湖北名师联盟2020届高三上学期第二次月考精编仿真金卷数学（理）试题 含解析 21页

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2019-2020学年上学期高三第二次月考精编仿真金卷 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知双曲线的焦距为，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则下列关于函数的说法正确的是（ ）‎ A．是奇函数 B．的周期是 C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称 ‎6．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如右图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则可用算筹表示为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在中，角，，的对边分别为，，，若的面积 ‎，且，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知，若方程有唯一解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知平面向量，，若，则________．‎ ‎14．的展开式中，含项的系数为_______．（用数字作答）‎ ‎15．若圆，直线过点且与直线垂直，则直线截圆所得的弦长为_______．‎ ‎16．瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧拉点顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为的欧拉三角形如图，是的欧拉三角形（为的垂心）．已知，，，若在内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为_______．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知数列的前项和，满足，记．‎ ‎（1）求，，；‎ ‎（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（3）求数列的通项公式．‎ ‎18．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，点，分别为和的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎19．（12分）已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于，两点，点为椭圆的左焦点．‎ ‎（1）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；‎ ‎（2）求证：直线与椭圆相切；‎ ‎（3）判断是否为定值，并说明理由．‎ ‎20．（12分）已知函数，．‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若函数存在两个极值点，，求的取值范围．‎ ‎21．（12分）有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表．‎ 省数学竞赛一等奖 自主招生通过 高考达重点线 高考达该校分数线 ‎0．5‎ ‎0．6‎ ‎0．9‎ ‎0．7‎ 若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0．2．若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取．（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）‎ ‎（1）求该学生参加自主招生考试的概率；‎ ‎（2）求该学生参加考试的次数的分布列及数学期望；‎ ‎（3）求该学生被该校录取的概率．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点，若直线与曲线交于，两点，求的值．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 函数．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若存在，，使得成立，求的取值范围．‎ ‎2019-2020学年上学期高三第二次月考精编仿真金卷 理科数学答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】C ‎【解答】根据补集的运算得，‎ ‎∴，故选C．‎ ‎2．【答案】D ‎【解答】由题意可得，‎ 则复数对应的点为，位于第四象限．‎ ‎3．【答案】B ‎【解答】因为双曲线的两条渐近线为，‎ 因为两条渐近线互相垂直，所以，得，‎ 因为双曲线焦距为，所以，‎ 由，可知，所以，所以实轴长为．‎ ‎4．【答案】B ‎【解答】根据约束条件画出可行域，如图所示，‎ 内部（含边界）为可行域，，化为，‎ 为斜率是的一簇平行线，是其在轴上的截距，‎ 当经过点时，截距最小，即最小，‎ 解，得，即，‎ 此时．‎ ‎5．【答案】D ‎【解答】函数的图象向左平移个单位，‎ 得到函数的图象，‎ 可得函数是偶函数且周期为，所以选项A、B错误，‎ 又．‎ ‎6．【答案】B ‎【解答】根据算筹横式与纵式的区别，可以表示为B．‎ ‎7．【答案】B ‎【解答】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，．‎ ‎8．【答案】A ‎【解答】‎ ‎，‎ 又 ‎，‎ 两式相加可得．‎ ‎9．【答案】C ‎【解答】由，‎ 所以，即，‎ 由，且，∴，‎ 由余弦定理得，∴．‎ ‎10．【答案】B ‎【解答】，则是偶函数，排除C，，排除A，‎ ‎，排除D，‎ 故选B．‎ ‎11．【答案】A ‎【解答】由题意可得，设，，‎ 则，‎ 可得，当且仅当时取得等号．‎ ‎12．【答案】D ‎【解答】∵，∴，‎ 方程进行整理得，‎ 作出函数的图像，如图所示．‎ 直线恒过，即直线绕点旋转，‎ 当直线过点时，；‎ 当直线与曲线相切时，‎ 设切点，，则切线斜率为，‎ 切线方程为，‎ 代入过点，得，‎ 解得，此时斜率为，可求得．‎ 根据图像可知当或时，方程有唯一解．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解答】由向量平行的充分必要条件可得，解得．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解答】依题意可知，所求系数为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解答】依题意，由，得圆心坐标为，半径为，设直线，将点的坐标代入，解得，‎ 故直线，圆心到直线的距离，‎ 故弦长为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解答】因为，所以，‎ 又因为，，由余弦定理可得，‎ 取的中点，则，以为原点，建立如图所示的直角坐标系，‎ 则，，，设，‎ 因为，所以，所以，‎ 从而，‎ 故所求概率为，故答案为．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1），，；（2）是等比数列，见解析；（3）．‎ ‎【解答】（1）令，则，故，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴，，．‎ ‎（2）数列是等比数列．证明如下：‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ 又，∴数列是首项为，公比为的等比数列．‎ ‎（3）由（2）知，‎ 又，∴．‎ ‎18．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解答】（1）证明：∵直三棱柱中，，‎ ‎∴可以以为顶点建立空间坐标系如图，‎ ‎∵，，点，分别为和的中点，‎ 取中点，∴，，，，‎ 在中，，∴平面，‎ ‎∴为平面的一个法向量，而，，‎ ‎∴，∴，‎ 又平面，∴平面．‎ ‎（2）易知，，∴，，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则，，‎ 取，则，，即，‎ 设与平面所成角为，‎ 则，‎ 故与平面所成角的正弦值为．‎ ‎19．【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）是为定值，见解析．‎ ‎【解答】（1）由题意，，，‎ 所以离心率，左焦点．‎ ‎（2）由题知，，即，‎ 当时，直线方程为或，直线与椭圆相切，‎ 当时，由，得，‎ 即，所以，‎ 故直线与椭圆相切．‎ ‎（3）设，，‎ 当时，，，，‎ ‎，‎ 所以，即，‎ 当时，由，得，‎ 则，，‎ ‎，‎ 因为 ‎．‎ 所以，即，故为定值．‎ ‎20．【答案】（1）函数在递减，在递增；（2）．‎ ‎【解答】（1）当时，，，‎ 令，解得；令，解得，‎ 故函数在递减，在递增．‎ ‎（2），，‎ 由题意知：，是方程的两个不相等的正实根，‎ 即，是方程的两个不相等的正实根，‎ 故，解得，‎ ‎∵‎ ‎，‎ 是关于的减函数，‎ 故，故的范围是．‎ ‎21．【答案】（1）0．9．（2）分布列见解析；数学期望3．3；（3）0．838．‎ ‎【解答】（1）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为，，‎ 则，，．‎ 即该学生参加自主招生考试的概率为0．9．‎ ‎（2）该该学生参加考试的次数的可能取值为2，3，4，‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ 所以的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎0．1‎ ‎0．5‎ ‎0．4‎ ‎．‎ ‎（3）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为，．‎ ‎，，，‎ 所以该学生被该校录取的概率为．‎ ‎22．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解答】（1）将两式相加，可得，‎ 两式相减，可得，整理可得，‎ 故曲线的普通方程为，‎ 依题意，得直线：，即，‎ 所以直线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）设直线（为参数），代入中，‎ 得，，‎ 设，对应的参数分别为，，则，，‎ 所以．‎ ‎23．【答案】（1）证明见解析；（2）或或．‎ ‎【解答】（1）∵，‎ ‎∴．‎ ‎（2）当时，，‎ 所以，‎ 当且仅当，时，取等号，‎ 因为存在，，使得成立，‎ 所以，‎ 所以或或．‎