高考数学复习专题练习第4讲 垂直关系 7页

第4讲 垂直关系 一、选择题 ‎1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则 (　　)．‎ A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直 B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直 D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 解析　如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．‎ 答案　C ‎2．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是 (　　)．‎ A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直 解析　因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.‎ 答案　A ‎3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是 (　　)．‎ A．PA＝PB＝PC B．PA⊥BC，PB⊥AC C．点P到△ABC三边所在直线的距离相等 D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等 解析　条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B.‎ 答案　B ‎4．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，‎ 则下列命题正确的是(　　)．‎ A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α B．若mα，nβ，m⊥n，则n⊥α C．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α D．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β 解析　与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B，存在n∥α情况，故B错；对D，存在α∥β情况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.‎ 答案　C ‎5．如图(a)，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图(b)所示，那么，在四面体A－EFH中必有(　　)．‎ A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面 C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面 解析　折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，‎ ‎∴AH⊥面HEF.‎ 答案　A ‎6. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B‎1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)．‎ A．直线AB上 　　B．直线BC上 C．直线AC上 　　D．△ABC内部 解析　由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．‎ 答案　A 二、填空题 ‎7. 如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．‎ 解析　折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．‎ 答案　垂直 ‎8．如图所示，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长是1，过A点作 平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：‎ ‎①点H是△A1BD的中心；‎ ‎②AH垂直于平面CB1D1；‎ ‎③AC1与B‎1C所成的角是90°.‎ 其中正确命题的序号是________．‎ 解析 由于ABCD－A1B‎1C1D1是正方体，所以A－A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是 三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B‎1C垂直，所成的角等于90°.‎ 答案 ①②③‎ ‎9. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)‎ 解析　∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.‎ 答案　DM⊥PC(或BM⊥PC)‎ ‎10. 如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ 解析　由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.‎ ‎∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，‎ ‎∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.‎ 又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.‎ ‎∴PB⊥EF.故①②③正确．‎ 答案　①②③‎ 三、解答题 ‎11．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．‎ ‎(1)求证：MN⊥CD；‎ ‎(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.‎ 证明　(1)如图，连接AC，AN，BN，‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，‎ ‎∴AN＝PC.‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥BC，又BC⊥AB，‎ PA∩AB＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，‎ 从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，‎ ‎∴BN＝PC.∴AN＝BN，∴△ABN为等腰三角形，‎ 又M为底边的中点，∴MN⊥AB，‎ 又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.‎ ‎(2)连接PM、MC，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴AD＝BC，∴PA＝BC.‎ 又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.‎ 而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴PM＝CM.‎ 又N为PC的中点，∴MN⊥PC.‎ 由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，‎ ‎∴MN⊥平面PCD.‎ ‎12．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰 梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，‎ CB＝CD＝CF.‎ ‎(1)求证：BD⊥平面AED；‎ ‎(2)求二面角F－BD－C的余弦值．‎ 解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，‎ 所以∠ADC＝∠BCD＝120°.‎ 又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，‎ 因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.‎ 又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD平面AED，‎ 所以BD⊥平面AED.‎ ‎(2)如图所示，取BD的中点G，连接CG，FG，‎ 由于CB＝CD，因此CG⊥BD.‎ 又FC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，‎ 所以FC⊥BD.‎ 由于FC∩CG＝C，FC，CG平面FCG，[来源:学+科+网]‎ 所以BD⊥平面FCG，‎ 故BD⊥FG，‎ 所以∠FGC为二面角F－BD－C的平面角．‎ 在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，‎ 因此CG＝CB.又CB＝CF，‎ 所以GF＝＝CG，‎ 故cos∠FGC＝，‎ 因此二面角F－BD－C的余弦值为.‎ ‎13．如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．‎ ‎(1)若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；‎ ‎(2)证明：平面BDE⊥平面BCD.‎ ‎(3)求三棱锥D－BCE的体积．‎ ‎(1)证明　连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，‎ 又MN＝AE＝CD，‎ ‎∴四边形ANME为平行四边形，‎ ‎∴AN∥EM.∵AN⃘平面CME，EM平面CME，‎ ‎∴AN∥平面CME.‎ ‎(2)证明　∵AC＝AB，N是BC的中点，AN⊥BC，‎ 又平面ABC⊥平面BCD，‎ ‎∴AN⊥平面BCD.‎ 由(1)，知AN∥EM，‎ ‎∴EM⊥平面BCD.‎ 又EM平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD.‎ ‎(3)解　VD－BCE＝VE－BCD＝S△BCD·|EM|‎ ‎＝××＝.‎ ‎14．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，‎ 侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.‎ ‎(1)求证：AD⊥PB；‎ ‎(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面 DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．‎ 解：(1)证明：如图，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.‎ ‎∵△PAD为等边三角形，‎ ‎∴PG⊥AD，‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD，‎ ‎∴PG⊥平面ABCD.‎ 在△ABD中，∠DAB＝60°，‎ AD＝AB，‎ ‎∴△ABD为等边三角形，‎ ‎∴BG⊥AD，且BG∩PG＝G，‎ ‎∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.‎ ‎(2)连接CG，DE，且CG与DE相交于H点，[来源 在△PGC中作HF∥PG，交PC于F点，连接DF，‎ ‎∴FH⊥平面ABCD，‎ ‎∴平面DEF⊥平面ABCD.‎ ‎∵菱形ABCD中，G、E分别为AD、BC的中点，‎ 即得知H是CG的中点，‎ ‎∴F是PC的中点，‎ ‎∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.‎