高考数学复习专题练习第2讲 函数的单调性与最大(小)值 5页

第2讲 函数的单调性与最大(小)值 一、选择题 ‎1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是 ‎(　　)．‎ A．y＝x2 B．y＝|x|＋1‎ C．y＝－lg|x| D．y＝2|x|‎ 解析　对于C中函数，当x>0时，y＝－lg x，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg |x|为偶函数．‎ 答案　C ‎2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)＜f(1)的实数x的取值范围是(　　)‎ A．(－1,1) B．(0,1)‎ C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ 解析　∵f(x)在R上为减函数且f(|x|)＜f(1)，‎ ‎∴|x|＞1，解得x＞1或x＜－1.‎ 答案　D ‎3．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是(　　)‎ A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 解析 ∵y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，‎ ‎∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－<0，‎ ‎∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．‎ 答案 B ‎4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则 ‎ f(－3)等于 (　　)．‎ A．2 B．‎3 ‎ C．6 D．9‎ 解析　f(1)＝f(0＋1)＝f(0)＋f(1)＋2×0×1＝f(0)＋f(1)，∴f(0)＝0.‎ f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＋2×(－1)×1＝f(－1)＋f(1)－2，∴f(－1)＝0.‎ f(－1)＝f(－2＋1)＝f(－2)＋f(1)＋2×(－2)×1＝f(－2)＋f(1)－4，∴f(－2)＝2.‎ f(－2)＝f(－3＋1)＝f(－3)＋f(1)＋2×(－3)×1＝f(－3)＋f(1)－6，∴f(－3)＝6.‎ 答案　C ‎5．函数y＝－x2＋2x－3(x＜0)的单调增区间是(　　)‎ A．(0，＋∞) B．(－∞，1]‎ C．(－∞，0) D．(－∞，－1]‎ 解析　二次函数的对称轴为x＝1，又因为二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(－∞，0)．‎ 答案　C ‎6．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间 为 (　　)．‎ A．(－∞，0) B．(0，＋∞) ‎ C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)‎ 解析　f(x)＝⇔‎ f(x)＝ f(x)的图象如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．奇函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式(x2－4)f(x)<0的解集为________．‎ 解析　当x2－4>0，即x<－2或x>2时，f(x)<0.由f(x)的图像知，x<－4或20，则－20)．对于下列命题：‎ ‎①函数f(x)的最小值是－1；‎ ‎②函数f(x)在R上是单调函数；‎ ‎③若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围是a>1；‎ ‎④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有 f<.‎ 其中正确命题的序号是____________．‎ 解析　根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)>0在上恒成立，则‎2a×－1>0，a>1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<成立，故④正确．‎ 答案　①③④‎ 三、解答题 ‎11．求函数y＝a1－x2(a>0且a≠1)的单调区间．‎ 解 当a>1时，函数y＝a1－x2在区间[0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0]上是增函数；‎ 当0x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，‎ 由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，‎ x1x2>0.‎ 要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，‎ 只需f(x1)－f(x2)<0，‎ 即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.‎ ‎13．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.‎ ‎(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；‎ ‎(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．‎ 解　(1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减．‎ ‎(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.‎ ‎(i)当a<0，b>0时，x>－，‎ 解得x>log；‎ ‎(ii)当a>0，b<0时，x<－，‎ 解得x0,1－x1x2>0，‎ 即>0.‎ 又∵(x2－x1)－(1－x2x1)＝(x2－1)(x1＋1)<0，‎ ‎∴x2－x1<1－x2x1，∴0<<1.‎ 由题意，知f<0，即f(x2)