河南省九师联盟2021届高三数学（文）12月月考试题（Word版附答案） 14页

九师联盟 2021 届高三上学期 12 月月考文科数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2．答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域．．．．．． 书写的答案无效．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。 4．本试卷主要命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共 12 小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合   , 1  A x y x y ，   , 1 B x y y ，则  A B （ ） A． 1 B． 0 C．   1,0 D．   0,1 2．已知复数 2 5i i z （i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量  a ，  b 满足 6a ， 2 b ，  1     a b b ，则向量  a ，  b 夹角的大小等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．120° 4．某程序框图如图所示，若 2a ，则该程序运行后，输出 x 的值为（ ） A．8 B．26 C．80 D．242 5．在公差不为 0 的等差数列 na 中， 1a ， 2a ， 1ka ， 2ka ， 3ka 成公比为 4 的等比数列，则 3 k （ ） A．84 B．86 C．88 D．96 6．如图是某几何体的三视图，图中小方格的边长为 1，则该几何体的体积为（ ） A． 22 3 B． 20 3 C．6 D． 17 3 7．碳-14 测年法是由美国科学家马丁·卡门与同事塞缪尔·鲁宾于 1940 年发现的一种测定含碳物质年龄的 方法，在考古中有大量的应用．其原理为：宇宙射线中的中子与氮-14 反应产生碳-14，而碳-14 会发生衰变 变成氮-14，由此构建一个核素平衡．空气中的碳-14 与氧反应生成的二氧化碳被生物圈接收，活体生物体 内的碳-14 和碳-12 浓度比例是一定的，只有当生物死亡后，碳循环中断，碳-14 会衰变并逐渐消失．放射性 元素的衰变满足规律 0  tN N e （表示的是放射性元素在生物体重最初的含量 0N 与经过时间t 后的含量 N 间的关系，其中 ln 2  T （T 为半衰期））．已知碳-14 的半衰期为 5730 年， 12 0 1.2 10 N ，经测量某地 出土的生物化石中碳-14 含量为 134 10 ，据此推测该化石活体生物生活的年代距今约（结果保留整数，参 考数据 2log 3 1.585 ）（ ） A．7650 年 B．8890 年 C．9082 年 D．10098 年 8．给出下列四种图象的变换方法： ①将图象向右平移 π 4 个单位长度；②将图象向左平移 π 4 个单位长度； ③将图象向左平移 3π 8 个单位长度；④将图象向右平移 3π 8 个单位长度． 利用上述变换中的某些方法，能由函数 sin 4y x 的图象得到函数 2sin 2 cos2 y x x 的图象的变换方法 是（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 9．已知  f x 是定义在 R 上的减函数，对任意 , x y R ，       f x y f x f y 恒成立，若  5 3 f ， 则  3 27 f x 的解集为（ ） A． ,15 B． ,18 C． 15, D． 18, 10．人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应（简称双耳效应）．根据双耳 的时差，可以确定声源 P 必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声源 P 所在的双曲线与它的渐近线 趋近，此时声源 P 对于测听者的方向偏角 ，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一 般地，甲测听者的左右两耳相距约为 20cm ，声源 P 的声波传及甲的左、右两耳的时间差为 53 10 s ，声 速为334m/s ，则声源 P 对于甲的方向偏角 的正弦值约为（ ） A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05 11．在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC ， AC CB ，其外接球的体积为36π ，若 AC x ， BC y ， AP z ，则  xy yz zx 的最大值为（ ） A．36 B．32 C．24 D．12 12．已知函数   2log , 1, 1, 1,     x xf x x x 则满足    1 1    f x f x 的 x 的取值范围是（ ） A． ,0 B． , 1  C． ,1 D． ,2 二、填空题：本题共 4 小题． 