【数学】2020届一轮复习人教B版 不等式选讲 课时作业 12页

不等式选讲 ‎1．不等式|x－4|＋|x－3|≤a有实数解的充要条件是________．‎ 解析　a≥|x－4|＋|x－3|有解⇔a≥(|x－4|＋|x－3|)min＝1.‎ 答案　a≥1‎ ‎2．设x，y，z∈R，2x＋2y＋z＋8＝0则(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2的最小值为________．‎ 解析(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2](22＋22＋12)≥[2(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)]2＝(2x＋2y＋z－1)2＝81.‎ 答案　9‎ ‎3．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．‎ 解析　∵不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，‎ 即－2，3是方程f(x)＝6的两个根，即|6－a|＋a＝6，|a＋4|＋a＝6，∴|6－a|＝6－a，|a＋4|＝6－a，即|6－a|＝|a＋4|，解得a＝1.‎ 答案　1‎ ‎4．若不等式|x＋|>|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　∵|x＋|≥2，‎ ‎∴|a－2|＋1<2，即|a－2|<1，‎ 解得1f(1＋t2)，则实数t的取值范围是________．‎ 解析　∵x2－bx＋c<0的解集是(－1，3)，‎ ‎∴>0且－1，3 是x2－bx＋c＝0的两根，则函数f(x)＝x2－bx＋c图象的对称轴方程为x＝＝1，‎ 且f(x)在[1，＋∞)上是增函数，‎ 又∵7＋|t|≥7>1，1＋t2≥1，‎ 则由f(7＋|t|)>f(1＋t2)，‎ 得7＋|t|>1＋t2，‎ 即|t|2－|t|－6<0，‎ 亦即(|t|＋2)(|t|－3)<0，‎ ‎∴|t|<3，即－30，n>0)，求证：m＋2n≥3＋2.‎ ‎(2)依题可知|x－a|≤1⇒a－1≤x≤a＋1，所以a＝1，即＋＝1(m>0，n>0)，所以m＋2n＝(m＋2n)·＝3＋＋≥3＋2 当且仅当m＝1＋，n＝1＋时取等号．‎ ‎9．设函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|(a>0)，g(x)＝x＋2.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤g(x)的解集；‎ ‎(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，|2x－1|＋|2x＋1|≤x＋2‎ ⇒无解，‎ ⇒0≤x<，‎ ⇒≤x≤ 综上，不等式的解集为.‎ ‎(2)|2x－a|＋|2x＋1|≥x＋2，转化为|2x－a|＋|2x＋1|－x－2≥0.‎ 令h(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|－x－2，‎ 因为a>0，所以h(x)＝，‎ 在a>0下易得h(x)min＝－1，‎ 令－1≥0，得a≥2.‎ ‎10．已知函数f(x)＝|x－a|.‎ ‎(1)若f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a，m的值；‎ ‎(2)当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．‎ 解　(1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a.‎ ‎∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，‎ ‎∴a＝2，m＝3.‎ ‎(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化为|x－2|＋t≥|x|.‎ 当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，‎ ‎∵0≤t≤2，∴x∈(－∞，0)；‎ 当x∈[0,2)时，2－x＋t≥x，x≤1＋，0≤x≤1＋，‎ ‎∵1≤1＋≤2，∴0≤x≤1＋；‎ 当x∈[2，＋∞)时，x－2＋t≥x，t≥2，‎ 当0≤t<2时，无解，‎ 当t＝2时，x∈[2，＋∞)．‎ ‎∴当0≤t<2时原不等式的解集为；‎ 当t＝2时x∈[2，＋∞)．‎ ‎11．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)>2的解集；‎ ‎(2)∀x∈R，使f(x)≥t2－t，求实数t的取值范围．‎ ‎(2)易得f(x)min＝－，若∀x∈R都有f(x)≥t2－t恒成立，‎ 则只需f(x)min＝－≥t2－，‎ 解得≤t≤5.‎ ‎12．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x＋5|.‎ ‎(1)试求使等式f(x)＝|2x＋1|成立的x的取值范围；‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)f(x)min＝9，即a的取值范围是(9，＋∞)．