【数学】2020届一轮复习人教B版（文）8-4直线与圆、圆与圆的位置关系作业 5页

课时作业46　直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．[2019·菏泽模拟]已知圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为(　　)‎ A．1:2　　B．1:3‎ C．1:4 D．1:5‎ 解析：(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d＝＝，所以较短弧所对的圆心角为，较长弧所对的圆心角为，故两弧长之比为1:2.选A.‎ 答案：A ‎2．直线kx＋y－2＝0(k∈R)与圆x2＋y2＋2x－2y＋1＝0的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．与k值有关 解析：圆心为(－1,1)，所以圆心到直线的距离为＝，所以直线与圆的位置关系和k值有关，故选D.‎ 答案：D ‎3．圆x2＋y2＋4x＝0与圆x2＋y2－8y＝0的公共弦长为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：解法一　联立得得x＋2y＝0，将x＋2y＝0代入x2＋y2＋4x＝0，得5y2－8y＝0，解得y1＝0，y2＝，故两圆的交点坐标是(0,0)，，则所求弦长为 ＝，故选C.‎ 解法二　联立得得x＋2y＝0，将x2＋y2＋4x＝0化为标准方程得(x＋2)2＋y2＝4，圆心为(－2,0)，半径为2，圆心(－2,0)到直线x＋2y ‎＝0的距离d＝＝，则所求弦长为2＝，选C.‎ 答案：C ‎4．若圆(x＋1)2＋y2＝m与圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0内切，则实数m的值为(　　)‎ A．1 B．11‎ C．121 D．1或121‎ 解析：圆(x＋1)2＋y2＝m的圆心为(－1,0)，半径为；圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0，即(x－2)2＋(y＋4)2＝36，故圆心为(2，－4)，半径为6.由两圆内切得＝|－6|，解得m＝1或121.故选D.‎ 答案：D ‎5．[2018·全国卷Ⅲ]直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)‎ A．[2,6] B．[4,8]‎ C．[，3] D．[2，3]‎ 解析：设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知条件可得AB＝2，所以△ABP面积的最大值为AB·dmax＝6，△ABP面积的最小值为AB·dmin＝2.‎ 综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．故选A.‎ 答案：A 二、填空题 ‎6．[2019·洛阳模拟]已知过点(2,4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－5＝0截得的弦长为6，则直线l的方程为__________．‎ 解析：圆C：x2＋y2－2x－4y－5＝0的圆心坐标为(1,2)，半径为.因为过点(2,4)的直线l被圆C截得的弦长为6，所以圆心到直线l的距离为1，①当直线l的斜率不存在时，直线方程为x－2＝0，满足圆心到直线的距离为1；②当直线l的斜率存在时，设其方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，所以＝1，所以k＝，所求直线l的方程为3x－4y＋10＝0.故直线l的方程为x－2＝0或3x－4y＋10＝0.‎ 答案：x－2＝0或3x－4y＋10＝0‎ ‎7．[2019·福建师大附中联考]与圆C：x2＋y2－2x＋4y ‎＝0外切于原点，且半径为2的圆的标准方程为________．‎ 解析：所求圆的圆心在直线y＝－2x上，所以可设所求圆的圆心为(a，－2a)(a<0)，又因为所求圆与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2，所以＝2，可得a2＝4，则a＝－2或a＝2(舍去)．所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－4)2＝20.‎ 答案：(x＋2)2＋(y－4)2＝20‎ ‎8．[2018·江苏卷，12]在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________．‎ 解析：本题考查直线与圆的位置关系．‎ 设A(a,2a)，a>0，则C，‎ ‎∴圆C的方程为2＋(y－a)2＝＋a2，‎ 得 ‎∴·＝(5－a，－‎2a)·＝＋‎2a2－‎4a＝0，∴a＝3或a＝－1，又a>0，‎ ‎∴a＝3，∴点A的横坐标为3.‎ 一题多解　‎ 由题意易得∠BAD＝45°.‎ 设直线DB的倾斜角为θ，则tanθ＝－，‎ ‎∴tan∠ABO＝－tan(θ－45°)＝3，‎ ‎∴kAB＝－tan∠ABO＝－3.‎ ‎∴AB的方程为y＝－3(x－5)，‎ 由得xA＝3.‎ 答案：3‎ 三、解答题 ‎9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．‎ 解析：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，则＝.‎ 化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.‎ ‎∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝＝.‎ ‎∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.‎ ‎(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，‎ 此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得＝1，解得k＝－，‎ ‎∴直线l的方程为y＝－x.‎ 综上所述，直线l的方程为x＝0或y＝－x.‎ ‎10．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2,1)．‎ ‎(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；‎ ‎(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．‎ 解析：(1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，‎ 所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.‎ 设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.‎ 又|O1O2|＝＝2，‎ 所以r2＝|O1O2|－r1＝2－2.‎ 所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.‎ ‎(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，‎ 又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，‎ 相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0.‎ 设线段AB的中点为H，‎ 因为r1＝2，所以|O1H|＝＝.‎ 又|O1H|＝＝，‎ 所以＝，解得r＝4或r＝20.‎ 所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．‎ ‎(1)求证：△OAB的面积为定值；‎ ‎(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．‎ 解析：(1)证明：∵圆C过原点O，∴|OC|2＝t2＋.‎ 设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋，‎ 令x＝0，得y1＝0，y2＝；‎ 令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，‎ ‎∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝·|2t|·＝4，‎ 即△OAB的面积为定值．‎ ‎(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，∴OC垂直平分线段MN.‎ ‎∵kMN＝－2，∴kOC＝.∴直线OC的方程是y＝x.‎ ‎∴＝t，解得t＝2或t＝－2.‎ 当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，‎ 此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，‎ 则圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．‎ 当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，‎ 则圆C与直线y＝－2x＋4相离，‎ ‎∴t＝－2不符合题意，舍去．‎ ‎∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