13．某学校高一有男生 1560 人，女生 1248 人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 18 的样本，则此样本中女生的人数为______． 14．函数   lnf x x x 的图象在点   ,e f e 处的切线方程为______． 15．已知实数 x ， y 满足约束条件 2 4 0 1 0 2 6 3 0            x y x y x y 则 2 3 z x y 的最大值为______． 16．已知曲线 2 4: 3 C x y 的焦点为 F ，过点 F 的直线l 与抛物线C 交于 A ，B 两点，则  AB AF BF ______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作 答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题： 17．在 ABC△ 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，角 A 为锐角且 3sin 3 A ． （1）求 πtan 4     A ； （2）若 2 3cos 3 B ， 2 2c ，求b ． 18．今年的疫情对餐饮业影响巨大，为了加快恢复疫情过后餐饮业的经济，各地相继派发各种优惠券，以 刺激餐饮消费．11 月份，某餐厅随机调查了 80 名顾客到该餐厅消费的情况，整理数据得到下表： 消费金额（元）  0,30  30,60  60,90  90,120  120,150 人数 10 30 20 10 10 （1）估计 11 月份顾客到该餐厅就餐消费不少于 60 元的概率； （2）估计 11 月份顾客到该餐厅就餐消费金额的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）完成下面的 2 2 列联表，并判断能否有 99%的把握认为就餐消费的金额与性别有关？ 不少于 90 元 少于 90 元 总计 男性 14 22 女性 总计 附：        2 2      n ad bcK a b c d a c b d ，    n a b c d ．  2 0P K k 0.01 0.005 0.001 0k 6.635 7.879 10.828 19．如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， CA CB ， CD AB ， 1AB AA ， 1 60  BAA ． （1）求证：平面 ABC 平面 1ACD ； （2）若平面 ABC 平面 1 1AA B B ， 2 AB CB ，求三棱柱 1 1 1ABC A B C 的体积 ． 20．已知 1F ， 2F 分别是椭圆   2 2 2 2: 1 0   x yE a ba b 的左、右焦点， A ， C 分别是椭圆 E 的左、右顶 点， D ， B 分别是椭圆 E 的上、下顶点，若四边形 ABCD 的面积为 2 2 ， 1 2DFF△ 的面积为 1． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设平行于 AB 的动直线 l 与四边形 ABCD 的对边 AD ， BC 分别交于点 M ， N ，与椭圆交于点 P ， Q （在直线l 上从上到下顺次分别为 P ， M ， N ， Q ），求证： PM NQ ． 21．设函数    xf x xe x ，   ln 1 g x x ． （1）求函数  f x 的单调区间； （2）证明：不等式    f x g x 在区间 0, 上恒成立． （二）选考题：请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 1C 的参数方程为 4 3    x t ty （t 为参数）；以坐标原点O 为极点， x 轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系，且曲线 2C 的极坐标方程为 4sin  ． （1）求曲线 1C 的普通方程及 2C 的直角坐标方程； （2）设曲线 1C 与曲线 2C 交于 A ， B 两点，点  4,0P ，求 PA PB 的值． 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数   2 5 2 1   f x x x ． （1）求不等式   10f x 的解集； （2）若  2 2 1    x x a f x 对 Rx 恒成立，求 a 的取值范围． 高三文科数学参考答案、提示及评分细则 1．【答案】D 【解析】解方程组 1, 1,     y x y 解得 0, 1,    x y 所以   0,1 A B ．故选 D． 2．【答案】D 【解析】因为 2 2 5i 2 2i 2i5 5 5 5 2ii i i 1         z ，所以复数 z 在复平面内对应的点位于第四象 限．故选 D． 3．