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- 2021-06-11 发布
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2019年秋季期高三12月月考
理科数学试题
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合,则
A. B. C. D.
2.已知复数满足,则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知向量是互相垂直的单位向量,且,则( )
A. B.1 C.6 D.
4. 已知变量与变量之间具有相关关系,并测得如下一组数据
则变量与之间的线性回归方程可能为( )
A. B. C. D.
5.设,其中都是非零实数,若,那么( )
A.1 B.2 C.0 D.
6. 若,则( )
A. B.
C. D.
7. 已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为( )
- 10 -
A. B. 4 C. 3 D.
8. 若函数在区间内恰有一个极值点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.如图,将直角三角板和直角三角板拼在一起,其中直角三角板的斜边与直角三角板的角所对的直角边重合.若,则( )
A. B. C. D.
10. 已知是同一球面上的四个点,其中是正三角形,平面,,则该球的体积为( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线,直线,为抛物线的两条切线,切点分别为,则 “点在上”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
- 10 -
12. 已知函数(是自然对数的底数).若,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
(13)已知x,y满足则的最小值为 .
(14)已知双曲线()的一条渐近线被圆截得的弦长为2,则该双曲线的离心率为 .
(15)设数列的前n项和为,若且则的通项公式 .
(16)如图,设的内角所对的边分别为
,,且.
若点是外一点,,则当四边
形面积最大值时, .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 已知数列的前项和.
(1)证明:是等比数列,并求其通项公式;
(2)求数列的前项和.
18. (本小题满分12分)
在中,角所对的边分别为,且.
(1)求的值;
- 10 -
(2)若,点在线段上,,,求的面积.
19. (本小题满分12分)
为了引导居民合理用电,国家决定实行合理的阶梯电价,居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).
阶梯级别
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯
月用电范围(度)
(0,210]
(210,400]
某市随机抽取10户同一个月的用电情况,得到统计表如下:
居民用电户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
用电量(度)
53
86
90
124
132
200
215
225
300
410
(1) 若规定第一阶梯电价每度0.5元,第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元,第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元,试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元?
(2) 现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望;
(3) 以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电,现从全市中依次抽取10户,若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大,求的值.
20.(本小题满分12分)已知函数
(1) 当时,求函数的单调区间;
(2) 求函数在上的最大值.
21.(本小题满分12分)已知函数.
(1)当时,求证:;
- 10 -
(2)设函数,且有两个不同的零点,
①求实数的取值范围; ②求证:.
请考生在22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线的参数方程为(为参数),直线过点,且斜率为,射线的极坐标方程为.
(1)求曲线和直线的极坐标方程;
(2)已知射线与圆的交点为,与直线的交点为,求线段的长.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
(1)函数,若存在实数,使得成立,求实数的取值范围;
(2)设,若,求的最小值.
- 10 -
理科数学试题参考答案及评分标准
1-5: DCDBA 6-10: DABBA 11、12:CC
13. 0
14.
15.
16.
17.(1)证明:当时,,
由得,
即,
所以,
所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列,于是.
(2)解:令,
则,①
①得,②
①﹣②,得
所以.
17. (1)因为 ,由正弦定理得:
即,
在中,,所以………………5分
(2) ,两边平方得:
由,,得
解得:
所以的面积………………12分
- 10 -
19. (1)元 …………2分
(2) 设取到第二阶梯电量的用户数为,可知第二阶梯电量的用户有3户,则可取0,1,2,3
故的分布列是
0
1
2
3
所以………………7分
(3) 可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯,满足,可知
,解得,
所以当时,概率最大,所以………………12分
20. (1)函数的定义域为,当时,……3分
由得,或(舍去)。
当时,,时,
所以函数的单调减区间是,增区间是………………5分
(2)因为,由由得,或
①当时,即时,在上,,即在
- 10 -
上递增,所以
②当时,即时,在上,,在上,即在上递减,在递增;
因为,
所以当时,;当时,
③当时,即时,在上,,即在上递减,所以
综上可得………………12分
21:(1)记,则,在上,
即在上递减,所以,即恒成立
记,则,在上,
即在上递增,所以,即恒成立
………………5分
(2) ①,定义域:,则
易知在递增,而,所以在上,
在递减,在递增,,
要使函数有两个零点,则
故实数的取值范围是………………7分
②由①知,记
当时,由①知:,则
- 10 -
再由得,
,
故恒成立,单调递减
,即,而,
,所以,由题知,,在递增,所以,即………………12分
22.因为曲线的参数方程为(为参数),所以消参后的
普通方程是:
将代入整理得:
即曲线的极坐标方程为
直线过点,且斜率为,直线的普通方程为
将代入整理得:………………5分
(2) 将代入曲线和直线的极坐标方程可得,,
所以线段的长为………………10分
- 10 -
23.解:令,则,即
作出的图像,如图所示,易知其最小值为-5 ………………5分
所以,实数的取值范围是
(2) 由柯西不等式:
即,故
当且仅当时,即时等号成立,
所以的最小值为. ………………10分
- 10 -
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