2020届二轮复习函数的图像与性质教案（全国通用） 28页

‎2020届二轮复习 函数的图像与性质 教案（全国通用）‎ ‎1．函数 ‎(1)映射：集合A(A中任意x)集合B(B中有唯一y与A中的x对应)．‎ ‎(2)函数：非空数集A―→非空数集B的映射，其三要素：定义域A、值域C(C⊆B)、对应法则f.‎ ‎①求函数定义域的主要依据：‎ ‎(Ⅰ)分式的分母不为零；学——科网 ‎(Ⅱ)偶次方根被开方数不小于零；‎ ‎(Ⅲ)对数函数的真数必须大于零；‎ ‎(Ⅳ)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；‎ ‎(Ⅴ)正切函数y＝tanx中，x的取值范围是x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z.‎ ‎②求函数值域的方法：无论用什么方法求值域，都要优先考虑定义域，常用的方法有基本函数法、配方法、换元法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、导数法． ‎ ‎③函数图象在x轴上的正投影对应函数的定义域；函数图象在y轴上的正投影对应函数的值域．‎ ‎2．函数的性质 ‎(1)函数的奇偶性 如果对于函数y＝f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数)．‎ ‎(2)函数的单调性 函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1、x2∈D，当x1f(x2))，则称f(x)在区间D上为单调增(或减)函数．反映在图象上，若函数f(x)是区间D上的增(减)函数，则图象在D上的部分从左到右是上升(下降)的．如果函数f(x)在给定区间(a，b)上恒有f ′(x)>0(f ′(x)<0)，则f(x)在区间(a，b)上是增(减)函数，(a，b)为f(x)的单调增(减)区间．‎ 判定单调性方法主要有定义法、图象法、导数法等．‎ ‎(3)函数的周期性 设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为y＝f(x)的一个周期．‎ ‎(4)最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：‎ ‎①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M　(或f(x)≥M)；‎ ‎②存在x0∈I，使f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大值(或最小值)．‎ ‎3．函数图象 ‎(1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：‎ ‎①会画各种简单函数的图象；‎ ‎②能依据函数的图象判断相应函数的性质；‎ ‎③能用数形结合的思想以图辅助解题．‎ ‎(2)利用基本函数图象的变换作图 ‎①平移变换：‎ y＝f(x)y＝f(x－h)，‎ y＝f(x)y＝f(x)＋k.‎ ‎③对称变换：‎ y＝f(x)y＝－f(x)，‎ y＝f(x)y＝f(－x)，‎ y＝f(x)y＝f(‎2a－x)，‎ y＝f(x)y＝－f(－x)．‎ ‎4．对函数性质的考查主要依托基本初等函数及其基本变换来进行，对于某些抽象函数来说，一般通过恰当赋值，结合基本定义来研究.‎ 高频考点一　函数表示及定义域、值域 例1、（2018年江苏卷）函数的定义域为________．‎ ‎【答案】[2，+∞）‎ ‎【解析】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.‎ ‎【变式探究】 (1)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)‎ A．(－1,1) B. C．(－1,0) D. 解析：基本法：由已知得－1＜2x＋1＜0，解得－1＜x＜－，所以函数f(2x＋1)的定义域为，选B.‎ 答案：B ‎(2)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　)‎ A．3 B．6‎ C．9 D．12‎ ‎【变式探究】设函数f(x)＝若f＝4，则b＝(　　)‎ A．1 B. C. D. 解析：基本法：f＝3×－b＝－b，‎ 当－b≥1，即b≤时，f＝2－b，‎ 即2－b＝4＝22，得到－b＝2，即b＝；‎ 当－b＜1，即b＞时，f＝－3b－b＝－4b，‎ 即－4b＝4，得到b＝＜，舍去．‎ 综上，b＝，故选D.‎ 答案：D 高频考点二　函数的奇偶性　对称性 例2、（2018年全国Ⅱ卷理数）函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D ‎【答案】B ‎【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;‎ ‎，‎ 所以舍去C；因此选B.‎ ‎【变式探究】【2017课标1，理5】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为为奇函数且在单调递减，要使成立，则满足，从而由得，即满足成立的的取值范围为，选D.‎ ‎【变式探究】(1)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.‎ ‎ (2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 解析：基本法：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B.|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.‎ 速解法：y＝f(x)是奇函数，则y＝|f(x)|为偶函数．‎ 故f(x)·g(x)＝奇，A错，|f(x)|g(x)＝偶，B错．‎ f(x)|g(x)|＝奇，C正确．‎ 答案：C ‎【变式探究】已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，若g(x)＝f(x)＋2 016，则g(x)的最大值与最小值之和为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 016 D．4 032‎ 解析：基本法：函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，则f(x)最小值与最大值的关系为f(x)min＝－f(x)max，所以g(x)min＝f(x)min＋2 016，g(x)max＝f(x)max＋2 016，则g(x)max＋g(x)min＝0＋2 016＋2 016＝4 032.故选D.‎ 速解法：因为函数f(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称．而g(x)＝f(x)＋2 016的图象是由f(x)的图象向上平移2 016个单位长度得到的，故g(x)的图象关于点(0，2 016)对称，所以＝2 016，即g(x)max＋g(x)min＝4 032.故选D.‎ 答案：D 高频考点三　函数单调性、周期性与对称性 ‎ ‎ 例3、（2018年全国Ⅱ卷理数）若在是减函数，则的最大值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以由得，因此，从而的最大值为。‎ ‎【举一反三】（2018年全国Ⅲ卷理数）函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D ‎【答案】D ‎【解析】当时，，排除A,B.‎ ‎,当时，,排除C，故正确答案选D。‎ ‎【变式探究】(1)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.‎ 解析：基本法：∵函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(2＋x)＝f(2－x)对任意x恒成立，‎ 令x＝1，得f(1)＝f(3)＝3，‎ ‎∴f(－1)＝f(1)＝3.‎ 速解法：由题意y＝f(x)的图象关于x＝0和x＝2对称，则周期T＝4.‎ ‎∴f(－1)＝f(－1＋4)＝f(3)＝3.‎ 答案：3‎ ‎ (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log‎2a)＋f(loga)≤‎2f(1)，则a的取值范围是(　　)‎ A．[1,2] B. C. D．