‎ ‎13．已知函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|.‎ ‎(1)试求f(x)的值域；‎ ‎(2)设g(x)＝(a>0)，若任意s∈(0，＋∞)，任意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，试求实数a的取值范围．‎ 解　(1)函数可化为 f(x)＝ ‎∴f(x)∈[－3，3]． ‎ ‎(2)若x>0，则g(x)＝＝ax＋－3≥2－3，即当ax2＝3时，g(x)min＝2－3，‎ 又由(1)知f(x)max＝3.‎ 若∀s∈(0，＋∞)，∀t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，则有g(x)min≥f(x)max，‎ ‎∴2－3≥3，‎ ‎∴a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞)．‎ ‎14．设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．‎ 解　(1)f(x)＝ 所以原不等式转化为或或所以原不等式的解集为∪[6，＋∞)．‎ ‎(2)只要f(x)max＜t2－3t，‎ 由(1)知f(x)max＝－1＜t2－3t解得t＞或t＜.‎ ‎15．设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a>0)．‎ ‎(1)证明：f(x)≥2；‎ ‎(2)若f(3)<5，求a的取值范围．‎ ‎(1)证明　由a>0，有f(x)＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝＋a≥2.所以f(x)≥2.‎ ‎(2)解　f(3)＝|3＋|＋|3－a|.‎ 当a>3时，f(3)＝a＋，‎ 由f(3)<5得31.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；‎ ‎(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．‎ 解　(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝ 当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；‎ 当20，n>0，m＋3n＝mn，‎ ‎∴m＋3n＝(m·3n)≤×，‎ 即m＋3n≥12，‎ 当且仅当 即时取等号，‎ ‎∴f(m)＋f(－3n)＝|2m＋1|＋|－6n＋1|‎ ‎≥|2m＋6n|，‎ 当且仅当(2m＋1)(－6n＋1)≤0，即n≥时取等号，‎ 又|2m＋6n|≥24，当且仅当m＝6，n＝2时，取等号，‎ ‎∴f(m)＋f(－3n)≥24.‎ ‎22．函数f(x)＝|3x－1|－|2x＋1|＋a.‎ ‎(1)求不等式f(x)>a的解集；‎ ‎(2)若恰好存在4个不同的整数n，使得f(n)<0，求a的取值范围．‎ 解　(1)由f(x)>a，得|3x－1|>|2x＋1|，‎ 不等式两边同时平方，得9x2－6x＋1>4x2＋4x＋1，‎ 即5x2>10x，解得x<0或x>2.‎ 所以不等式f(x)>a的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．‎ ‎(2)设g(x)＝|3x－1|－|2x＋1|‎ ‎＝ 作出函数g(x)的图象，如图所示，‎ 因为g(0)＝g(2)＝0，g(3)2|x|；‎ ‎(2)若f(x)≥a2＋2b2＋3c2(a>0，b>0，c>0)对任意x∈R恒成立，求证：·c<.‎ ‎(1)解　由f(x)>2|x|，得x2＋|x－2|>2|x|，‎ 即或 或 解得x>2或02或x<1.‎ 所以不等式f(x)>2|x|的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．‎ ‎(2)证明　当x≥2时，f(x)＝x2＋x－2≥22＋2－2＝4；‎ 当x<2时，f(x)＝x2－x＋2＝2＋≥，‎ 所以f(x)的最小值为.‎ 因为f(x)≥a2＋2b2＋3c2对任意x∈R恒成立，‎ 所以a2＋2b2＋3c2≤.‎ 又a2＋2b2＋3c2＝a2＋c2＋2(b2＋c2)‎ ‎≥2ac＋4bc≥4，且等号不能同时成立，‎ 所以4<，即·c<.‎ ‎24.数f(x)＝|x＋|－|x－|.‎ ‎(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥；‎ ‎(2)若对任意a∈[0,1]，不等式f(x)≥b的解集不为空集，求实数b的取值范围．‎ ‎(2)∵不等式f(x)≥b的解集不为空集，‎ ‎∴b≤f(x)max，‎ ‎∵a∈[0,1]，∴f(x)＝|x＋|－|x－|‎ ‎≤|x＋－x＋|‎ ‎＝|＋|＝＋，‎ ‎∴f(x)max＝＋.‎ 对任意a∈[0,1]，不等式f(x)≥b的解集不为空集，‎ ‎∴b≤[＋]min，‎ 令g(a)＝＋，‎ ‎∴g2(a)＝1＋2·＝1＋2＝1＋2.‎ ‎∴当a∈时，g(a)单调递增，当a∈时，g(a)单调递减，当且仅当a＝0或a＝1时，g(a)min＝1，‎ ‎∴b的取值范围为(－∞，1]．‎