东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、 辽宁省实验中学）2019届高三第一次模拟 数学（文） 21页

东北三省三校2019届高三第一次模拟考试 ‎（哈尔滨师大附中、东北师大附中、 辽宁省实验中学）‎ 数学（文）试题 一、单选题 ‎1．复数的虚部是（ ）‎ A．4 B．-4 C．2 D．-2‎ ‎【答案】D ‎【解析】先将复数进行化简得，得出答案.‎ ‎【详解】‎ 复数= ‎ 所以虚部为-2‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的化简，属于基础题.‎ ‎2．集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出集合，再利用交集的定义得出答案.‎ ‎【详解】‎ 因为可得，集合，‎ 所以 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了交集的定义，属于基础题.‎ ‎3．已知向量的夹角为，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题，先求出，可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 所以 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的运算，属于基础题.‎ ‎4．设直线与圆相交于两点，且，则圆的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆的圆心坐标为,半径为，利用圆的弦长公式,求出值，进而求出圆半径，可得圆的面积.‎ ‎【详解】‎ 圆的圆心坐标为,半径为，，‎ 直线与圆相交于两点，且，‎ ‎ 圆心到直线的距离，‎ 所以，解得，‎ 圆的半径，‎ 所以圆的面积，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，属于中档题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角 形，利用勾股定理求解.‎ ‎5．等差数列的前项和为，且，，则（ ）‎ A．30 B．35 C．42 D．56‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据题目已知利用公式求出公差 ， ，再利用求和公式得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为是等差数列，所以，‎ 所以公差 ， ‎ 根据求和公式 ‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的求和以及性质，对于等差数列的公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题.‎ ‎6．已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，利用两角和的正切公式求得，再根据同角三角函数的关系求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，且 解得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎7．执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为4，第二次输入的的值为5，记第一次输出的的值为，第二次输出的的值为，则（ ）‎ A．2 B．1 C．0 D．-1 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据已知的程序框图，模拟程序的执行过程，可的结果.‎ ‎【详解】‎ 当输入x的值为4时，‎ 第一次不满足 ，但是满足x能被b整除，输出；‎ 当输入x的值为5时，‎ 第一次不满足 ，也不满足x能被b整除，故b=3‎ 第二次满足 ，故输出 则-1‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序框图，属于较为基础题.‎ ‎8．设，，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用指数函数的单调性可得，根据幂函数的单调性可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为指数函数是减函数，,所以<，即；‎ 因为幂函数是增函数，,所以>,即，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎9．已知是不重合的平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是（ ）‎ A．， B．，‎ C．，， D．，，‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当，，得出，再得出，得出答案.‎ ‎【详解】‎ 对于答案A：，，得出与是相交的或是垂直的，故A错；‎ 答案B：，，得出与是相交的、平行的都可以，故B错；‎ 答案C：，，得出，再得出，故C正确；‎ 答案D: ，，，得出与是相交的或是垂直的，故D错 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关键所在，属于较为基础题.‎ ‎10．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示，早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7‎ 位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年，在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值；从区间内随机抽取200个数，构成100个数对，其中满足不等式的数对共有11个，则用随机模拟的方法得到的的近似值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据满足不等式的数对表示的点在轴上方、正方形内且在圆外，得出数对所在的平面区域，利用几何概型概率公式列方程可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 在平面坐标系中作出边长为1的正方形和单位圆，‎ 则符合条件的数对表示的点在轴上方、正方形内且在圆外的区域， ‎ 区域面积为，‎ 由几何概型概率公式可得 ‎ ‎ 解得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查随机模拟实验以及“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积.‎ ‎11．双曲线 的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据双曲线的定义求出，然后据题意周长的最小值是当三点共线，求出a的值，再求出离心率即可.‎ ‎【详解】‎ 由题易知双曲线的右焦点，即 ， ‎ 点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知 ‎ ‎ 所以周长为： ‎ 当点共线是，周长最小 即解得 ‎ 故离心率 ‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的定义和性质，熟悉性质和图像是解题的关键，属于基础题.‎ ‎12．若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出,要使恰有2个正极值点，则方程有2个不相等的正实数根，即有两个不同的正根，的图象在轴右边有两个不同的交点，利用导数研究函数的单调性，由数形结合可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，可得,‎ 要使恰有2个正极值点，‎ 则方程有2个不相等的正实数根，‎ 即有两个不同的正根，‎ 的图象在轴右边有两个不同的交点，‎ 求得，‎ 由可得在上递减，‎ 由可得在上递增，‎ ‎，‎ 当时，；当时，‎ 所以，当，即时，‎ 的图象在轴右边有两个不同的交点，‎ 所以使函数在区间上有两个极值点，‎ 实数的取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调性与最值，考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将极值问题转化为方程问题，再转化为函数图象交点问题是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎13．已知满足约束条件：，则的最大值是______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据约束条件，画出可行域，再求出与的交点，带入求出答案.‎ ‎【详解】‎ 满足约束条件：，可行域如图：‎ ‎ 解得 ‎ 由题，当目标函数过点A时取最大值，‎ 即 ‎ 故答案为3‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的线性规划，画出可行域是解题的关键，属于基础题.‎ ‎14．甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_____．‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】根据题意，假设结论，根据他们所说的话推出与题意矛盾的即为错误结论，从而得出答案.‎ ‎【详解】‎ 假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；‎ 假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意，‎ 假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾；‎ 故答案是乙 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了推理证明，属于基础题.