【数学】2018届一轮复习北师大版专题06导数的几何意义学案 34页

一．命题陷阱 ‎1.在某点处的切线方程 ‎2.过某点的切线方程 ‎3.与切线有关的最值问题 ‎4.导数的物理意义 ‎5.导数与反函数综合 ‎6.导数的几何意义综合 ‎7.分段函数的导数几何意义问题 二．陷阱示例及防范措施 ‎1.在某点处的切线方程 例1. 曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】B 练习1. 已知是定义在上的单调函数，满足，则在处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得为一固定的数，设，则有.‎ 由可得，‎ 当时，有,‎ 解得.‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ ‎∴，‎ 又。‎ ‎∴曲线在处的切线方程为,即。选A。‎ ‎【防陷阱措施】：本题的求解中，将为一固定的数成了解题的关键所在，然后在此基础上，再进行代换求值，直到求出为止，从而得到，最后根据导数的几何意义可得切线方程。学 ‎ 练习2. 函数的图像在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】A 练习3. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对函数，求导可得，∵在点处的切线方程为，∴，∴，∴在点处切线斜率为4，故选C.学 ‎ 练习4. 如右图，直线与曲线交于两点，其中是切点，记，则下列判断正确的是 （ ）‎ A. 只有一个极值点 B. 有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C. 的极小值点小于极大值点，且极小值为-2‎ D. 的极小值点大于极大值点，且极大值为2‎ ‎【答案】D ‎∴当时有极大值，且极大值为。‎ 同理有极小值。结合图形可得的极小值点大于极大值点。‎ 选D。‎ 练习5. 已知函数是定义在的可导函数， 为其导函数，当且 时， ，若曲线在处的切线的斜率为，则 （ ）‎ A. 0 B. 1 C. D. [ ‎ ‎【答案】C 可得：函数在处取得极值， ‎ ‎ ． 故答案为学 ‎ ‎2.过某点的切线方程 例2. 过点与曲线相切的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设切点为(),,所以切线方程为:,代入,得,即这个关于的方程有两个解.化简方程为 ‎,即,令(),,,在上单调递增,在上单调递减,,g(1)=0,所以,所以.选B.‎ ‎【防陷阱措施】对于曲线切点问题,一定要看清楚是在那个点,还是过那个点,如果不知道切点,需要自己设切点.通过求导求出切线方程,再代入过的那一定点.‎ 练习1.过点A(2,1)作曲线的切线最多有(　　)‎ A. 3条 B. 2条 C. 1条 D. 0条 ‎【答案】A ‎3.与切线有关的最值问题 例3. 对任意的，总有，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】原问题即在区间上恒成立，考查临界情况，即函数与相切时的情形，学 ‎ 很明显切点横坐标位于区间内，此时， ，‎ 由可得： ，‎ 则切点坐标为： ，‎ 切线方程为： ，‎ 令可得纵截距为： ，‎ 结合如图所示的函数图象可得则的取值范围是.‎ ‎【防陷阱措施】本题考查临界条件的应用，在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．‎ 练习1. 直线分别与曲线，与交于点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 练习2. 已知函数 若对于任意两个不相等的实数，不等式恒成立，则函数的值域是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得：‎ ‎ ‎ ‎ 练习3. 已知函数，在区间内任取两个数，且 ‎，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，‎ 对任意恒成立，‎ 对任意恒成立，即，‎ 时， ，‎ ‎，选C 点睛：本题首先考察导数定义：任取（定义域），则，之后考察含参数不等式的解法，我们一般采取分参法转化为恒成立问题，比较方便。导数题型一般为函数的综合题型，需要对相关函数方法都能掌握。学 ‎ 练习4. 已知定义在上的函数，满足，且当时，若函数在上有唯一的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎, 时， ， 时， ， ， 零点，就是与的交点，画出两函数图象，如图，由图知， 过原点与相切的直线斜率为，所有直线与曲线有一个交点的的范围是，故选D.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式以及函数与方程思想、数形结合思想，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎4.导数的物理意义 例4. 物体运动时位移与时间的函数关系是，此物体在某一时刻的速度为0，则相应的时刻为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，选C.‎ ‎5.导数与反函数综合 例5. 函数与的图象关于直线对称，分别是函数图象上的动点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【防陷阱措施】‎ ‎(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.‎ 练习1. 已知为曲线（且）上的两点，分别过作曲线的切线交轴于两点，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设切点作标为，若，则，不合题意，若，不合题意，只有，因为，所以此时， 方程: ，令， ， ， 方程，令， ， ，故选B.‎ 练习2. ．已知曲线恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设直线为它们的公切线，联立可得①‎ 求导可得，令可得，所以切点坐标为，代入可得②.联立①②可得，化简得。令，‎ ‎， ‎ 在内单调递增，在内单调递减， 。‎ 有两条公切线， 方程有两解， ‎ ‎，所以答案为D 练习3. 已知函数分别为图象上任一点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，解得，所以，‎ 练习4.曲线上的点到直线的最短距离是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵曲线y=ln(2x−1)，‎ ‎∴y′=,分析知直线2x−y+8=0与曲线y=ln(2x−1)相切的点到直线2x−y+8=0的距离最短 y′═=2,解得x=1,把x=1代入y=ln(2x−1)，‎ ‎∴y=0,∴点(1,0)到直线2x−y+8=0的距离最短，‎ ‎∴d==，‎ 故答案为： .