【答案】A 【解析】由 2 1     a b b ，得  2 1 2 3     a b ，所以 3 3cos , 26 2        a ba b a b ，则向量  a ， b 夹角的大小为 30°．故选 A． 4．【答案】C 【解析】首先， 1n ， 2x ，第一次循环， 8x ， 2n ；第二次循环， 26x ， 3n ；第三次循环， 80x ， 4n ；结束循环，输出 80x ．故选 C． 5．【答案】B 【解析】设等差数列 na 的公差为 d ．因为 1a ， 2a ， 1ka ， 2ka ， 3ka 成公比为 4 的等比数列，所以 2 14a a ， 所 以 1 14 a d a ， 得 13d a ． 所 以 4 3 1 14 256 ka a a ， 所 以  1 3 11 256  a k d a ． 即  3 1 11 3 255  k a a ，解得 3 86k ．故选 C． 6．【答案】B 【解析】由三视图知该几何体为正方体截去了两个相同的三棱锥（如图），所以该几何体的体积为 1 1 4 202 2 2 2 2 1 2 83 2 3 3            ．故选 B． 7．【答案】C 【 解 析 】 由 题 意 知 12 0 13 2 1.2 10ln 5730 ln 5730ln34 10 5730log 3 5730 1.585ln 2 ln 2 ln 2           NT Nt 9082.05 9082  ．故选 C． 8．【答案】A 【解析】 2sin 2 cos2 sin 4   y x x x ．因为  πsin 4 sin 4 π sin 44         x x x ，所以①适合；因为  πsin 4 sin 4 π sin 44         x x x ，所以②适合；因为 3π 3πsin 4 sin 4 cos48 2               x x x ，所 以③不适合；因为 3π 3πsin 4 sin 4 cos48 2              x x x ，所以④不适合．故选 A． 9．【答案】B 【解析】因为对任意 , Rx y ，       f x y f x f y 恒成立，所以      10 5 5 9    f f f ，      15 10 5 27    f f f ，则由  3 27 f x ，得    3 15  f x f ，又  f x 是 R 上的减函数， 所以3 15  x ，解得 18x ．故选 B． 10．【答案】D 【解析】设两耳所在双曲线是实轴长为 2a ，焦距为 2c ，虚轴长为 2b ，则  52 3 10 334 0.01002 m   a ，  2 0.2 mc ， πtan 2      b a ， 所 以 cos sin    b a ， 所 以 2 2 1 2 0.01002sin 2 0.21        a a b c c a 0.0501 0.05 ．故选 D． 11．【答案】A 【解析】设三棱锥 P ABC 外接球的半径为 R ，则 34π 36π3 R ，所以 3R ，又 2 2 22   R x y z ， 所以 2 2 2 36  x y z ，所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 362 2 2           x y y z z xxy yz zx x y z ，当且仅当 2 3  x y z 时，等号成立．故选 A． 12．【答案】C 【解析】考查函数   y f x 和  1 1  y f x 的图象，其中   y f x 与  y f x 的图象关于 y 轴对 称，将  y f x 的图象右移 1 个单位长度，再下移 1 个单位长度，得到  1 1  y f x 的图象，如图所示， 由   1 1 1 1       x x ，解得 1x ，所以满足    1 1   f x f x 的 x 的取值范围是 1x ．故选 C． 13．【答案】8 【解析】根据分层抽样的特点，此样本中女生的人数为 124818 81248 1560   ． 14．【答案】 2 0  x y e 【解析】因为   f e e ，   ln 1  f x x ，则   2 f e ，所以所求切线方程为  2  y e x e ，即 2 0  x y e ． 15．【答案】15 2 【解析】画出可行域（如图阴影部分），当直线 2 3 x y z 过点 13, 2      A 时， z 取得最大值，所以 max 1 152 3 3 2 2     z ． 16．【答案】 3 【解析】由题意知抛物线C 的焦点坐标为 10, 3      F ，因为直线l 与C 有两个交点，所以l 的存在斜率，所以 设 l 的 方 程 为 1 3  y kx ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 联 立 2 1 ,3 4 ,3      y kx x y 所 以 2 4 4 03 9   x kx ， 所 以 1 2 4 3  x x k ， 1 2 4 9  x x ， 又 1 1 3  AF y ， 2 1 3  BF y ， 所 以  1 2 1 2 1 1 9 3     AF BF y y y y  24 19   k ，    2 1 2 1 2 2 4 4+ 13 3 3         AB AF BF y y k x x k ，所以 3 AB AF BF ． 