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- 2021-06-15 发布
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课时作业19 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单三角函数模型的应用
[基础达标]
一、选择题
1.[2020·唐山联考]把函数y=sin的图象向左平移个单位长度后,所得函数图象的一条对称轴的方程为( )
A.x=0 B.x=
C.x= D.x=-
解析:解法一 把函数y=sin的图象向左平移个单位长度后得到y=sin=sin的图象,令2x+=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),令k=0,则x=,选C.
解法二 将函数y=sin的图象向左平移个单位长度后得到y=sin=sin的图象,然后把选项代入检验,易知x=符合题意,选C.
答案:C
2.[2019·全国卷Ⅱ]若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( )
A.2 B.
C.1 D.
解析:由x1=,x2=是f(x)=sin ωx两个相邻的极值点,可得=-=,则T=π=,得ω=2,故选A.
答案:A
3.[2020·成都检测]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.现将函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为( )
A.g(x)=2sin B.g(x)=2sin
C.g(x)=2cos 2x D.g(x)=2sin
解析:由图象,知A=2,T=4×=π,所以ω==2,将点代入f(x)=2sin(2x+φ)得sin=-1,即+φ=2kπ+(k∈Z),结合|φ|<,得φ=,所以f(x)=2sin,所以g(x)=f=2sin,故选D.
答案:D
4.[2020·北京一零一中学统考]将函数f(x)=sin2x+的图象向右平移a(a>0)个单位长度得到函数g(x)=cos(2x+)的图象,则a的值可以为( )
A. B.
C. D.
解析:通解 将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移a(a>0)个单位长度得到函数y=sin(2x-2a+)的图象,∵y=sin(2x-2a+)=cos
(2x-2a-),∴g(x)=cos(2x+)和y=cos(2x-2a-)是同一个函数,∴-2a-=2kπ+(k∈Z),∴a=-kπ-(k∈Z),当k=-1时,a=,∴a的值可以为,故选C.
解法一 ∵f(x)=sin(2x+)=cos(2x+-)=cos(2x-)=cos[2(x-)+],∴将函数f(x)=sin(2x+)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)=cos(2x+)的图象,又函数g(x)=cos(2x+)的周期为π,∴将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移π-=个单位长度得到函数g(x)=cos(2x+)的图象,故选C.
解法二 ∵g(x)=cos(2x+)=sin(2x+-)=sin(2x-)=sin[2(x-)+],∴将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)=cos(2x+)的图象,故选C.
解法三 ∵f(x)=sin(2x+)=cos(2x++)=cos(2x+)=cos[2(x+)+],∴将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)=cos(2x+)的图象,故选C.
答案:C
5.[2020·黑龙江牡丹江一中月考]关于函数f(x)=sin(2x+)与函数g(x)=cos(2x-),下列说法正确的是( )
A.函数f(x)和g(x)的图象有一个交点在y轴上
B.函数f(x)和g(x)的图象在区间(0,π)内有3个交点
C.函数f(x)和g(x)的图象关于直线x=对称
D.函数f(x)和g(x)的图象关于原点(0,0)对称
解析:∵g(-x)=cos(-2x-)=cos(2x+)=cos(2x++)=-sin(2x+),∴g(-x)=-f(x),∴函数f(x)和g(x)的图象关于原点(0,0)对称,故选D.
答案:D
二、填空题
6.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得线段长为,则f=________.
解析:依题意=,∴ω=4.
∴f(x)=tan 4x.
∴f=tan π=0.
答案:0
7.[2020·四省八校联考,14]若f(x)=2sin(ωx+φ)-3(ω>0)对任意x∈R都有f(x+)=f(-x)成立,则f()=________.
解析:由题意知,函数f(x)=2sin(ωx+φ)-3的图象的对称轴为直线x=.当x=时,函数f(x)=2sin(ωx+φ)-3取得最值,所以f()=-5或-1.
答案:-5或-1
8.[2020·河南洛阳一中月考]设函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<)的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数是一个偶函数,则φ=________.
