江苏省徐州市2021届高三数学上学期期中试卷（Word版附答案） 8页

1 江苏省徐州市 2021 届高三第一学期期中考试 数学试题 2020．11 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已如集合 A＝ 2x x  ，B＝ 2 2 0x x x   ，则下列结论正确的是 A．A  B＝R B．A  B≠  C．A  ( Rð B) D．A  ( Rð B) 2．复数 i 1 2iz   （i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．有 4 名学生志愿者到 3 个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名同学都只去 1 个小区， 每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法为 A．6 种 B．12 种 C．36 种 D．72 种 4．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫 博物院，有甲、乙两人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图 中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶中的两个动作，每人模仿一个动作，若他们 采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶” 且乙只能模仿“扶”或“检”的概率是 A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 6 5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗 中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下 某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中， 设军营所在区域为 x2＋y2≤1，若将军从点 A(4，﹣3)处出发，河岸线所在直线方程为 x ＋y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程 为 A．8 B．7 C．6 D．5 6．在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝AD＝1，AA1＝2，设 AC 交 BD 于点 O，则异面 直线 A1O 与 BD1 所成角的余弦值为 A． 4 15 15  B． 4 15 15 C． 4 3 9  D． 4 3 9 7．若偶函数 ( )f x 满足 ( ) ( 1) 2020f x f x   ， ( 2) 1f    ，则 (2021)f ＝ A．﹣2020 B．﹣1010 C．1010 D．2020 8．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学 理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为 2 三段，去掉中间的区间段( 1 3 ， 2 3 )，记为第一次操作；…，再将剩下的两个区间[0，1 3 ]， [ 2 3 ，1] 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样， 每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的 区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若 使去掉的各区间长度之和不小于 9 10 ，则需要操作的次数 n 的最小值为（参考数据：lg2 ＝0.3010，lg3＝0.4771） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知曲线 C 的方程为 2 2 19 1 x y k k    (kR) A．当 k＝5 时，曲线 C 是半径为 2 的圆 B．当 k＝0 时，曲线 C 为双曲线，其渐近线方程为 1 3y x  C．存在实数 k，使得曲线 C 为离心率为 2 的双曲线 D．“k＞1”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的必要不充分条件 10．设 a＞0，b＞0，则 A． 1 2( 2 )( ) 9a b a b    B． 2 2 2( 1)a b a b    C． 2 2a b a bb a    D． 2 2a b aba b   11．如图 BC，DE 是半径为 1 的圆 O 的两条不同的直径， BF 2FO  ，则 A． 1BF FC3   B． 8FD FE 9     C．﹣1＜cos< FD  ， FE  >≤ 4 5  3 D．满足 FC FD FE     的实数  与  的和为定值 4 第 11 题 12．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网 就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数， 4 1 sin[(2 1) ]( ) 2 1i i xf x i   的 图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则 A．函数 ( )f x 为周期函数，且最小正周期为 B．函数 ( )f x 的图象关于点(2 ，0)对称 C．函数 ( )f x 的图象关于直线 x＝ 2  对称 D．函数 ( )f x 的导函数 ( )f x 的最大值为 4 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13． 2 62( 1)( )x x x   展开式中含 x2 的项的系数为 ． 14．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发 现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星 波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反 射聚焦到焦点处（如图②所示），已知接收天线的口径 （直径）为 4.8m，深度为 1m，则该抛物线的焦点到顶 点的距离为 m． 第 14 题 15．已知 ( 2  ，0)，sin( 4  ＋ )＝ 3 5 ，则 tan2 的值为 ． 16．在平面四边形 ABCD 中，AB＝CD＝1，BC＝ 2 ，AD＝2，∠ABC＝90°，将△ABC 沿 AC 折成三棱锥，当三棱锥 B—ACD 的体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 在①ccosB＋bcosC＝2，②bcos( 2  ﹣C)＝ccosB，③sinB＋cosB＝ 2 这三个条件中任选 一个， 补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求△ABC 的面积；若问题中的三角形 不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A＝ 6  ， ， 4 b＝4？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分 12 分） 设 nS 为数列 na 的前 n 项和，满足 12 3n nS a a  且 2a ， 3 2a  ， 4 8a  成等差数列． （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 n n nb a  ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 19．（本小题满分 12 分） 某生物研究所为研发一种新疫苗，在 200 只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统 计数据： 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射疫苗 35 x y 注射疫苗 65 z w 总计 100 100 200 现从未注射疫苗的小白鼠中任取 1 只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为 13 20 ． （1）能否有 99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？ （2）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取 2 只进行病理分析，记注射疫苗的小白鼠只数 为 X，求 X 的概率分布和数学期望 E(X)． 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ， n a b c d    ． P( 2 0K k ) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 5 20．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA⊥平面 ABCD． （1）求证：平面 PAC⊥平面 PBD； （2）若 AP＝AB＝2，∠BAD＝60°，求二面角 A—PB—D 的余弦值． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) 2ln 4 3f x x x x    ． （1）求函数 ( )f x 在[1，2]上的最小值； （2）若 3( ) ( 1)f x a x  ，求实数 a 的值． 22．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b   (a＞b＞0)的右焦点为 F(1，0)，且过 6 点(1， 2 2 )． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A 是椭圆 C 上位于第一象限内的点，连接 AF 并延长交椭圆 C 于另一点 B，点 P(2，0)，若∠PAB 为锐角，求△ABP 的面积的取值范围． 参考答案 1．C 2．A 3．C 4．C 5．C 6．D 7．A 8．C 9．ABD 10．ACD 11．BCD 12．BCD 13．﹣100 14．1.44 15． 7 24  16． 4 3  17． 18． 7 19． 20． 8 21． 22．