17．【答案】（1）3 2 2 （2） 2 3 3 b 【解析】（1）因为 3sin 3 A ， A 为锐角，所以 2 6cos 1 sin 3   A A ， 所以 sin 2tan cos 2  AA A ． 所以 π 2tan tan 1π 4 2tan 3 2 2π4 21 tan tan 1 14 2             A A A ． （2）因为 2 2cos 3 B ，  0,πB ，所以 2 1sin 1 cos 3   B B ， 则   6sin sin sin cos cos sin 3     C A B A B A B ， 由正弦定理，得 sin sin b c B C ，即 2 2 1 6 3 3 b ，解得 2 3 3 b ． 18．【答案】（1）0.5 （2）67.5 （3）有99%的把握认为就餐消费金额与性别有关 【解析】（1）估计 11 月份顾客到该餐厅就餐消费不少于 60 元的概率 20 10 10 0.580   p ． （2）估计 11 月份顾客到该餐厅就餐消费金额的平均值为 15 10 45 30 75 20 105 10 135 10 5400 67.580 80            ． （3）填写 2 2 列联表如下： 不少于 90 元 少于 90 元 总计 男性 14 22 36 女性 6 38 44 总计 20 60 80 则  2 2 2 80 14 38 22 6 80 400 6.734 6.63536 44 60 20 36 44 60 20             K ， 故有99%的把握认为就餐消费金额与性别有关． 19．【答案】（1）见解析 （2） 1 1 1 3 ABC A B CV 【解析】（1）证明：因为 CA CB ， CD AB ，所以 D 为 AB 的中点， 连接 1A B ，由于 1AB AA ， 1 60  BAA ，故 1A AB△ 为等边三角形， 所以 1 A D AB ． 又因为 CD AB ， 1A D， CD 平面 1ACD ， 1  AD CD D ，所以 AB 平面 1ACD ． 又因为 AB 平面 ABC ，所以平面 ABC 平面 1ACD ． （2）解：法一：因为平面 ABC 平面 1 1AA B B ，平面 ABC 平面 1 1 AA B B AB ， CD 平面 ABC ， CD AB ． 所以 CD 平面 1 1AA B B ． 由 2  CA CB AB ，得 ABC△ 是等边三角形，则 3CD ； 由 1A AB△ 是等边三角形，得 1 23 2 34   A ABS△ ， 所以 1 1 1 1 3 3 13 3      C A AB A ABV S CD△ ． 连接 1BC ，由于 1 1ABB A 和 1 1BCC B 都是平行四边形，所以 1 1 1 1 1 1  A AB A B B B BC B C CS S S S△ △ △ △ ， 所以 1 1 1 1 1 1 1 1     C A AB C A B B A B BC A B C CV V V V ， 于是 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 3          ABC A B C C A AB A B BC A B C C C A ABV V V V V ． 法二：由（1），得 1 A D AB ， 因为平面 ABC 平面 1 1AA B B ，平面 ABC 平面 1 1 AA B B AB ， 1 A D 平面 1 1AA B B ， 所以 1 A D 平面 ABC ． 由 1A AB△ 是边长为 2 的等边三角形，得 1 3 2 32   A D ． 由 2  CA CB AB ，得 ABC△ 是等边三角形，则 23 2 34   ABCS△ ， 于是 1 1 1 1 3 3 3     ABC A B C ABCV A D S△ ． 20．【答案】（1） 2 2 12  x y （2）见解析 【解析】（1）因为四边形 ABCD 为菱形，所以 1 2 2 2 22   A B ；① 因为 1 2DFF△ 为等腰三角形，所以 1 2 12   c b ．② 由①②，再结合 2 2 2 a b c ，解得 2a ， 1 b c ， 故椭圆 E 的方程是 2 2 12  x y ． （2）证明：设  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ，  3 3,M x y ，  4 4,N x y ． 由  2,0A ，  0, 1B ，得直线 AB 的方程为 2 12   y x ， 则可设直线l 的方程为  2 1 12      y x n n ， 由   2 2 2 1 12 12           y x n n x y 消去 y 并整理，得 2 22 1 0   x nx n ． 则  2 2 22 4 1 4 2 0      n n n ，且 1 2 2 x x n ． 