1)取PC中点为Q,则由CD=PD可得DQ⊥PC,
因为平面PBC⊥平面PCD,所以DQ⊥平面PBC,故DQ⊥BC,
而CD⊥BC,CD交DQ于D,所以BC⊥平面PDC,可得到BC⊥PD.
连接BD,在直角梯形ABCD中,易求得BD=22,AD=22,而AB=4,
则AD2+BD2=AB2,即BD⊥AD,
又BD⊥PA,可得BD⊥平面PAD,所以BD⊥PD.
又BC⊥PD,BC与BD交于B,所以PD⊥平面ABCD.
(2)以D为原点,DA,DB,DP方向分别为x轴,y轴,z轴正方向建立如图的空间直角坐标系,则D0,0,0,A(22,0,0),B(0,22,0),P(0,0,2),M(2,0,0),N(0,2,1).
平面PAD的法向量为DB=(0,22,0),MN=(-2,2,1),故所求线面角的正弦值为|cos|=|MN⋅BD|MN||BD||=45⋅22=105
【点睛】
在立体几何题中,二面角、线面角等问题,常常可以通过建立空间直角坐标系利用法向量方法来做,关键在于建立合适的坐标系,找准坐标和法向量,确定所求角。
15.(Ⅰ)A=π3;(Ⅱ)3.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)由余弦定理把已知条件化为2bccosA=accosC+c2cosA,再由正弦定理化为角的关系,最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得cosA=12,从而得A角;
(Ⅱ)由三角形面积公式求得bc=25,再由余弦定理可求得b2+c2=50,从而得b+c=10,再由正弦定理得sinB+sinC=(b+c)⋅sinAa,计算可得结论.
试题解析:
(Ⅰ)因为b2+c2-a2=accosC+c2cosA,所以由2bccosA=accosC+c2cosA,
即2bcosA=acosC+ccosA,由正弦定理得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA,
即2sinBcosA=sin(A+C),∵sin(A+C)=sin(π-B)=sinB,
∴2sinBcosA=sinB,即sinB(2cosA-1)=0,
∵00),由y=mxx2=4y,解得xN=4m,从而可求得ON=4m1+m2,同理可得OM,OA,OB,故可将λ=SΔOMNSΔOAB=ON⋅OMOA⋅OB化为m的代数式,用基本不等式求解可得结果。
试题解析:
(Ⅰ)由抛物线定义可得M(-c,74-b),
∵点M在抛物线x2=4by上,
∴c2=4b(74-b),即c2=7b-4b2 ①
又由ca=32,得 c2=3b2
将上式代入①,得7b2=7b
解得b=1,
∴c=3,
∴a=2,
所以曲线C1的方程为x24+y2=1,曲线C2的方程为x2=4y。
(Ⅱ)设直线MN的方程为y=kx+1,
由y=kx+1x2=4y消去y整理得x2-4kx-4=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2).
则x1x2=-4,
设kON=m,kOM=m',
则mm'=y2x2⋅y1x1=116x1x2=-14,
所以m'=-14m, ②
设直线ON的方程为y=mx (m>0),
由y=mxx2=4y,解得xN=4m,
所以ON=1+m2xN=4m1+m2,
由②可知,用-14m代替m,
可得OM=1m1+(-14m)2xM=1+116m2,
由y=mxx24+y2=1,解得xA=24m2+1,
所以OA=1+m2xA=21+m24m2+1,
用-14m代替m,可得OB=1+116m2xB=21+116m214m2+1
所以λ=SΔOMNSΔOAB=ON⋅OMOA⋅OB=4m1+m2⋅1m1+116m221+m24m2+1⋅21+116m214m2+1
=4m2+1⋅14m2+1=4m2+2+14m2
=2m+12m≥2,当且仅当m=1时等号成立。
所以λ的取值范围为[2,+∞).
点睛:解决圆锥曲线的最值与范围问题时,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值.常从以下几个方面考虑:
①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
③利用基本不等式求出参数的取值范围;
④利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.
18.(Ⅰ)a=23;(Ⅱ)见解析.
【解析】
【试题分析】(1)依据题设条件借助导数的几何意义求解;(2)依据题设构造函数h(x)=23(x32-1)+x-1x-lnx,运用导数的知识分析推证:
(Ⅰ)f'(x)=3a2x-1x,x>0,
设切点坐标为(x0,0),由题意得{f(x0)=ax032-lnx0-23=0,f'(x0)=3a2x0-1x0=0,
解得{x0=1,a=23.
(Ⅱ)g(x)=|23(x32-1)+x-1x-lnx|,令h(x)=23(x32-1)+x-1x-lnx,
则h'(x)=(x-1x)+(12x+1x2),当x≥1时,x-1x≥0,h'(x)>0,
h'(x)又可以写成(x+12x)+1-xx2,当00,h'(x)>0.
因此h'(x)在(0,+∞)上大于0,h(x)在(0,+∞)上单调递增,又h(1)=0,
因此h(x)在(0,1)上小于0,在(1,+∞)上大于0,
g(x)={h(x),x≥1,-h(x),01时,0<1x<1,
记G(x)=g(x)-g(1x)=h(x)-[-h(1x)]=f(x)+f'(x)+f(1x)+f'(1x),
记函数y=f'(x)的导函数为y=f''(x),则
G'(x)=f'(x)+f''(x)-1x2f'(1x)-1x2f''(1x) =(x-1x)+(12x+1x2)-1x2(1x-x)-1x2(x2+x2) =(x-1)+x-12xx+x-1x2x>0,
故G(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以G(x)>G(1)=0,所以g(x)-g(1x)>0,
不妨设0g(1x2),
而00),f'(h)=3-3h2,
f(h)在(0,1)单调递增,在[1,+∞)单调递减,
所以h=1时,VP-ABCmax=f1=3.
【点睛】
本题考查外接球,首先选取一个面,使得这个图形的外心容易被找到,常见的选取面有直角三角形(斜边中点),正三角形(内心)等.研究多面体的外接球问题,要运用球的性质,还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。