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- 2021-06-15 发布
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解决绝对值问题
主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题,基本思路是:把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。具体转化方法有:
①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法:适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法:适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法:适用于有明显几何意义的情况。
因式分解
根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步骤是:
提取公因式
选择用公式
十字相乘法
分组分解法
拆项添项法
配方法
利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法,它是数学中的重要方法和技巧。配方法的主要根据有:
换元法
解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。换元法解方程的一般步骤是:
设元→换元→解元→还元
待定系数法
待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。其
解题步骤是:
①设 ②列 ③解 ④写
复杂代数等式
复杂代数等式型条件的使用技巧:左边化零,右边变形。
①因式分解型:
(-----)(----)=0 两种情况为或型
②配成平方型:
(----)2+(----)2=0 两种情况为且型
数学中两个最伟大的解题思路
(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组
(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组
化简二次根式
基本思路是:把√m 化成完全平方式。即:
观察法
代数式求值
方法有:
(1)直接代入法
(2)化简代入法
(3)适当变形法(和积代入法)
注意:当求值的代数式是字母的“对称式”时,通常可以化为字母“和与积”的形式,从而用“和积代入法”求值。
解含参方程
方程中除过未知数以外,含有的其它字母叫参数,这种方程叫含参方程。解含参方程一般要用‘分类讨论法’,其原则是:
(1)按照类型求解
(2)根据需要讨论
(3)分类写出结论
恒相等成立的有用条件
(1)ax+b=0 对于任意 x 都成立关于 x 的方程 ax+b=0 有无数个解 a=0 且 b=0。
(2)ax2+bx+c=0 对于任意 x 都成立关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有无数解 a=0、b=0、c=0。
恒不等成立的条件
由一元二次不等式解集为 R 的有关结论容易得到下列恒不等成立的条件:
平移规律
图像的平移规律是研究复杂函数的重要方法。平移规律是:
图像法
讨论函数性质的重要方法是图像法——看图像、得性质。
定义域 图像在 X 轴上对应的部分
值 域 图像在 Y 轴上对应的部分
单调性
从左向右看,连续上升的一段在 X 轴上对应的区间是增区间;从左向右看,连续下降的一段在 X 轴上对应的区间是减区间。
最 值 图像最高点处有最大值,图像最低点处有最小值
奇偶性 关于 Y 轴对称是偶函数,关于原点对称是奇函数
函数、方程、不等式间的重要关系
方程的根
函数图像与 x 轴交点横坐标
不等式解集端点
一元二次不等式的解法
一元二次不等式可以用因式分解转化为二元一次不等式组去解,但比较复杂;它的简便的实用解法是根据“三个二次”间的
关系,利用二次函数的图像去解。具体步骤如下:
二次化为正
判别且求根
画出示意图
解集横轴中
一元二次方程根的讨论
一元二次方程根的符号问题或 m 型问题可以利用根的判别式和根与系数的关系来解决,但根的一般问题、特别是区间根的问题
要根据“三个二次”间的关系,利用二次函数的图像来解决。“图像法”解决一元二次方程根的问题的一般思路是:
题意
二次函数图像
不等式组
不等式组包括:a 的符号;△的情况;对称轴的位置;区间端点函数值的符号。
基本函数在区间上的值域
我们学过的一次函数、反比例函数、二次函数等有名称的函数是基本函数。基本函数求值域或最值有两种情况:
(1)定义域没有特别限制时---记忆法或结论法;
(2)定义域有特别限制时---图像截断法,一般思路是:
画出图像
截出一断
得出结论
最值型应用题的解法
应用题中,涉及“一个变量取什么值时另一个变量取得最大值或最小值”的问题是最值型应用题。解决最值型应用题的基本思
路是函数思想法,其解题步骤是:
设变量
列函数
求最值
写结论
穿线法
穿线法是解高次不等式和分式不等式的最好方法。其一般思路是:
首项化正
求根标根
右上起穿
奇穿偶回
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