高中数学北师大版新教材必修一同步课件：6-4-1　样本的数字特征§4  用样本估计总体的数字特征 39页

§4 　用样本估计总体的数字特征 4.1 　样本的数字特征 必备知识 · 自主学习 知识点　样本的数字特征 (1) 概念及特征 概念或计算公式 特征或作用 平均数 样本数据的 _______ 反映出样本数据中更多的信息 , 对样本中的极端值敏感 中位数 将样本数据按 _________ 的顺序 排列后 ,“ 中间”的那个数据 . 使样本数据被分成的两部分的 ___________, 不受少数几个极 端数据的影响 众数 样本数据中出现次数最 ___ 的数 据 体现了样本数据的最大集中点 平均值 从小到大 数据量相等 多 概念或计算公式 特征或作用 极差 样本数据中最大值和最小值的差 能粗略地刻画样本数据的离 散程度 方差 较好地刻画样本数据偏离平 均数的离散程度 , 标准差、方 差越 ___, 数据的离散程度越 小 . 标准 差 s= 小 (2) 本质 : 样本的数字特征是样本固有的属性 , 它从不同方面体现出样本的特征 , 有代表性的样本的数字特征可以估计总体的数字特征 , 进而能对实际问题作出合理决策 . (3) 应用 : 估计总体数字特征 . 【 思考 】 (1) 一组数据的众数可以有几个 ? 中位数和平均数是否也具有相同的结论 ? 提示 : 一组数据的众数可能有一个 , 也可能有多个 , 但是平均数与中位数只有唯一一个 , 把样本数据按从小到大的顺序排列后 , 当数据有奇数个时 , 中位数就是最中间的数据 , 当数据有偶数个时 , 中位数是中间两个数据的平均值 . (2) 方差和标准差有何异同 ? 提示 : 相同点 : 都是刻画样本数据偏离平均数的离散程度的量 . 不同点 :① 计算公式不同 ;② 单位不同 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 中位数一定是样本数据中的某个数 . ( 　　 ) (2) 在一组样本数据中 , 众数一定是唯一的 . ( 　　 ) (3) 方差越大 , 数据的稳定性越强 . ( 　　 ) (4) 在两组数据中 , 平均值较大的一组方差较大 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 当样本数据有偶数个时 , 中位数是按大小排列后中间两数的平均值 . (2)×. 在一组样本数据中 , 众数可能不止一个 . (3)×. 方差越小 , 数据的稳定性越强 . (4)×. 一组数据的平均值与方差没有必然联系 . 2. 一组样本数据为 :19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27, 则这组数据的众数和中位数分别为 ( 　　 ) A.14,14 　　 B.12,14 　　 C.14,15.5 　　 D.12,15.5 【 解析 】 选 A. 把这组数据按从小到大排列为 :10,12,12,14,14,14,17,18, 19,23,27, 则可知其众数为 14, 中位数为 14. 3.( 教材二次开发 : 例题改编 ) 王老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,5,6, 则该组数据的方差 s 2 = 　　　 .  【 解析 】 王老师收到信件的平均数为 7, 根据方差的计算公式可得 s 2 = [(10- 7) 2 +(6-7) 2 +(8-7) 2 +(5-7) 2 +(6-7) 2 ]=3.2. 答案 : 3.2 关键能力 · 合作学习 类型一　样本数据数字特征的计算 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1. 在某次测量中得到的 A 样本数据如下 :42,43,46,52,42,50, 若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都减 5 后所得数据 , 则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同的是 ( 　　 ) A. 平均数　　 B. 标准差　　 C. 众数　　 D. 中位数 【 解析 】 选 B. 由 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都减 5 后所得数据 , 可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去 5, 即与 A 样本不相同 , 标准差不变 . 2. 若第一组数据 7,4,3,m 的平均数是 5; 第二组数据 18,9,7,m,n 的平均数为 10, 则第二组数据的中位数是 　　　　 .  【 解析 】 由题意 , 得 所以第二组数据为 6,7,9,10,18, 其中位数为 9. 答案 : 9 3. 某校从参加高一年级期末测试的学生中抽出 80 名学生 , 其数学成绩 ( 均为整数 ) 的频率分布直方图如图所示 . 则这次测试数学成绩的众数、中位数、平均数分别为 　　　　 .  【 解析 】 由题图知众数为 =75. 设中位数为 x, 由于前三个矩形面积之和 为 0.4, 第四个矩形面积为 0.3,0.3+0.4>0.5, 因此中位数位于第四个矩形内 , 得 0.1=0.03(x-70), 所以 x≈73.3. 这次数学成绩的平均数为 : ×0.005×10+ ×0.015×10+ ×0.02×10+ ×0.03×10+ ×0.025×10+ ×0.005×10=72. 答案 : 75,73.3,72 【 解题策略 】 1. 计算样本数据数字特征时要注意的问题 (1) 计算中位数时一定要按从小到大的顺序排列数据 ; (2) 极差、方差、标准差的概念不要混淆 , 计算公式要掌握牢固 , 标准差的大小不会超过极差 . 2. 利用频率分布直方图求数字特征的方法 (1) 众数是最高矩形的底边中点的横坐标 ; (2) 中位数左右两边直方图的面积应相等 ; (3) 平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 . 类型二　众数、中位数、平均数的应用 ( 数据分析、数学建模 ) 【 典例 】 个体户李某经营一家快餐店 , 下面是快餐店所有工作人员 2020 年 6 月份的工资表 : 老板李某 30 000 元 大厨老张 4 500 元 二厨小马 3 500 元 采购员小王 4 000 元 杂工李阿姨 3 200 元 服务生小明 3 200 元 会计小何 4 100 元 (1) 计算所有员工 6 月份的平均工资 ; (2) 由 (1) 计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平 ? 为什么 ? (3) 去掉李某的工资后 , 再计算平均工资 , 这能代表打工人员当月的收入水平吗 ? (4) 根据以上计算 , 以统计的观点 , 你对 (3) 的结果有什么看法 ? 【 思路导引 】 老板李某的工资特别高 , 给多数人员的平均程度造成偏差 . 【 解析 】 (1) 所有员工 6 月份的平均工资是 ×(30 000+4 500+3 500+ 4 000+3 200+3 200+4 100)=7 500( 元 ). (2) 计算出的平均工资不能反映打工人员当月收入的一般水平 , 可以看出 , 打工 人员的工资都低于平均工资 , 因为这 7 个值中有一个极端值 —— 李某的工资特别 高 , 所以他的工资对平均工资的影响较大 , 同时他也不是打工人员 . (3) 去掉李某工资后的平均工资 ×(4 500+3 500+4 000+3 200+3 200+ 4 100)=3 750( 元 ), 该平均工资能代表打工人员当月收入的一般水平 . (4) 从本题的计算可以看出 , 个别特殊值对平均数有很大的影响 , 因此在选择样本时 , 样本中尽量不用特殊数据 . 【 解题策略 】 众数、中位数、平均数的意义 (1) 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值” , 其中众数和中位数容易计算、不受少数几个极端值的影响 , 但只能表达样本数据中的少量信息 , 平均数代表了数据更多的信息 , 但受样本中每个数据的影响 , 越极端的数据对平均数的影响也越大 . (2) 当一组数据中有不少数据重复出现时 , 其众数往往更能反映问题 , 当一组数据中个别数据较大时 , 可用中位数描述其集中趋势 . 【 跟踪训练 】 某市有甲、乙、丙三家日光灯厂 , 三家广告中都称其产品的使用寿命为 8 年 , 但是他们的产品质量有区别 , 本着调查事实 , 现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中 , 各抽取 8 件产品 , 对其使用寿命进行跟踪调查 , 其结果如下 ( 单位 : 年 ) 甲 :3,4,5,6,8,8,8,10 乙 :4,6,6,6,8,9,12,13 丙 :3,3,4,7,9,10,11,12 根据调查结果 , 你能得到什么启示 ? 【 解析 】 三个厂家是从不同角度进行了说明 , 以宣传自己的产品 . 其中甲 : 众数为 8 年 , 乙 : 平均数为 8 年 , 丙 : 中位数为 8 年 . 类型三　平均数、方差的应用 ( 数据分析、数学建模 ) 【 典例 】 在射击比赛中 , 甲、乙两名运动员分在同一小组 , 统计出他们命中的环 数如表 : 赛后甲、乙两名运动员都说自己是胜者 , 如果你是裁判 , 你将给出怎样的评判 ? 【 思路导引 】 不同的评判标准会产生不同的评判结果 . 甲 9 6 7 6 2 7 7 9 8 9 乙 2 4 6 8 7 8 9 7 9 10 【 解析 】 为了分析的方便 , 先计算两人的统计指标如表所示 . 平均数 方差 中位数 命中 10 环次数 甲 7 4 7 0 乙 7 5.4 7.5 1 (1) 平均环数和方差相结合 , 平均环数高者胜 . 若平均环数相等 , 则再看方差 , 方差小者胜 , 则甲胜 . (2) 平均环数与中位数相结合 , 平均环数高者胜 , 若平均环数相等 , 则再看中位数 , 中位数大者胜 , 则乙胜 . (3) 平均环数与命中 10 环次数相结合 , 平均环数高者胜 . 若平均环数相等 , 则再看命中 10 环次数 , 命中 10 环次数多者胜 , 则乙胜 . 【 解题策略 】 1. 在实际应用中 , 常常把平均数与标准差结合起来进行决策 . 在平均值相等的情况下 , 比较方差或标准差以确定稳定性 , 在平均数相同的情况下 , 方差越大 , 离散程度越大 , 数据波动性越大 , 稳定性越差 ; 方差越小 , 数据越集中、越稳定 . 2. 