【数学】2020届一轮复习人教A版 证明不等式的基本方法 课时作业 8页

‎2020届一轮复习人教A版 证明不等式的基本方法 课时作业 ‎ 1、已知x,yR且，a,bR为常数，则( )‎ A．t有最大值也有最小值 B．t有最大值无最小值 C．t有最小值无最大值 D．t既无最大值也无最小值 ‎2、已知、、、都是正数，，则有( )‎ A． 0＜＜1 B． 1＜＜2 C． 2＜＜ 3 D． 3＜＜4 3、设,则与的大小关系是_________. 4、证明不等式：‎ ‎5、已知，，．求证：‎ ‎6、 ⑴证明：当a＞1时，不等式成立.‎ ‎⑵要使上述不等式成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并说明理由；若不能，也请说明理由.‎ ‎⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，并给予证明.‎ ‎7、设正数a，b，c满足，求的最小值 ‎8、已知x，y，z均为正数．求证：．‎ ‎9、若，求证 ：‎ ‎10、(1)设x≥1，y≥1，证明：‎ ‎(2)设1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.‎ ‎11、已知a∈R，试比较与1＋a的大小．‎ ‎12、设证明：；‎ ‎13、已知．‎ ‎14、若x >0 ,y >0, x+y>2 ,求证：至少有一个成立。‎ ‎15、设，且，求证：‎ ‎16、当时，求证：‎ ‎17、（1）已知，求证：‎ ‎ （2）已知正数a、b、c满足，求证： 18、已知，。‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）求证：。 19、设n为大于1的自然数，求证：‎ ‎ 20、1）设证明，‎ ‎（2），证明. ‎ 参考答案 ‎1、答案：A 2、答案：B 3、答案： 4、答案：‎ ‎＜ =2－＜2‎ ‎5、答案：证明：先证，‎ ‎ 只要证，‎ ‎ 即要证，‎ ‎ 即要证， ‎ ‎ 若，则，，所以，‎ ‎ 若，则，，所以，‎ ‎ 综上，得．‎ ‎ 从而， ‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以． 6、答案：（1）证：∵,‎ ‎∵a＞1，∴＞0， ‎ ‎∴原不等式成立 ‎ ‎ (2）∵a-1与a5-1同号对任何a＞0且a¹1恒成立，‎ ‎∴上述不等式的条件可放宽为a＞0且a¹1 ‎ ‎ (3）根据（1）（2）的证明，可推知：‎ 结论1: ‎ 若a＞0且a¹1，n为正整数(或n>0),则 ‎ 证: ∵ ‎ ‎∵a-1与a2n-1同号对任何a＞0且a¹1恒成立 ‎∴(a-1)(a2n-1)>0‎ ‎∴ ‎ 结论2:‎ 若a＞0且a¹1，m＞n＞0，则 ‎ 证：左式-右式=‎ 若a＞1，则由m＞n＞0Þam-n＞0,am+n＞0Þ不等式成立； ‎ 若0＜a＜1，则由m＞n＞0Þ0＜am-n＜1, 0＜am+n＜1Þ不等式成立 ‎∴ 7、答案：因为a，b，c均为正数，且，所以．‎ 于是 ‎ ‎ ，‎ 当且仅当时，等号成立． ‎ 即，故的最小值为1 8、答案：‎ ‎ 9、答案：‎ ‎ 10、答案：(1)由于x≥1，y≥1，所以 将上式中的右式减左式，得 ‎[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．‎ 既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．‎ ‎(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得 于是，所要证明的不等式即为 其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立． 11、答案：‎ ‎①当a＝0时，‎ ‎②当a＜1且a≠0时，‎ ‎③当a＞1时，‎ 综上所述，当a＝0时，，‎ 当a＜1且a≠0时，‎ 当a＞1时， 12、答案：证明：由于 所以 将上式中的右式减左式，得 ‎ ‎ ‎ ‎ 因为所以，从而所要证明的不等式成立 13、答案：证明：欲证 只需证明 即：‎ 令函数 只需证明为减函数即可，‎ 也就是函数为减函数 所以原不等式成立 14、答案：证明：假设.因为x >0 ,y >0，所以 ‎ ∴与x+y>2矛盾， 故假设不成立，所以至少有一个成立 15、答案：证明：‎ ‎ ‎ ‎ ， 16、答案：证明：‎ ‎ （本题也可以用数学归纳法） 17、答案：（1）证明：因为x，y，z均为正数，‎ 所以 ‎ 同理可得 ‎ 当且仅当时，以上三式等号都成立，‎ 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，‎ 得 ‎ ‎ （2）证明：要证 只需证 ‎ 即只要证 ‎ 两边都是非负数，‎ 这就是已知条件，‎ 且以上各步都可逆，‎ ‎ 18、答案：（1）因为，，所以 ‎，‎ 得。‎ 当且仅当，即时，‎ 有最小值 ‎（2）因为，‎ 所以，当且仅当取等号。‎ 又，‎ 于是 19、答案： 20、答案：（1）由于，所以 ‎ 将上式中的右式减左式，得 ‎ ‎ ‎ 从而所要证明的不等式成立.‎ ‎ （2）设由对数的换底公式得 ‎ ‎ ‎ 于是，所要证明的不等式即为 ‎ 其中 ‎ 故由（1）立知所要证明的不等式成立. ‎