2020届二轮复习集合与简易逻辑学案（全国通用） 7页

2020 高中数学精讲精练 第一章 集合与简易逻辑 第 1 课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描 述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个 子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观 图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些， 综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1.集合{( , ) 0 2,0 2, , }x y x y x y Z     用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)} ． 2.设集合 { 2 1, }A x x k k Z    ， { 2 , }B x x k k Z   ，则 A B  ． 3.已知集合 {0,1,2}M  ， { 2 , }N x x a a M   ，则集合 M N  _______． 4.设全集 {1,3,5,7,9}I  ，集合 {1, 5 ,9}A a  ， {5,7}IC A  ，则实数 a 的值为____8 或 2___． 【范例解析】 例.已知 R 为实数集，集合 2{ 3 2 0}A x x x    .若 RB C A R  ， { 0 1RB C A x x    或 2 3}x  ，求集合 B. 分析：先化简集合 A，由 RB C A R  可以得出 A 与 B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴 直观地解决问题. 解：（1） { 1 2}A x x   ， { 1RC A x x   或 2}x  .又 RB C A R  ， RA C A R  ， 可得 A B . 而 { 0 1RB C A x x    或 2 3}x  ， { 0 1x x  或 2 3}x  .B 借助数轴可得 B A  { 0 1x x  或 2 3}x  { 0 3}x x   . 【反馈演练】 {0,2} 1．设集合  2,1A ，  3,2,1B ，  4,3,2C ，则  CBA U =_________． 2．设 P，Q 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q= },5,2,0{},,|{  PQbPaba 若 }6,2,1{Q ，则 P+Q 中元素的个数是____8___个． 3．设集合 2{ 6 0}P x x x    ， { 2 3}Q x a x a    . （1）若 P Q P  ，求实数 a 的取值范围； （2）若 P Q   ，求实数 a 的取值范围； （3）若 { 0 3}P Q x x    ，求实数 a 的值. 解：（1）由题意知： { 2 3}P x x    ， P Q P  ， Q P  . ①当Q   时，得 2 3a a  ，解得 3a  ． ②当Q   时，得 2 2 3 3a a     ，解得 1 0a   ． 综上， ( 1,0) (3, )a    ． （2）①当Q   时，得 2 3a a  ，解得 3a  ； ②当Q   时，得 2 3, 3 2 2 3 a a a a        或 ，解得 35 32a a   或 ． 综上， 3( , 5] [ , )2a     ． （3）由 { 0 3}P Q x x    ，则 0a  ． 第 2 课 命题及逻辑联结词 【考点导读】 1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系． 2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内 容． 3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对 含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【基础练习】 1.下列语句中：① 2 3 0x   ；②你是高三的学生吗？③3 1 5  ；④5 3 6x   ． 其中，不是命题的有____①②④_____． 2.一般地若用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若 q 则 p ，否 命题可表示为 p q 若 则 ，逆否命题可表示为 q p 若 则 ；原命题与逆否命题互为逆否命 题，否命题与逆命题互为逆否命题． 【范例解析】 例 1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假. （1） 平行四边形的对边相等； （2） 菱形的对角线互相垂直平分； （3） 设 , , ,a b c d R ，若 ,a b c d  ，则 a c b d   . 分析：先将原命题改为“若 p 则 q”，在写出其它三种命题. 解： （1） 原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题； 逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题； 否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题； 逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命 题. （2） 原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题； 逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题； 否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题； 逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题. （3） 原命题：设 , , ,a b c d R ，若 ,a b c d  ，则 a c b d   ；真命题； 逆命题：设 , , ,a b c d R ，若 a c b d   ，则 ,a b c d  ；假命题； 否命题：设 , , ,a b c d R ，若a b 或c d ，则 a c b d   ；假命题； 逆否命题：设 , , ,a b c d R ，若 a c b d   ，则 a b 或c d ；真命题. 点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若 p 则 q”的形式，找出其条件 p 和结论 q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前 提不要动；在写命题 p 的否定即 p 时，要注意对 p 中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”， “或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等. 例 2.写出由下列各组命题构成的“p 或 q”，“p 且 q”，“非 p”形式的命题，并判断真假. （1）p：2 是 4 的约数，q：2 是 6 的约数； （2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分； （3）p：方程 2 1 0x x   的两实根的符号相同，q：方程 2 1 0x x   的两实根的绝对值相等. 分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假. 解： （1）p 或 q：2 是 4 的约数或 2 是 6 的约数，真命题； p 且 q：2 是 4 的约数且 2 是 6 的约数，真命题； 非 p：2 不是 4 的约数，假命题. （2）p 或 q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题； p 且 q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非 p：矩形的对角线不相等，假命题. （3）p 或 q：方程 2 1 0x x   的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题； p 且 q：方程 2 1 0x x   的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题； 非 p：方程 2 1 0x x   的两实根的符号不同，真命题. 