高考数学复习专题练习第2讲 一元二次不等式及其解法 6页

第2讲 一元二次不等式及其解法 一、选择题 ‎1．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x成立，则(　　)‎ A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2‎ C．－＜a＜ D．－＜a＜ 解析 (x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x成立，即(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x成立．‎ ‎∴x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，‎ ‎∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，∴－＜a＜.‎ 答案 C[来源:学科网]‎ ‎2．已知不等式ax2＋bx＋1≥0的解集为{x|－5≤x≤1}，则a＋b等于(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．2 D．－2‎ 解析 由题意得：a＜0且－5＋1＝－，‎ ‎－5×1＝，‎ ‎∴a＝－，b＝－，∴a＋b＝－1.‎ 答案 B ‎3．不等式3x2－2x－1＜0成立的一个必要不充分条件是(　　)‎ A.　　　　　 B.∪(1，＋∞)‎ C. D．(－1,1)‎ 解析 由3x2－2x－1＜0解得－＜x＜1，而(－1,1)，所以(－1,1)是3x2－2x－1＜0成立的一个必要不充分条件．‎ 答案 D ‎4．不等式(x2－2)log2x>0的解集是 (　　)．‎ A．(0,1)∪(，＋∞) B．(－，1)∪(，＋∞)‎ C．(，＋∞) D．(－，)‎ 解析　原不等式等价于或 ‎∴x>或01的解集为 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)‎ C．(－1,0) D．(0,1)‎ 解析　∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－‎4a＝a2＋4>0，‎ ‎∴函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点，‎ 又f(x)在(－2，－1)上有一个零点，则f(－2)f(－1)<0，‎ ‎∴(‎6a＋5)(‎2a＋3)<0，∴－1即为－x2－x>0，‎ 解得－10对x∈R恒成立，则关于t的不等式a2t＋10对x∈R恒成立，‎ 则Δ＝‎4a2－‎4a<0，所以0t2＋2t－3>0，‎ 即所以10的解集为，则不等式－cx2＋2x－a ‎>0的解集为________．‎ 解析　由ax2＋2x＋c>0的解集为知a<0，且－，为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－＋＝－，－×＝，解得a＝－12，c＝2，∴－cx2＋2x－a>0，即2x2－2x－12<0，其解集为(－2,3)．‎ 答案　(－2,3)‎ ‎8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．‎ 解析 七月份：500(1＋x%)＋500(1＋x%)2.‎ 所以一至十月份的销售总额为：‎ ‎3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，解得1＋x%≤－2.2(舍)或1＋x%≥1.2，‎ ‎∴xmin＝20.‎ 答案 20‎ ‎9．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋b2－b＋1(b∈R)，若当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________．‎ 解析　依题意，f(x)的对称轴为x＝1，且开口向下，‎ ‎∴当x∈[－1,1]时，f(x)是增函数．‎ 若f(x)>0恒成立，则f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1>0，即b2－b－2>0，∴(b－2)(b＋1)>0，∴b>2或b<－1.‎ 答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎ ‎10．设a∈R，若x>0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝________.‎ 解析　显然a＝1不能使原不等式对x>0恒成立，故a≠1且当x1＝，a≠1时原不等式成立．对于x2－ax－1＝0，设其两根为x2，x3，且x20.当x>0时，原不等式恒成立，故x1＝满足方程x2－ax－1＝0，代入解得a＝或a＝0(舍去)．‎ 答案　 三、解答题 ‎11．已知a＝(1，x)，b＝(x2＋x，－x)，m为实数，求使m(a·b)2－(m＋1)a·b＋1＜0成立的x的范围．‎ 解 ∵a·b＝x2＋x－x2＝x，‎ ‎∴m(a·b)2－(m＋1)a·b＋1＜0⇔mx2－(m＋1)x＋1＜0.‎ ‎(1)当m＝0时，不等式等价于x＞1；‎ ‎(2)当m≠0时，不等式等价于m(x－1)＜0‎ ‎①m＜0时，不等式等价于x＞1或x＜；‎ ‎②0＜m＜1时，不等式等价于1＜x＜；‎ ‎③m＝1时，不等式等价于x∈∅；‎ ‎④m＞1时，不等式等价于＜x＜1.‎ 综上所述，原不等式成立的x的范围为：‎ 当m＜0时是；‎ 当m＝0时是{x|x＞1}；‎ 当0＜m＜1时是；‎ 当m＝1时是∅；[来源:学+科+网]‎ 当m＞1时是.‎ ‎12．已知抛物线y＝(m－1)x2＋(m－2)x－1(x∈R)．‎ ‎(1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？‎ ‎(2)若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．‎ 解　(1)根据题意，m≠1且Δ>0，‎ 即Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，得m2>0，‎ 所以m≠1且m≠0.‎ ‎(2)在m≠0且m≠1的条件下， 因为＋＝＝m－2，‎ 所以＋＝2－ ‎＝(m－2)2＋2(m－1)≤2.‎ 得m2－‎2m≤0，所以0≤m≤2.‎ 所以m的取值范围是{m|00的解集；‎ ‎(2)若a>0，且00，即a(x＋1)(x－2)>0.‎ 当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－10，且00.‎ ‎∴f(x)－m<0，即f(x)