2020届二轮复习三角函数的性质及其应用教案（全国通用） 8页

‎2020届二轮复习 三角函数的性质及其应用_ 教案（全国通用）‎ 类型一、求函数(,)的单调区间 例1. 求函数的单调区间.‎ ‎【思路点拨】利用正弦函数的单调区间，求出简单复合函数的单调区间.‎ ‎【解析】解法一：化成.‎ ‎∵的递增、递减区间分别为 ‎（k∈Z），（k∈Z），‎ ‎∴函数的递增、递减区间分别由下面的不等式确定，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎∴函数的单调递减区间、单调递增区间分别为（k∈Z），（k∈Z）.‎ 解法二：可看作是由与复合而成的.‎ 又∵为减函数，‎ ‎∴由，‎ ‎，‎ 即为的递减区间.‎ 由，‎ 即得 ‎，‎ 即为的递增区间。‎ 综上可知：的递增区间为；‎ 递减区间为.‎ ‎【总结升华】熟练掌握函数的单调区间的确定的两种方法.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法来求解.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】求下列函数的单调递增区间.‎ ‎（1），（2），（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵，∴递增区间为：()；‎ ‎（2）画出的图象：‎ 可知增区间为()；‎ ‎（3）函数在区间()上是增函数.‎ ‎【变式2】利用单调性比较，，的大小：‎ ‎【解析】‎ ‎∵，，且 ‎∴‎ 类型二、三角函数的图象及其变换 例2．已知函数 ‎（1）用五点法作出它的图象；‎ ‎（2）指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间；‎ ‎（3）说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到？‎ ‎【思路点拨】化简，令，分别求出对应的值，再描点作图，注意图象变换的时候每一个变换总是对字母而言的.‎ ‎【解析】（1）.‎ 列表描点绘图如下:‎ ‎（2）如图可知，此函数的振幅是2，周期为，频率为，初相为.‎ 单调增区间为 kÎZ ，‎ 单调减区间为kÎZ.‎ ‎（3）法一：‎ 法二：‎ ‎【总结升华】‎ ‎①五点法作(,)的简图时，五点取法是设，由取0、、‎ ‎、、来求相应的值及对应的值，再描点作图；‎ ‎②由的图象变换出的图象一般先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少；‎ ‎③此处的难点是函数图象的平移，可以选择画出图象后观察；也可以直接由函数式子利用特殊位置点（如：首点、波峰、波谷等）的坐标判定，但其前提是两个函数的名称以及的系数是相同的.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】由的图象得到的图象需要向 平移 个单位.‎ ‎【答案】左，；‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴由的图象得到的图象需要向左平移个单位.‎ ‎【变式2】试述如何由的图象得到的图象.‎ ‎【解析】方法一： ‎ ‎ .‎ 方法二： ‎ ‎.‎ ‎【变式3】若函数的图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的，再将图象沿轴向右平移个单位，则新图象对应的函数式是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【变式4】画出函数在区间上的图象.‎ ‎【解析】由知道：‎ x ‎0‎ y ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ 故函数在区间上的图象：‎ 例3. 如图，它是函数的图象，由图中条件，写出该函数的解析式。‎ ‎【思路点拨】结合图形易求得A，及.如何求呢？可以选择点的坐标代入函数解析式尝试一下，结合的范围求得.‎ ‎【解析】 由图知A=5，‎ 由，得 ‎∴。此时。‎ 下面介绍怎样求初相。‎ 解法一：（单调性法）‎ ‎∵点（π，0）在递减的那段曲线上，‎ ‎∴。‎ 由得，‎ ‎∴。‎ ‎∵，∴。‎ 解法二：（最值点法）‎ 将最高点坐标代入，得，‎ ‎∴，∴。‎ 又，∴。‎ 解法三：（起始点法）‎ 函数的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由解得的。故只要找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得角。由图象易得，‎ ‎∴。‎ 解法四：（平移法）‎ 由图象知，将的图象沿x轴向左平移个单位就得到本题图象，故所求函数解析式为 ‎【总结升华】给出型的图象，求它的解析式，常从寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，要从图象的升降找准第一个零点的位置，例3中的解法三是我们常选用的方法这一.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】下图是函数（，）的图象．则、的值是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图象可得：‎ ‎∵，由得，‎ 由 ，得 ‎ ‎∴ （）‎ 由，得．满足时，或．‎ 由此得到，．注意到，即，‎ 因此，这样就排除了．‎ ‎∴，‎ 注意：因为函数是周期函数，所以仅靠图像上的三个点，不能完全确定A、、的值．本题虽然给出了，的条件，但是仅靠(0，1 )、两点，不能完全确定、的值．在确定的过程中，比较隐蔽的条件（）起了重要作用．‎ 类型三：奇偶性与对称性 例4．已知函数 ‎（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性。‎ ‎【思路点拨】正弦函数的定义域是，在考查与的关系；考查三角函数的对称性的时候，从对称轴和对称中心两个方面考虑.‎ ‎【解析】（1）的定义域关于原点对称，‎ ‎∵且，‎ ‎∴函数不是奇函数也不是偶函数.‎ ‎（2）∵令,则的图象的对称轴是，对称中心（），‎ ‎∴函数的图象的对称轴是即（）‎ 由得（），‎ ‎∴函数的图象的对称中心是（）.‎ ‎【总结升华】①先求定义域并判断在数轴上关于原点对称，再经过等值变形尽量转化为一个角的一个三角函数式（），再判断其奇偶性.函数的奇偶性与函数的对称性既有联系又有区别，用定义法，换元法。‎ ‎②对于（）来说，对称中心与零点（平衡位置）相联系，对称轴与最值点（极值点）联系.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】判断下列函数的奇偶性 ‎（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）定义域关于原点对称，‎ 又 ‎∴ 函数为奇函数。‎ ‎（2）∵从分母可以得出（），∴定义域在数轴上关于原点不对称。‎ ‎∴ 函数为非奇非偶函数 ‎【变式2】设函数的图象的一条对称轴方程是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A