对实际问题的分析评价 , 不仅要依据单个样本数字特征 , 还要综合考虑样本分布的影响 , 养成从多角度看问题的习惯 . 【 跟踪训练 】 某校甲班、乙班各有 49 名学生 , 两班在一次数学测验中的成绩 ( 满分 100 分 ) 统计 如表 : 请你根据表中数据 , 对这两个班的测验情况进行简要分析 , 并提出教学建议 . 班级 平均分 众数 中位数 标准差 甲班 79 70 87 19.8 乙班 79 70 79 5.2 【 解析 】 甲班学生成绩的中位数为 87 分 , 说明高于或等于 87 分的学生占一半以上 , 而平均分为 79 分 , 标准差很大 , 说明低分也多 , 两极分化严重 , 建议对学习有困难的同学多给一些帮助 ; 乙班学生成绩的中位数是 79, 平均数为 79, 说明平均水平与甲班相同 , 而标准差较小说明乙班分数大多数都集中在 79 分左右 , 高分人数和低分人数都较少 , 建议培养高分学生 , 提高平均水平 . 【 补偿训练 】 从甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株 , 分别测得它们的株高如下 ( 单位 :cm): 甲 :25 　 41 　 40 　 37 　 22 　 14 　 19 　 39 　 21 　 42 乙 :27 　 16 　 44 　 27 　 44 　 16 　 40 　 40 　 16 　 40 问 :(1) 哪种玉米苗长得高 ?(2) 哪种玉米苗长得齐 ? 【 解析 】 (1) 因为 (25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)= ×300=30(cm), 　　　 (27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)= ×310=31(cm), 所以 < , 即乙种玉米苗长得高 . (2) [(25-30) 2 +(41-30) 2 +(40-30) 2 +(37-30) 2 +(22-30) 2 +(14-30) 2 +(19- 30) 2 +(39-30) 2 +(21-30) 2 +(42-30) 2 ] = (25+121+100+49+64+256+121+81+81+144)= ×1 042=104.2, [(27-31) 2 +(16-31) 2 +(44-31) 2 +(27-31) 2 +(44-31) 2 +(16-31) 2 +(40-31) 2 +(40-31) 2 +(16-31) 2 +(40-31) 2 ]= ×1 288=128.8, 所以 < , 即甲种玉米 苗长得齐 . 课堂检测 · 素养达标 1. 某校举行歌咏比赛 , 规定各个评委评分的平均数作为该班节目的实际得分 . 对 于某班的演出 , 评委的评分分别为 :9.70,9.68,9.75,9.72,9.65, 则这个班节目 的实际得分是 ( 　　 ) A.9.66 　　　 B.9.70 　　　 C.9.65 　　　 D.9.67 【 解析 】 选 B. (9.65+9.70+9.68+9.75+9.72)=9.70. 2. 某厂 10 名工人在一小时内生产零件的个数分别是 15,17,14,10,15,17,17, 16,14,12, 设该组数据的平均数为 a, 中位数为 b, 众数为 c, 则有 ( 　　 ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 【 解析 】 选 D. 把数据由小到大排列可得 :10,12,14,14,15,15,16,17,17,17, 故 a=14.7,b=15,c=17, 所以 c>b>a. 3. 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习 , 每人投 10 次 , 投中的次数如表 : 若以上两组数据的方差中较小的一个为 s 2 , 则 s 2 等于 ( 　　 ) A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.2 学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 【 解析 】 选 A. [(6-7) 2 +(7-7) 2 +(7-7) 2 +(8-7) 2 +(7-7) 2 ]= [(6-7) 2 +(7-7) 2 +(6-7) 2 +(7-7) 2 +(9-7) 2 ]= , 两组数据的方差中较小的一个为 , 即 s 2 = 4. 某工厂对一批新产品的长度 ( 单位 :mm) 进行检测 , 如图是检测结果的频率分布直方图 , 据此估计这批产品的中位数为 　　　 .  【 解析 】 设中位数为 x, 则 0.1+0.2+0.08×(x-20)=0.5, 得 x=22.5. 答案 : 22.5 5.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 为竞争奥运会参赛资格 , 甲、乙、丙、丁四人参 加奥运会射击项目选拔赛 , 四人的平均成绩和方差如表 : 则参加奥运会的最佳人选应为 　　　　 .  【 解析 】 由平均数及方差的意义知 , 丙的平均成绩较高且较稳定 . 答案 : 丙 甲 乙 丙 丁 平均数 8.5 8.8 8.8 8 方差 s 2 3.5 3.5 2.1 8.7