2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第十一章 选修模块 第1节 4页

第十一章 第1节 ‎1．(2020·太原市质检)已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离. ‎ 解：(1)曲线C1化为ρcos θ＋ρsin θ＝.‎ ‎∴ρsin＝.‎ 曲线C2化为＋＝1.(*)‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式 得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6.‎ ‎∴曲线C2的极坐标方程为ρ2＝.‎ ‎(2)∵M(，0)，N(0,1)，∴P，‎ ‎∴OP的极坐标方程为θ＝，‎ 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P.‎ 把θ＝代入ρ2＝ 得ρ2＝2，Q.‎ ‎∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，‎ 即P，Q两点间的距离为1.‎ ‎2．(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．‎ 解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)，‎ ‎∴＋＝1.‎ 直线l的参数方程为(t为参数)‎ ‎∴＝tan α(α≠90°)，即tan α·x－y＋2－tan α＝0，当α＝90°时，x＝1.‎ 综上：l： ‎(2)当α＝90°，点(1,2)不为中点，∴不成立．‎ 当α≠90°，把l代入曲线C中得：4x2＋[tan α·(x－1)＋2]2＝16，‎ 化简得：(4＋tan2α)x2＋(4tan α－2tan2α)x＋tan2α－‎ ‎4tan α－12＝0，‎ ‎∵点(1,2)为弦的中点，∴x1＋x2＝2，即＝2，∴tan α＝－2，∴直线l的斜率k＝－2.‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρcos θ＝3，‎ 曲线C2：ρ＝4cos θ(0≤θ≤)．‎ ‎(1)求C1与C2交点的极坐标；‎ ‎(2)设点Q在C2上，＝，求动点P的极坐标方程．‎ 解：(1)联立方程得得cos θ＝±，‎ ‎∵0≤θ＜，∴cos θ＝，∴θ＝，‎ ‎∴ρ＝2，‎ ‎∴所求交点的极坐标为.‎ ‎(2)设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)且ρ0＝4cos θ0，θ0∈，‎ 由已知＝OP―→，得 ‎∴ρ＝4cos θ(θ∈[0，)，故点P的极坐标方程为ρ＝10cos θ，θ∈[0，)．‎ ‎4．(2020·石家庄模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ－3＝0.‎ ‎(1)求直线l的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|.‎ 解：(1)由消去t得y＝2x，‎ 把代入y＝2x，得ρsin θ＝2ρcos θ，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为sin θ＝2cos θ.‎ ‎(2)∵ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ.‎ ‎∴曲线C的方程可化为x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，‎ 圆C的圆心C(0，－1)到直线l的距离d＝，‎ ‎∴|AB|＝2＝.‎ ‎5．(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．‎ ‎(1)求α的取值范围；‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．‎ 解：(1)根据⊙O的参数方程，可得⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1，‎ 当α＝时，直线l与圆⊙O交于两点．‎ 当α≠时，tan α＝k 设过点(0，－)的直线为y＝kx－，要使直线与⊙O相交于两点，则d＝<1.‎ 故k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ ‎∴α∈.‎ ‎(2)设P点的坐标为(x，y)，联立方程得(k2＋1)x2－2kx＋1＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝，‎ 故x＝＝，y＝－.‎ ‎∴P.∵k＝tan α，‎ ‎∴点P的轨迹的参数方程为 .‎ ‎6．(2020·桂林联考)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，直线l的参数方程为(t为参数，α为l的倾斜角)，曲线E 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，射线θ＝β，θ＝β＋，θ＝β－与曲线E分别交于不同于极点的A，B，C三点．‎ ‎(1)求证：|OB|＋|OC|＝|OA|；‎ ‎(2)当β＝时，直线l过B，C两点，求y0与α的值．‎ 解：(1)证明：依题意知，|OA|＝4sin β，‎ ‎|OB|＝4sin ，‎ ‎|OC|＝4sin ，‎ 则|OB|＋|OC|＝4sin ＋4sin ‎＝4sin β＝|OA|.‎ ‎(2)当β＝时，点B的极坐标为＝，‎ 点C的极坐标为＝，‎ 故B、C化为直角坐标为B(0,4)，C(，1)，‎ 所以直线l：y＝－x＋4，‎ ‎∴y0＝4，α＝.‎