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- 2021-06-15 发布
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2018-2019学年贵州省黔西南州黔西县高一上学期期末数学试题
一、单选题
1.设集合,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】试题分析:由集合的运算可知,集合与集合的公共元素为2,即,所以A为正确答案.
【考点】集合的运算.
2.下列函数中,在区间上为减函数的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析:在区间上为增函数;在区间上先增后减;在区间上为增函数;在区间上为减函数,选D.
【考点】函数增减性
3.函数f(x)=的定义域为( )
A.(0,2) B.(0,2]
C.(2,+∞) D.[2,+∞)
【答案】C
【解析】对数函数定义域及分母不为0,结合起来即可求得定义域。
【详解】
要使函数有意义,则解得x>2.
【点睛】
本题考查了对数函数真数大于0,同时分母不为0的定义域问题,属于基础题。
4.已知函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x),且f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=2x(1﹣x),则f()=( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据周期性和奇偶性,即可求解.
【详解】
由f(﹣x)=﹣f(x),f(﹣x)=﹣f(x),
得.
故选:A
【点睛】
本题考查函数的性质应用,属于基础题.
5.如果函数在区间上是减函数,那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据开口向上的二次函数在对称轴左边单调递减,即可求出的取值范围。
【详解】
的对称轴为 ,
又开口向上,即在上单调递减
即
即
故选A
【点睛】
本题考查二次函数的单调性与单调区间的子区间,主要注意区分函数在 上是减函数与函数的单调递减区间为,属于基础题。
6.的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
单位圆中,,,故选A.
7.已知sinα,且α为第二象限角,则tan(π﹣α)=( )
A. B. C.± D.﹣2
【答案】B
【解析】由同角间的三角函数关系,求出,再由诱导公式,即可求解.
【详解】
,且α为第二象限角,
得,
.
故选:B
【点睛】
本题考查同角间的三角函数关系,以及诱导公式,属于基础题.
8.已知边长为2的正方形中,为的中点,连接,则( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【答案】B
【解析】以为原点,为轴,为轴,建立直角坐标系,标出各个对应点坐标,计算
得到答案.
【详解】
以为原点,为轴,为轴,建立直角坐标系
则,
故答案选B
【点睛】
本题考查了向量的乘积,建立坐标系可以简化运算.
9.已知向量(1,2),(3,﹣4),则在上的投影为( )
A. B. C.1 D.﹣1
【答案】D
【解析】根据向量数量积的几何意义,即可求出结论.
【详解】
在上的投影为.
故选:D
【点睛】
本题考查向量数量积的几何意义,及坐标表示,属于基础题.
10.要得到函数的图像,只需将函数的图像( )
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
【答案】A
【解析】因为,且,所以应将的图像向右平移个单位,即可得到函数的图像。应选答案A 。
11.若a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,则lg(a﹣1)+lg(b﹣1)的值( )
A.等于1 B.等于lg2 C.等于0 D.不是常数
【答案】C
【解析】由已知等式,求出关系,代入所求式子,即可求解.
【详解】
,
,
.
故选:C
【点睛】
本题考查对数的运算法则,解题时要认真审题,属于基础题.
12.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】A
【解析】【详解】
函数的图象关于直线x=1对称,
函数的图选也关于直线x=1对称,画出图象,
两图象共有6个交点,关于直线x=1对称,所以它们的交点的横坐标之和等于6.
【考点】对数函数与余弦函数的图象与性质.
二、填空题
13.已知2x=7y=196,则_____.
【答案】.
【解析】把已知的等式指数幂形式转化对数形式,求出,再用换底公式,即可求出结论.
【详解】
,
.
故答案为:
【点睛】
本题考查指数幂和对数之间的关系,考查换底公式,属于基础题.
14.已知三点A(1﹣a,﹣5),B(a,2a),C(0,﹣a)共线,则a=_____.
【答案】2.
【解析】A(1﹣a,﹣5),B(a,2a),C(0,﹣a)共线,得共线,利用共线向量坐标关系,即可求解.
【详解】
依题意共线,,
,解得或.
若两点重合,不合题意舍去.
故答案为:2
【点睛】
本题考查共线向量的坐标关系,属于基础题.
15.某扇形的圆心角为2弧度,周长为4cm,则该扇形面积为_____cm2.
【答案】1
【解析】设该扇形的半径为,根据题意,因为扇形的圆心角为弧度,周长为,则有,,故答案为.
16.已知,且,则__________.
【答案】
【解析】∵,,两边同时平方可得,
∴,故答案为.
三、解答题
17.已知集合A={x|f(x)=lg(x﹣1)},集合B={y|y=2x+a,x≤0}.
(1)若a,求A∪B;
(2)若A∩B=,求实数a的取值范围.
【答案】(1)A∪B={x|1<x}(2)a≥2或a≤0
【解析】(1)求函数的定义域,化简集合,求出函数的值域,化简集合,即可求出结论;
(2)根据,确定集合的端点位置,即可求解.