(0,2]‎ 解析：基本法：∵f(loga)＝f(－log‎2a)＝f(log‎2a)，‎ ‎∴原不等式可化为f(log‎2a)≤f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log‎2a≤1，即1≤a≤2.‎ ‎∵f(x)是偶函数，∴f(log‎2a)≤f(－1)．又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log‎2a≤0，∴≤a≤1.‎ 综上可知≤a≤2.‎ 速解法：当a＝2时，log‎2a＝1，a＝－1，原不等式为f(1)＋f(－1)≤‎2f(1)，即‎2f(1)≤‎2f(1)成立，排除B.‎ 当a＝时，原不等式为f(－1)＋f(1)≤‎2f(1)成立，排除A.‎ 当a＝时，原不等式为f(－2)＋f(2)≤‎2f(1)，‎ 即f(2)≤f(1)与f(x)为增函数矛盾，排除D.‎ 答案：C ‎【方法技巧】‎ ‎1.基本法是利用单调性化简不等式．速解法是特例检验法．‎ ‎2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一样．常用的方法有：‎ ‎(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．‎ ‎3．若函数f(x)在定义域上(或某一区间上)是增函数，则f(x1)0时，令f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；‎ 当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]；‎ ‎∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．‎ ‎4．（2014·江西卷）函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　)‎ A．(0，1] B．[0，1]‎ C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)‎ ‎【答案】C　【解析】由x2－x>0，得x>1或x<0.‎ ‎5．（2014·山东卷）函数f(x)＝的定义域为(　　)‎ A. B．(2，＋∞)‎ C. ∪(2，＋∞) D. ∪[2，＋∞)‎ ‎【答案】C　【解析】根据题意得，解得故选C.‎ ‎6．（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)‎ A．y＝ B．y＝(x－1)2 ‎ C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)‎ ‎【答案】A　【解析】由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D，选A.‎ ‎7．（2014·福建卷）已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)‎ ‎8．（2014·四川卷）设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．‎ ‎【答案】1　【解析】由题意可知，f＝f＝f＝－4＋2＝1.‎ ‎9．（2014·四川卷）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：‎ ‎①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；‎ ‎②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；‎ ‎③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；‎ ‎④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.‎ 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎【答案】①③④　【解析】若f(x)∈A，则f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．‎ 取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误．‎ 当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(a0)＝b－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．‎ 对于f(x)＝aln(x＋2)＋ (x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝ (x＞－2)．‎ 易知f(x)∈，所以存在正数M＝，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确．‎ ‎10．（2014·四川卷）已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．‎ ‎(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；‎ ‎(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．‎ ‎【解析】(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.‎ 所以g′(x)＝ex－‎2a.‎ 当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－‎2a，e－‎2a]．‎ 当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，‎ 因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；‎ 当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，‎ 因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－‎2a－b；‎ 当0，g(1)＝e－‎2a－b>0.‎ 由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，‎ 则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，‎ 解得e－20，g(1)＝1－a>0.‎ 故此时g(x)在(0，ln(‎2a))和(ln(‎2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.‎ 由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增．‎ 所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)0的解集为(－2，2)，若f(x－1)>0，则－20，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是(　　)‎ ‎　 A　　　　　　　　　　　B ‎　　　　C　　　　　　　　　　　D ‎【答案】B　【解析】 由函数y＝logax的图像过点(3，1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝，则其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x3，则其函数图像正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，则其函数图像不正确．‎ ‎16．（2014·湖北卷）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－‎2a2|－‎3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎【答案】B　【解析】 因为当x≥0时，f(x)＝，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝＝－x；‎ 当a20)，g(x)＝logax的图像可能是(　　)‎ ‎　 　　A　　　　　　　　　　　　B ‎　 　　C　　　　　　　　　　　　D 图12‎ ‎【答案】D　【解析】 只有选项D符合，此时0