直线 AD 的方程为 2 12  y x ，直线 BC 的方程为 2 12  y x ， 由 2 1,2 2 2        y x y x n 解得 3 1 2  nx ； 由 2 1,2 2 2        y x y x n 解得 4 1 2  nx ． 于是 3 4 1 1 2 2 2     n nx x n ， 所以 1 2 3 4  x x x x ，即 3 41 2 2 2   x xx x ， 从而 PQ 与 MN 的中点重合，所以 PM NQ ． 21．【答案】（1）函数  f x 的单调递减区间为 ,0 ，单调递增区间为  0, （2）见解析 【解析】（1）函数    xf x xe x 的定义域是 R ． 由    xf x xe x ，得    1 1 1      x x xf x e xe x e ， 当 0x 时，1 1 x ， 1xe ，所以 1 1 xx e ．所以 1 1 0  xx e ，即   0 f x ； 当 0x 时，1 1 x ， 0 1 xe ，所以由 1 1 x 两边同时乘以正数 xe ，得  1 1  x xx e e ，即  1 1 xx e ．所以  1 1 0  xx e ，即   0 f x ． 所以函数  f x 的单调递减区间为 ,0 ，单调递增区间为 0, ． （2）证明：“不等式    f x g x 在区间 0, 上恒成立”等价于“不等式 ln 1  xxe x x 在区间 0, 上恒成立” ．等价于“不等式 ln 1 0   xxe x x 在区间 0, 上恒成立” ． 令    ln 1 0    xF x xe x x x ，则进一步转化为证明“不等式   0F x 在区间 0, 上恒成立” ．      1 11 1 1       x xxF x x e xex x ． 令   1 xG x xe ，则      1 0   xG x x e x ． 因为当 0x 时，    1 0   xG x x e ， 所以函数  G x 在区间 0, 上单调递增． 所以函数  G x 在区间 0, 上最多有一个零点． 又因为  0 1 0  G ，  1 0  G e q ，所以存在唯一的  0,1c ，使得   0G c ． 且当  0,x c 时，   0G x ；当  , x c 时，   0G x ， 即当  0,x c 时，   0 F x ；当  , x c 时，  0 0 F ， 所以函数  F x 在区间 0,c 上单调递减，在区间 ,c 上单调递增． 从而     ln 1    cF x F c ce c c ． 由   0G c ，得 1 0 cce ，即 1cce ， 两边取对数得 ln 0 c c ， 所以      ln 1 1 ln 0 0 0          c cF c ce c c ce c c ． 所以     0 F x F c ，即   0F x ． 从而证得不等式    f x g x 在区间 0, 上恒成立． 22．【答案】（1） 1C 的普通方程为 3 4 0  x y ， 2C 的直角坐标方程为 2 2 4 0  x y y （2） 16 PA PB 【解析】（1）将 4 , 3    x t ty 消去参数 t ，得 4 3 x y ，即 3 4 0  x y ． 所以 1C 的普通方程为 3 4 0  x y ． 由 4sin  ，得 2 4 sin   ， 代入公式 cos , sin ,        x y 得 2 2 4 x y y ， 即 2C 的直角坐标方程为 2 2 4 0  x y y ． （2）曲线 1C 的标准参数方程为 34 , 10 1 , 10      x t y t 代入 2 2 4 0  x y y ，得 2 23 1 14 4 0 10 10 10               t t t ，化简得 2 28 16 0 10   t t ， 因为 228 4 16 0 10         ， 1 2 16t t ， 曲线 1C 是过点  4,0P 的一条直线，与曲线 2C 交于 A ， B 两点， 所以 1 2 16  PA PB t t ． 23．【答案】（1）不等式   10f x 的解集为 3 7,2 2     （2） 【解析】（1）因为   14 4 , ,2 1 56, ,2 2 54 4, ,2             x x f x x x x 所以当 1 2  x 时，由   10f x ，得 4 4 10 x ，得 3 1 2 2    x ； 当 1 5 2 2   x 时，由   10f x ，得 6 10 恒成立，故 1 5 2 2   x ； 当 5 2 x 时，由   10f x ，得 4 4 10 x ，得 5 7 2 2  x ． 综上，不等式   10f x 的解集为 3 7,2 2     ． （2）由  2 2 1    x x a f x ，得    21   x a f x ，得    2  a x f x ， 因为      2 5 2 1 6    f x x x ，当且仅当 1 5 2 2   x 取等号， 所以当 1 5 2 2   x 时，  f x 取得最小值 6， 所以当 1x 时，   21 x f x 取得最小值 6， 故 6a ，即 a 的取值范围为 ,6 ．