‎ ‎15．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，证明出CD平面ABC，从而证明出CDAC，然后取AD的中点O，可得OC=OA=OB=OD，求出O为外接球的球心，然后求得表面积即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得BCCD，‎ 又因为底面，所以ABCD，即CD平面ABC，所以CDAC 取AD的中点O，则OC=OA=OB=OD 故点O为四面体外接球的球心，因为 所以球半径 ‎ 故外接球的表面积 ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎16．设函数.‎ ‎（1）当时，求函数的值域；‎ ‎（2）中，角的对边分别为，若，且，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1) 利用二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式将函数化为，求得,结合正弦函数的单调性即可求函数的值域；(2)由得，可求出的值，利用余弦定理求出的值，再由三角形的面积公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎∵，∴， ‎ ‎∴‎ ‎∴函数的值域为； ‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∵，∴，∴，即 ‎ 由余弦定理，，∴，即 又，∴ ‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式，考查余弦定理与三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎17．世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：‎ 每周累积户外暴露时间（单位：小时）‎ 不少于28小时 近视人数 ‎21‎ ‎39‎ ‎37‎ ‎2‎ ‎1‎ 不近视人数 ‎3‎ ‎37‎ ‎52‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎（1）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；‎ ‎（2）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？‎ 近视 不近视 足够的户外暴露时间 不足够的户外暴露时间 附:‎ P ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】(1)根据题意，时间不少于28小时的4名学生中，近视1名，不近视3名，所以恰好一名近视：，4名学生抽2名共有：，然后求得其概率.‎ ‎(2)先根据表格得出在户外的时间与近视的人数分别是多少，完成联表，然后根据公式求得 的观测值，得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则 故随机抽取2名，中恰有一名学生不近视的概率为. ‎ ‎（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：‎ 近视 不近视 足够的户外暴露时间 ‎40‎ ‎60‎ 不足够的户外暴露时间 ‎60‎ ‎40‎ 所以的观测值， ‎ 故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了概率和统计案例综合，属于基础题.‎ ‎18．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，，，四面体的体积为.‎ ‎（1）求点到平面的距离；‎ ‎（2）若点是棱上一点，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）3‎ ‎【解析】（1）求出与，设点到平面的距离为,利用求解即可；（2）在平面内，过作垂直于，连结，先证明垂直，垂直，可得，再利用求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）（方法一）：由已知 ‎∴ ‎ ‎∵⊥平面，平面，∴ ‎ ‎∴‎ ‎∵ ∴ ‎ 设点到平面的距离为,‎ ‎∵ , ‎ ‎ ‎ 法二：由已知 ‎∴ ‎ ‎∵⊥平面， 平面 ‎∴平面⊥平面 ∵平面 平面 ‎ 在平面ABCD内，过作⊥，交延长线于，‎ 则⊥平面 ‎∴的长就是点到平面的距离 ‎ 在中，= = ‎ ‎∴点到平面的距离为 ‎ ‎（2）在平面内，过作⊥于，连结，又因为⊥, ‎ ‎ ∴⊥平面，平面 ∴⊥‎ ‎⊥平面，平面 ∴⊥‎ ‎∴∥ ‎ 由⊥ 得： ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查点面距离的求解、“等积变换”的应用以及线面垂直的判断与性质，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.‎ ‎19．已知分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且抛物线 的焦点是椭圆的一个焦点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于两点，且与椭圆相交于两点，当时，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由焦点为，求得，，解得，从而可得结果; （2）设直线方程为，联立 ，由，结合韦达定理求得 ，再联立，由，利用韦达定理可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）焦点为，则，‎ 解得，所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎（2）由已知，可设直线方程为，‎ 联立 得 易知则 ‎ ‎=．‎ 因为，所以 ，解得 ． ‎ 联立，得， ‎ 设，则 ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ ‎20．已知函数（为自然对数的底数），.‎ ‎（1）当时，求函数的极小值；‎ ‎（2）若当时，关于的方程有且只有一个实数解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）0（2）‎ ‎【解析】（1）当时，，， 令 ，可得，列表判断两边的符号，根据极值的定义可得结果；（2）化简，求得，，设，可得，讨论的取值范围，根据函数的单调性，结合零点存在定理即可筛选出符合题意的的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，， ‎ 令 则 列表如下：‎ ‎1‎ 单调递减 极小值 单调递增 所以. ‎ ‎（2）设，‎ ‎，‎ 设，， ‎ 由得， ，，在单调递增，‎ 即在单调递增，，‎ ‎①当，即时，时，，在单调递增,‎ 又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解，符合题意. ‎ ‎②当，即时，由（1）可知，‎ 所以，又 故，当时，，单调递减，又，‎ 故当时，，‎ 在内，关于的方程有一个实数解1.‎ 又时，，单调递增，‎ 且，令，‎ ‎,,故在单调递增，又 ‎ 在单调递增，故，故，‎ 又，由零点存在定理可知，，‎ 故在内，关于的方程有一个实数解.‎ 又在内，关于的方程有一个实数解1，不合题意.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】‎ 本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.‎ ‎21．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，‎ 以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）曲线与直线交于两点，若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程；‎ ‎（2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出求得结果即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），‎ 化为普通方程为： ‎ 所以曲线C的极坐标方程： ‎ ‎（2）直线的方程为，的参数方程为为参数)， ‎ 然后将直线得参数方程带入曲线C的普通方程，化简可得：‎ ‎ ， ‎ 所以 故解得 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题.‎ ‎22．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设实数为（1）中的最大值，若实数满足，求的最小值.‎ ‎【答案】（1） ；（2）‎ ‎【解析】（1）由不等式性质 ，解出a的值即可；‎ ‎（2）先求得m的值，然后对原式配形，可得 再利用柯西不等式，得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为函数 恒成立，‎ 解得 ；‎ ‎（2）由第一问可知，即 ‎ 由柯西不等式可得：‎ 化简： ‎ 即 当且紧当：时取等号，‎ 故最小值为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式选讲，不等式的性质以及柯西不等式，熟悉柯西不等式是解题的关键，属于中档题.‎ 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org