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- 2021-06-15 发布
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2018-2019学年上海市七宝中学高一上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【详解】
若ab2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C.
2．设集合A=若AB,则实数a,b必满足
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：，
，若AB，则有或
【考点】1．绝对值不等式解法；2．集合的子集关系
3．已知函数，且，，集合，则下列结论中正确的是（ ）
A．任意，都有 B．任意，都有
C．存在，都有 D．存在，都有
【答案】A
【解析】由题意可得 ，且，，为的一个零点，再由根与系数的关系可得，另一零点为．可得，，有
恒成立，从而得出结论．
【详解】
解：函数，且，，故有，且，
，即，且，
即，因此有，
又，故为的一个零点，
由根与系数的关系可得，另一零点为，所以有：，
所以，，所以有恒成立，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．
4．设，，.记集合，，若、分别表示集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】给a，b，c，d取特值，可排除A，B，C，再根据解析式关系，确定对应根的关系，即可判断D.
【详解】
当a＝b＝c＝d＝0时，f（x）＝x3，g（x）＝1，此时Crad（S）＝1，Card（T）＝0，排除A；
当a＝b＝c＝d＝1时，f（x）＝（x+1）（x3+x2+x+1）＝（x+1）2（x2+1），
g（x）＝x3+x2+x+1＝（x+1）（x2+1），此时Card（S）＝1，Card（T）＝1，排除B；
当a＝2，b＝c＝d＝1时，f（x）（x+2）（x+1）（x2+1），
此时Card（S）＝2，g（x）＝（2x+1）（x+1）（x2+1），此时Card（T）＝2，排除C；
当时
又当时，而，所以，因此结论不可能的是D.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数解析式以及函数零点，考查综合分析判断能力，属中档题.
二、填空题
5．不等式的解集为________；
【答案】
【解析】根据绝对值定义化简求解
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查解含绝对值不等式，考查基本求解能力，属基础题.
6．已知集合，，则_________.
【答案】
【解析】根据交集的定义即可写出答案。
【详解】
，，
故填
【点睛】
本题考查集合的交集，需熟练掌握集合交集的定义，属于基础题。
7．设，则是成立的________条件；
【答案】充要
【解析】根据不等式性质等价转化，即可判定充要关系.
【详解】
故答案为：充要
【点睛】
本题考查不等式性质以及充要关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.
8．不等式的解集为________；
【答案】
【解析】根据分式不等式解法求解
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查分式不等式解法，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．已知集合，，若，则实数a的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由条件可知，集合A与集合B没有公共元素，即可求出实数a的取值范围.
【详解】
因为，所以集合A与集合B没有公共元素
则
故答案为:
【点睛】
本题主要考查了集合之间的基本关系，属于基础题.
10．已知，若，则或”是_______命题（填“真”或“假”）.
【答案】真
【解析】判断原命题的逆否命题为真，从而得到原命题为真.
【详解】
原命题的逆否命题为：若且，则.
由同向不等式可加性，所以逆否命题为真，
所以原命题为真.
故答案为：真.
【点睛】
本题考查原命题与逆否命题的等价性，如果原命题真假性不好判断，可转化成判断其逆否命题.
11．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是__________
【答案】
【解析】讨论和两种情况，求出关于x的不等式的解集为时，对应的取值范围即可．
【详解】
当时，不等式化为恒成立，所以，
当时，因为关于x的不等式的解集为，
得
综上：实数的取值范围是.
故答案为
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解集应用问题，是基础题．
12．已知，，若，则实数的取值范围是________；
【答案】
【解析】先解不等式得集合A，再根据讨论B，最后根据求实数的取值范围.
【详解】
当时；当时；当时；
因为，所以或或，即，
故答案为：
【点睛】
本题考查解含绝对值不等式以及根据集合包含关系求范围，考查基本分析求解能力，属中档题.
13．已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是________；
【答案】
【解析】先根据绝对值三角不等式得最大值，再根据不等式有解条件确定结果.
【详解】
因为，
又关于的不等式有解，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查绝对值三角不等式以及不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
14．已知关于的方程的两个根，，且在区间上恰好有两个正整数解，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】由方程与函数的相互转化得：设f（x）＝x2﹣2ax+3﹣2a，
由二次函数区间根问题得：方程在区间（x1，x2）上恰好有两个正整数，则，解得a的取值范围即可.
【详解】
设f（x）＝x2﹣2ax+3﹣2a，
由已知有：，则1，
则y＝f（x）的对称轴方程为：x＝a∈（1，]，
由在区间（x1，x2）上恰好有两个正整数，
则，解得：，
即实数a的取值范围是，
故答案为：（，]
【点睛】
本题考查了方程与函数的相互转化及二次函数区间根问题，属中档题．
15．定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如的长度，设，，其中表示不超过的最大整数，．若用表示不等式解集区间的长度，则当时，________；
【答案】
【解析】先根据解得取值范围，再得取值范围，最后根据定义得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查新定义以及解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
16．对于集合，定义函数，对于两个集合，
，定义集合．已知，，用表示有限集合中的元素个数，则对于任意集合，的最小值为________；
【答案】
【解析】先根据定义化简，，再确定，最小值取法，即得结果.
【详解】
因为，
所以
因此,
从而当最大时，,最小
因为,所以当时+最小，为
故答案为：4
【点睛】
本题考查新定义以及集合交并补运算，考查综合分析求解能力，属难题.
三、解答题
17．已知关于的不等式：．
（1）当时，求此不等式的解集；
（2）当时，求此不等式的解集．
【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析
【解析】（1）先移项，再结合不等式性质求解
（2）先移项，再根据的值分类讨论，确定对应解集
【详解】
（1）当时，，即不等式的解集为；
（2）
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
综上：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【点睛】
本题考查解含参数分式不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
18．命题甲：关于的方程有两个相异负根；命题乙：不等式对恒成立．
（1）若这两个命题至少有一个成立，求实数的取值范围；
（2）若这两个命题有且仅有一个成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；
【解析】（1）先确定命题甲与乙成立时实数的取值范围；再求并集得结果；
（2）先确定命题甲与乙成立时实数的取值范围；再分类讨论求解得结果.
【详解】
命题甲：因为关于的方程有两个相异负根；所以
命题乙：因为不等式对恒成立，所以不等式对恒成立，所以或
（1）因为这两个命题至少有一个成立，所以或或，即
（2）因为若这两个命题有且仅有一个成立，所以或
即
【点睛】
本题考查不等式恒成立、一元二次方程实根分布以及根据命题真假求范围，考查综合分析求解能力，属中档题.
19．若存在满足下列三个条件的集合，，，则称偶数为“萌数”：
①集合，，为集合的个非空子集，，，两两之间的交集为空集，且；②集合中的所有数均为奇数，集合中的所有数均为偶数，所有的倍数都在集合中；③集合，，所有元素的和分别为，，，且．注：．
（1）判断：是否为“萌数”？若为“萌数”，写出符合条件的集合，，，若不是“萌数”，说明理由．
（2）证明：“”是“偶数为萌数”成立的必要条件．
【答案】（1）是，，，；（2）证明见解析；
【解析】（1）根据条件先确定，再根据和确定以及，最后确定C；
（2）说明时不可能成立，即可证得结果
【详解】
（1） 因为所有的倍数都在集合中，所以
因为,即为“萌数”， ，，；
（2）当时，因为所有的倍数都在集合中，所以
而，即时，偶数不为萌数；
当时，因为，所以
时，偶数不为萌数；
因此偶数为萌数时，，即“”是“偶数为萌数”成立的必要条件．
【点睛】
本题考查新定义、等差数列求和以及必要条件证明，考查综合分析求证能力，属较难题.
20．已知集合，．
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围；
【答案】（1）；（2）；（3）；
【解析】(1)解一元二次不等式得集合A;
(2)根据集合包含关系，结合二次函数图象列不等式，解得结果；
（3）)根据集合包含关系，讨论集合B解集，再结合二次函数图象列不等式，解得结果.
【详解】
(1)
（2）因为，，所以不等式在上恒成立，即
(3)若，则，此时满足；
若则;
若则;此时满足；
若或则由得;
综上：
【点睛】
本题考查解一元二次不等式以及根据集合包含关系求参数，考查综合分析求解能力，属较难题.
21．已知是满足下列条件的集合：① ，；② 若，则
；③ 若且，则.
（1）判断是否正确，说明理由；
（2）证明：“”是“”的充分条件；
（3）证明：若，则.
【答案】（1）正确，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）由①②容易得到，所以由③得到；；
（2），能得到，由已知条件知，所以只要证明任意的正整数即可得到任意的整数，可考虑用数学归纳法来证：1，，假设，则，所以根据数学归纳法对任意正整数，所以便得到是的充分条件；
（3）先构造出，所以可先证明：若，，则，．先证明，设，，则得到，，，所以，所以，所以得到，由前面知，，，所以，，所以便可得到，，从而．
【详解】
解：（1）正确；证明如下：
由①，，由②知，
，
由③知；
（2）证明：由②知，若，则，故只需证明任意正整数即可，
由（1）知，，假设正整数，则，
由数学归纳法知：任意正整数，
即，是的充分条件；
（3）先证：若，则，
由②知，若，且，，则；
由③知，，
所以，所以，所以得到，
再证：若，，则，
，；
，由③知，
由前面知：、、、、，
．
【点睛】
本题主要考查对给出的新信息的运用，以及数学归纳法在证明正整数问题的运用，而想到是求解本题的关键．本题属于难题．
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