点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命 题构成的形式以及构成它们的命题 p，q 的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假. 例 3.写出下列命题的否定，并判断真假. （1）p：所有末位数字是 0 或 5 的整数都能被 5 整除； （2）p：每一个非负数的平方都是正数； （3）p：存在一个三角形，它的内角和大于 180°； （4）p：有的四边形没有外接圆； （5）p：某些梯形的对角线互相平分. 分析：全称命题“ , ( )x M p x  ”的否定是“ , ( )x M p x   ”，特称命题“ , ( )x M p x  ”的 否定是“ , ( )x M p x   ” . 解： （1） p ：存在末位数字是 0 或 5 的整数，但它不能被 5 整除，假命题； （2） p ：存在一个非负数的平方不是正数，真命题； （3） p ：任意一个三角形，它的内角和都不大于 180°，真命题； （4） p ：所有四边形都有外接圆，假命题； （5） p ：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题. 点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下： 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 否定词语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 … 否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 … 【反馈演练】 1．命题“若 a M ，则b M ”的逆否命题是__________________. 2．已知命题 p ： 1sin,  xRx ，则 :p ,sin 1x R x   . 3．若命题 m 的否命题 n，命题 n 的逆命题 p，则 p 是 m 的____逆否命题____. 4．命题“若 ba  ，则 122  ba ”的否命题为________________________． 5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． （1）设 ,a b R ，若 0ab  ，则 0a  或 0b  ； （2）设 ,a b R ，若 0, 0a b  ，则 0ab  ． 解： （1）逆命题：设 ,a b R ，若 0a  或 0b  ，则 0ab  ；真命题； 否命题：设 ,a b R ，若 0ab  ，则 0a  且 0b  ；真命题； 逆否命题：设 ,a b R ，若 0a  且 0b  ，则 0ab  ；真命题； （2）逆命题：设 ,a b R ，若 0ab  ，则 0, 0a b  ；假命题； 否命题：设 ,a b R ，若 0a  或 0b  ，则 0ab  ；假命题； 逆否命题：设 ,a b R ，若 0ab  ，则 0a  或 0b  ；真命题． 第 3 课时 充分条件和必要条件 【考点导读】 1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件． 2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论： 若b M ，则 a M 若 a b ，则 2 2 1a b  若集合 P Q ，则 P 是Q 的充分条件； 若集合 P Q ，则 P 是Q 的必要条件； 若集合 P Q ，则 P 是Q 的充要条件． 3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力． 【基础练习】 1.若 p q ，则 p 是q 的充分条件．若 q p ，则 p 是 q 的必要条件．若 p q ，则 p 是q 的 充要条件． 2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空. （1）已知 : 2p x  ， : 2q x  ，那么 p 是 q 的_____充分不必要___条件． （2）已知 :p 两直线平行， :q 内错角相等，那么 p 是 q 的____充要_____条件． （3）已知 :p 四边形的四条边相等， :q 四边形是正方形，那么 p 是 q 的___必要不充分__条件． 3.若 x R ，则 1x  的一个必要不充分条件是 0x  ． 【范例解析】 例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空. （1） 2, 2. x y    是 4, 4. x y xy     的___________________条件； （2）( 4)( 1) 0x x   是 4 01 x x   的___________________条件； （3）  是 tan tan  的___________________条件； （4） 3x y  是 1x  或 2y  的___________________条件. 分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用. 解：（1）因为 2, 2. x y    结合不等式性质易得 4, 4. x y xy     ，反之不成立，若 1 2x  ， 10y  ，有 4, 4. x y xy     ，但 2, 2. x y    不成立，所以 2, 2. x y    是 4, 4. x y xy     的充分不必要条件. （2）因为 ( 4)( 1) 0x x   的解集为[ 1,4] ， 4 01 x x   的解集为 ( 1,4] ，故 ( 4)( 1) 0x x   是 4 01 x x   的必要不充分条件. （3）当 2    时，tan ,tan  均不存在；当 tan tan  时，取 4   ， 5 4   ，但  ， 所以  是 tan tan  的既不充分也不必要条件. （4）原问题等价其逆否形式，即判断“ 1x  且 2y  是 3x y  的____条件”，故 3x y  是 1x  或 2y  的充分不必要条件. 点评：①判断 p 是 q 的什么条件，实际上是判断“若 p 则 q”和它的逆命题“若 q 则 p”的真 假，若原命题为真，逆命题为假，则 p 为 q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真， 则 p 为 q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则 p 为 q 的充要条件；若原命题， 逆命题均为假，则 p 为 q 的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断 “若 p 则 q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q 则p”的真假. 【反馈演练】 1．设集合 }30|{  xxM ， }20|{  xxN ，则“ Ma  ”是“ Na  ”的_必要不充分 条件． 2．已知 p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则 p 是 q 的 条件． 3．已知条件 2: { 1 0}p A x R x ax     ，条件 2: { 3 2 0}q B x R x x     ．若 q 是 p 的充 分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 解： : { 1 2}q B x R x    ，若 q 是 p 的充分不必要条件，则 A B ． 若 A   ，则 2 4 0a   ，即 2 2a   ； 若 A   ，则 2 2 2 4 0, 4 4 ,2 2 a a a a ax           解得 5 22 a    ． 综上所述， 5 22 a   ． 充分不必要