解析:通解 f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x++φ)的图象,∵g(x)=sin(2x++φ)是偶函数,∴sin(φ+)=±1,∴φ=kπ-(k∈Z),∵|φ|<,∴φ=-.
优解 ∵函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<)的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数是一个偶函数,∴f(x)=sin(2x+φ
)的图象关于直线x=对称,
∴sin(φ+)=±1,∴φ=kπ-(k∈Z),∵|φ|<,
∴φ=-.
答案:-
三、解答题
9.已知函数f(x)=2sin(其中0<ω<1),若点是函数f(x)图象的一个对称中心.
(1)试求ω的值;
(2)先列表,再作出函数f(x)在区间x∈[-π,π]上的图象.
解析:(1)∵点是函数f(x)图象的一个对称中心,
∴-+=kπ,k∈Z,∴ω=-3k+.
∵0<ω<1,∴k=0,ω=.
(2)由(1)知,f(x)=2sin,x∈[-π,π],列表如下:
x+
-
-
0
π
x
-π
-
-
π
y
-1
-2
0
2
0
-1
则函数f(x)在区间x∈[-π,π]上的图象如图所示.
10.[2019·河北保定摸底]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π,x∈R)在一个周期内的部分对应值如下表:
x
-
-
0
f(x)
-2
0
2
0
-2
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=f(x)-2sin x的最大值及其对应的x的值.
解析:(1)由表格可知,A=2,f(x)的周期T=-(-)=π,
所以ω==2.
又2sin(2×0+φ)=2,得sin φ=1,
因为-π<φ<π,所以φ=,所以f(x)=2sin(2x+)=2cos 2x.
(2)g(x)=f(x)-2sin x=cos 2x-2sin x=1-2sin2x-2sin x=-2sin( x+)2+.
又sin x∈[-1,1],所以当sin x=-时,g(x)取得最大值,
此时x=2kπ-或x=2kπ+(k∈Z).
[能力挑战]
11.[2019·吉林期末]若函数f(x)=sin 2x-cos 2x在[0,t]上的值域为[-,2],则t的取值范围为( )
A.[,] B.[,]
C.[,π ] D.[,π]
解析:依题意,知f(x)=2sin2x-,因为x∈[0,t],所以2x-∈[-,2t-].又f(x)在[0,t]上的值域为[-,2],则2t-∈[,],即t∈[,].故选B.
答案:B
12.[2019·辽宁辽阳期末]已知函数f(x)=Asin ωx(A>0,ω>0)与g(x)=cos ωx的部分图象如图所示,则( )
A.A=1,ω=
B.A=2,ω=
C.A=1,ω=
D.A=2,ω=
解析:由已知图象,可知=1,T==1.5×4=6,所以A=2,ω=.故选B.
答案:B
13.[2020·陕西长安五中月考]已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0),x∈R,若函数f(x)在(-ω,ω)上是增函数,且图象关于直线x=-ω对称,则ω=________.
解析:通解 ∵函数f(x)=sin(ωx-)的图象关于直线x=-ω对称且f(x)在区间(-ω,ω)上是增函数,∴f(-ω)=-,∴sin(-ω2-)=-1,∴-ω2-=2k1π-(k1∈Z),∴ω2=-2k1π+(k1∈Z).由2k2π-≤ωx-≤2k2π+(k2∈Z),得π≤x≤π(k2∈Z),又x∈(-ω,ω),∴π≤-ω(k2∈Z)且ω≤π(k2∈Z),即0<ω2≤π(k2∈Z)且0<ω2≤π(k2∈Z),得-0,∴0<ω≤,又ω2=-2k1π+(k1∈Z),∴k1=0,∴ω=.
优解 ∵函数f(x)=sin(ωx-)的图象关于直线x=-ω对称且f(x)在区间(-ω,ω)上是增函数,∴f(-ω)=-且2ω≤,∴sin(-ω2-)=-1且ω2≤,
∴-ω2-=2kπ-(k∈Z)且ω2≤,∴ω2=-2kπ+(k∈Z)且ω2≤,∴ω2=.∵ω>0,∴ω=.
答案: