【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第九章第一讲　直线方程与两直线的位置关系作业 4页

第九章　直线和圆的方程 第一讲　直线方程与两直线的位置关系 ‎1.[2020江西模拟]“m=4”是“直线mx+(3m - 4)y+3=0与直线2x+my+3=0平行”的(　　)‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.[2020甘肃省模拟]已知直线l1:xsin α+y - 1=0,直线l2:x - 3ycos α+1=0,若l1⊥l2,则sin 2α=(　　)‎ A.‎3‎‎5‎ B. - ‎3‎‎5‎ C.‎2‎‎3‎ D. - ‎‎2‎‎3‎ ‎3.[2019安徽省黄山市八校联考]“a< - 1”是“直线ax+y - 1=0的倾斜角大于π‎4‎”的(　　)‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.[2019安徽四校联考]已知坐标原点关于直线l1:x - y+1=0的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2, - 1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为(　　)‎ A.2x+3y+5=0 B.3x - 2y+5=0 C.3x+2y+5=0 D.2x - 3y+5=0‎ ‎5.[2019河北廊坊省级示范高中联考]已知直线l1:ax+by+1=0与直线l2:2x+y - 1=0互相垂直,且l1经过点( - 1,0),则b=　　　　. ‎ ‎6.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为　　　　. ‎ ‎7.[2020贵阳市高三摸底测试]已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x - 3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为(　　)‎ A.3 B.4 C.‎5‎ D.‎‎7‎ ‎8.[2020安徽皖江名校第一次联考]过原点O作直线l:(2m+n)x+(m - n)y - 2m+2n=0的垂线,垂足为P,则点P到直线x - y+3=0的距离的最大值为(　　)‎ A.‎2‎+1 B.‎2‎+2 C.2‎2‎+1 D.2‎2‎+2‎ ‎9.[2019安徽十校高三摸底考试]已知直线l过点(3‎3‎,0)且不与x轴垂直,圆C:x2+y2 - 2y=0,若直线l上存在一点M,使OM交圆C于点N,且OM‎=‎‎3‎‎2‎NM,其中O为坐标原点,则直线l的斜率的最小值为(　　)‎ A. - 1 B. - ‎3‎ C. - ‎6‎ D. - ‎‎3‎‎3‎ ‎10.[2019辽宁五校联考]已知e是自然对数的底数,函数f(x)=(x - 1)ex+3e的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则直线l的横截距为　　　　. ‎ ‎11.[2019豫南九校第一次联考]若点P是函数f(x)=ex - e - x - 3x图象上任意一点.‎ ‎(1)设在点P处切线的倾斜角为α,求α的取值范围;‎ ‎(2)求在点P(ln 2, f(ln 2))处的切线方程.‎ ‎12.[2020洛阳市第一次联考][新角度题]已知圆C:(x - a)2+(y - b)2=1,平面区域Ω:x+y - 6≤0,‎x - y+4≥0,‎y≥0,‎若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则圆心C(a,b)与点(2,8)连线的斜率的取值范围是　　　　　　. ‎ ‎13.[2020成都高三摸底考试][交汇题]已知曲线C:x=2cosθ,‎y=sinθ(θ为参数),若点P在曲线C上运动,点Q为直线l:x+2y - 4 ‎2‎=0上的动点,则|PQ|的最小值为　　　　　. ‎ 第一讲　直线方程与两直线的位置关系 ‎1.C　由m=4,易得直线4x+8y+3=0与直线2x+4y+3=0平行;由直线mx+(3m - 4)y+3=0与直线2x+my+3=0平行,得m‎2‎‎=‎‎3m - 4‎m,解得m=2或m=4,经检验,当m=2时,直线2x+2y+3=0与直线2x+2y+3=0重合,故m=4,所以“m=4”是“直线mx+(3m - 4)y+3=0与直线2x+my+3=0平行”的充要条件,故选C.‎ ‎2.A　因为l1⊥l2,所以sin α - 3cos α=0,所以tan α=3,所以sin 2α=2sin αcos α=‎2sinαcosαsin‎2‎α+cos‎2‎α‎=‎2tanα‎1+tan‎2‎α=‎‎3‎‎5‎.故选A.‎ ‎3.A　设直线ax+y - 1=0的倾斜角为θ,则tan θ= - a.‎ ‎∵直线ax+y - 1=0的倾斜角大于π‎4‎,‎ ‎∴ - a>1或 - a<0,解得a< - 1或a>0.‎ ‎∴“a< - 1”是“直线ax+y - 1=0的倾斜角大于π‎4‎”的充分而不必要条件.故选A.‎ ‎4.B　设点A(x0,y0),依题意可得x‎0‎‎2‎‎ - y‎0‎‎2‎+1=0,‎y‎0‎x‎0‎‎= - 1,‎解得x‎0‎‎= - 1,‎y‎0‎‎=1,‎即A( - 1,1).设点B(2, - 1)到直线l2的距离为d,则当d=|AB|时d取得最大值,此时直线l2垂直于直线AB.所以直线l2的斜率k= - ‎1‎kAB‎=‎‎3‎‎2‎,所以直线l2的方程为y - 1=‎3‎‎2‎(x+1),即3x - 2y+5=0.故选B.‎ ‎5. - 2　因为l1⊥l2,所以2a+b=0,又 - a+1=0,所以b= - 2.‎ ‎6.‎5‎　由y=2x,‎x+y=3,‎解得x=1,‎y=2.‎把点(1,2)代入mx+ny+5=0可得m+2n+5=0,∴m= - 5 - 2n.∴点(m,n)到原点的距离d=m‎2‎‎+‎n‎2‎‎=‎(5+2n‎)‎‎2‎+‎n‎2‎=‎‎5(n+2‎)‎‎2‎+5‎≥‎5‎,当且仅当n= - 2,m= - 1时取等号,‎ ‎∴点(m,n)到原点的距离的最小值为‎5‎.‎ ‎7.A　∵点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,∴过焦点F作直线4x - 3y+11=0的垂线,则点F到直线4x - 3y+11=0的距离为d1+d2的最小值,易知F(1,0),∴(d1+d2)min=‎|4+11|‎‎4‎‎2‎‎+( - 3‎‎)‎‎2‎=3.‎ ‎8.A　将(2m+n)x+(m - n)y - 2m+2n=0整理,得(2x+y - 2)m+(x - y+2)n=0.由题意得‎2x+y - 2=0,‎x - y+2=0,‎解得x=0,‎y=2,‎可知直线l过定点Q(0,2).由题意知点O与点P重合或直线OP⊥l,所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆,圆心为(0,1),半径为1.因为圆心(0,1)到直线x - y+3=0的距离d=‎|0 - 1+3|‎‎2‎‎=‎‎2‎,所以点P到直线x - y+3=0的距离的最大值为‎2‎+1.故选A.‎ ‎9.B　设点M(x,y),由OM‎=‎‎3‎‎2‎NM,得N(x‎3‎,y‎3‎),又点N(x‎3‎,y‎3‎)在圆C上,则(x‎3‎)2+(y‎3‎)2 - 2·y‎3‎=0,即x2+y2 - 6y=0.设直线l的方程为y=k(x - 3‎3‎),∵点M在直线l上,∴直线l与曲线x2+y2 - 6y=0有交点,∴‎| - 3 - 3‎3‎k|‎‎1+‎k‎2‎≤3,解得 - ‎3‎≤k≤0,则直线l的斜率的最小值为 - ‎3‎,故选B.‎ ‎10. - 2　因为f '(x)=ex+(x - 1)ex=xex,所以切线l的斜率为f '(1)=e,由f(1)=3e知切点坐标为(1,3e),‎ 所以切线l的方程为y - 3e=e(x - 1).令y=0,解得x= - 2,故直线l的横截距为 - 2.‎ ‎11.(1)由导数的几何意义可知,函数y=f(x)=ex - e - x - 3x图象上任意一点P处切线的斜率等于该点的导函数值,而y ' =ex+e - x - 3≥2 - 3= - 1,当且仅当x=0时等号成立,即tan α≥ - 1.因为α∈[0,π),所以倾斜角α的取值范围为[0,π‎2‎)∪[‎3π‎4‎,π).‎ ‎(2)由(1)知y ' =ex+e - x - 3,所以在点P(ln 2, f(ln 2))处的切线斜率k=eln 2+e - ln 2 - 3= - ‎1‎‎2‎.‎ 又f(ln 2)=eln 2 - e - ln 2 - 3ln 2=‎3‎‎2‎ - 3ln 2=‎3‎‎2‎(1 - 2ln 2),‎ 所以由点斜式得在点P处的切线方程为y - ‎3‎‎2‎(1 - 2ln 2)= - ‎1‎‎2‎(x - ln 2),即x+2y - 3+5ln 2=0.‎ ‎12.( - ∞, - ‎7‎‎3‎]∪[‎7‎‎5‎,+∞)　平面区域Ω如图D 9 - 1 - 3中阴影部分所示,因为圆C与x轴相切,且圆心C∈Ω,所以b=1,即圆心在线段BD上,其中 B( - 3,1),D(5,1).令A(2,8),连接AB,AD,则kAB=‎7‎‎5‎,kAD= - ‎7‎‎3‎,所以由图D 9 - 1 - 3可知圆心C(a,b)与点(2,8)连线的斜率的取值范围为( - ∞, - ‎7‎‎3‎]∪[‎7‎‎5‎,+∞).‎ 图D 9 - 1 - 3‎ ‎13.‎2‎‎10‎‎5‎　解法一　设P(2cos θ,sin θ),则点P到直线l:x+2y - 4‎2‎=0的距离为‎|2cosθ+2sinθ - 4‎2‎|‎‎5‎‎=‎‎|2‎2‎sin(θ+π‎4‎) - 4‎2‎|‎‎5‎,由题意得当sin(θ+π‎4‎)=1时,|PQ|取得最小值,为‎2‎‎10‎‎5‎.‎ 解法二　易知曲线C的普通方程为x‎2‎‎4‎+y2=1,设直线x+2y+m=0与曲线C相切,将x= - 2y - m代入曲线C的方程得8y2+4my+m2 - 4=0,由Δ=(4m)2 - 4×8(m2 - 4)=0,得m=±2‎2‎.由题意易知切线x+2y - 2‎2‎=0与直线l间的距离即所求,即|PQ|的最小值为‎| - 4‎2‎+2‎2‎|‎‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎‎=‎‎2‎‎10‎‎5‎.‎