【详解】
(1)由f(x)=lg(x﹣1)可得,x﹣1>0且2﹣x≥0,
解得1<x≤2,故A={x|1<x≤2};)
若a,则y=2x,当x≤0时,0<2x≤1,2x,
故B={y|};
所以A∪B={x|1<x}.
(2)当x≤0时,0<2x≤1,a<2x+a≤a+1,故B={y|a<y≤a+1},
因为A∩B=,A={x|1<x≤2},所以a≥2或a+1≤1,
即a≥2或a≤0,
所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0.
【点睛】
本题考查集合间的运算,化简集合是关键,属于基础题.
18.若.求:
(1)的值;
(2)1﹣2sinαcosα+cos2α的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)利用诱导公式化简已知等式,求出,化弦为切,即可求解;
(2)利用“1”的变换,所求式子化为关于齐次分式,化弦为切,即可得结果.
【详解】
∵,
∴tanα=-2,
∴(1),
(2).
【点睛】
本题考查诱导公式,考查关于齐次分式求值,注意“1”的灵活运用,弦切互化是解题的关键,属于中档题.
19.函数f(x)=Asin(ωx)+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)的单调增区间;
(3)设α∈(0,),则f()=2,求α的值.
【答案】(1)y=2sin(2x)+1(2)函数f(x)的单调增区间:k∈Z(3)α
【解析】(1)根据函数的最值求出,由相邻两条对称轴之间的距离为,确定函数的周期,进而求出值;
(2)利用整体思想结合单调递增区间,即可求解;
(3)由,求出关于的三角函数值,结合的范围,即可求出结论.
【详解】
(1)∵函数f(x)的最大值为3,
∴A+1=3,即A=2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,
∴最小正周期T=π,∴ω=2.
故函数f(x)的解析式为y=2sin(2x)+1;
(2)由,,
得,
∴,.
∴函数f(x)的单调增区间:k∈Z;
(3)∵f()=2sin(α)+1=2,即sin(α),
∵0<α,∴,
∴α,故α.
【点睛】
本题考查由三角函数的性质求解析式,以及求函数的单调区间,考查已知三角函数值求特殊角,属于中档题.
20.已知是同一平面内的三个向量,其中.
(1)若,且,求的坐标;
(2)若且与垂直,求与的夹角.
【答案】(1) 或.
(2).
【解析】分析:(1)由,,且,可设,则,从而可得结果;
(2)由,,利用列方程可解得,利用平面向量夹角余弦公式可得结果.
详解:(1)∵,,是同一平面内的三个向量,其中,,
且,∴设,则,解得,
∴或;
(2),,
∵,
∴,
∵,∴,即,,
∴.
点睛:本题考查向量坐标的求法,考查两向量夹角的大小的求法,解题时要认真审题.
21.已知f(x)sin(2x).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的最大值,并写出取最大值时自变量x的集合;
(3)求函数f(x)在x∈[0,]上的最值.
【答案】(1)最小正周期为(2)x∈{x|x=kπ,k∈Z},f(x)取到最大值(3)f(x)的最小值为,最大值为
【解析】(1)根据周期与解析式的关系,即可求解;
(2)由正弦函数的最值与自变量关系,即可得结果;
(3)根据整体思想,转化为求正弦函数的最值.
【详解】
(1)周期为T;
(2)当2x2kπ,k∈Z,
即x∈{x|x=kπ,k∈Z},f(x)取到最大值;
(3)x∈[0,]时,2x∈[],
根据正弦函数的性质f(x)∈[,],
当x时,f(x)取到最小值,
当x时,f(x)取到最大值.
【点睛】
本题考查三角函数的性质,三角函数的最值,熟练掌握正弦函数图像和性质是解题的关键,属于基础题.
22.设函数f(x)=ln(ax2+x+6).
(1)若a=﹣1,求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)的定义域为R,求a的取值范围.
【答案】(1)f(x)的定义域是(﹣2,3);当﹣2<x时,f(x)单调递增;当x<3时,f(x)单调递减(2)a
【解析】(1)根据真数大于零求函数的定义域,再结合二次函数的单调性,即可求单调区间;
(2)函数定义域为,转化为真数大于零在上恒成立,即可求解.
【详解】
(1)a=﹣1时,函数f(x)=ln(﹣x2+x+6),
令t=﹣x2+x+6>0,解得﹣2<x<3,
所以f(x)的定义域是(﹣2,3);
当﹣2<x时,二次函数t=﹣x2+x+6单调递增,则f(x)也单调递增;
当x<3时,二次函数t=﹣x2+x+6单调递减,则f(x)也单调递减;
f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是;
(2)若函数f(x)的定义域为R,则ax2+x+6>0恒成立,
即,解得a,
所以a的取值范围是a.
【点睛】
本题考查复合函数的单调性,考查已知函数的定义域求参数范围,解题的关键是利用等价转化思想,转化为求二次函数恒成立参数范围,属于中档题.