‎ 练习5. 若函数与函数有两个公切线，则实数取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设公切线在若函数与函数的切点为  则由,  得 ，化简得有两个不同的正根， 令，则,解得： ，当时， ；当 时， ，因此 ，从而，解得：  ，故答案为： .‎ ‎6.导数的几何意义综合 例6. 若实数满足，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎∴。‎ 将看成，即曲线。‎ 将看成，即直线。‎ 表示曲线上的点与直线上的点间的距离的平方。‎ 作与直线平行的曲线的切线，‎ 由，得，‎ 令，得，‎ 解得或（舍去）。‎ 所以切点为。‎ 故点到直线的距离为。‎ 故曲线上的点到直线的最小距离为。‎ ‎∴的最小值为5。 选C。‎ ‎【防陷阱措施】本题若直接求解则感到无从下手，故从所求式子的几何意义出发，将问题转化为曲线与直线上两点间的距离 处理。然后借助于导数的几何意义，转化成直线与其平行的曲线的切线间的距离问题处理，这样使得问题的解决变得直观、简单。‎ 练习1设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,可得,由(1)得,解得或 (舍去),代入(2)得, ，构造，则在上单调递减，在上单调递增，即的最小值为，所以的最大值为，故选A.‎ 练习2. 已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】的导数的导数为，设与曲线相切的切点为 相切的切点为，则有公共切线斜率为，又，即有，即为，即有，则有，即为，恰好存在两条公切线，即有两解，‎ ‎ 令，则，当时，递减，当时，递增，即有处取得极大值，也为最大值，且为，由恰好存在两条公切线可得与 有两个交点，结合函数的图象与单调性可得的范围是，故选D.‎ 练习3. 已知a，b，c∈R，且满足，如果存在两条相互垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则的取值范围是 A. [-2,2] B. [-] C. [] D. []‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，故可设。‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴且异号。‎ ‎∵存在两条相互垂直的直线与函数f（x）的图象都相切，‎ ‎∴存在，使得。‎ 只需，即，‎ ‎∴，∴。‎ ‎∴，其中 ‎。‎ ‎∴。选B。‎ 练习4. 设曲线 (∈N )在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为，则的值为 (　　).‎ A. B. －1 C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，则 ，切线的斜率为 ‎ ‎∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，‎ 令y＝0，得，所以 ‎ ‎ ‎ 本题选择B选项.‎ 练习5. 已知函数，直线过原点且与曲线相切，其切点的横坐标从小到大依次排列为，则下列说法正确的是（ ）‎ A. B. 数列为等差数列 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】易得，故A错误，设切点为， ，则切线的斜率为，又切线过原点， 则，整理得，即① ，故B,C错误，‎ 因为，‎ 由①得，‎ 即，整理得，‎ 故选D ‎7.分段函数的导数几何意义问题 例7. 设直线分别是函数图象上点处的切线， 与垂直相交于点，且分别与轴相交于点，则的面积的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设， （），当时， ，当时， ，∴的斜率， 的斜率，∵与垂直，且，∴，即，直线， ，取分别得到， ， ，联立两直线方程可得交点的横坐标为，∴，∵函数在（）上为减函数，且，∴，则，∴，∴的面积的取值范围是，故选A.‎ 练习1. 已知函数，若曲线在点，（ ，其中互不相等）处的切线互相平行，则 的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数， 曲线在点,其中互不相等）处的切线互相平行，即在点处的值相等，画出导函数的图象，如图， 当时， ， 当时， 必须满足， ，故答案为.‎ 练习2. 对于任意实数，定义.定义在上的偶函数满足，且当时， ，若方程恰有两个根，则的取值范围是为_________ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意可得，又，故函数是周期为4的函数。画出函数的图象如图所示。‎ 令，则方程恰有两个根等价于函数和函数的图象恰有两个公共点。‎ ‎①当直线经过原点和点A,A1时，图象有两个公共点，满足条件，此时或。此时的取值为。[ :学 ]‎ ‎②当直线在y轴右侧与的图象相切时，可得，又当直线经过点B时， ，两图象有3个公共点，不和题意，此时的取值范围为。根据为偶函数得，当直线在y轴左侧与的图象有2个公共点时， 的取值范围为。‎ 综上，实数的取值范围为。‎ 答案： 。‎ 三．高考真题演练 ‎1. 【2016高考山东理数】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.‎ 当时，，有，所以在函数图象存在两点使条件成立，故A正确；函数 的导数值均非负，不符合题意，故选A.‎ ‎2. 【2016年高考四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )‎ ‎（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即.分别令得又与的交点为，，，．故选A．‎ ‎3.【2016高考新课标3理数】已知为偶函数，当时，，则曲线 在点处的切线方程是_______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．‎ ‎4.【2014广东理10】曲线在点处的切线方程为 .‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】，所求切线的斜率为，‎ 故所求切线的方程为，即或.‎ ‎5.【2014江苏理11】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．‎ ‎6.【2017山东，理20】已知函数，，其中是自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ）综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 函数有极小值，极小值是；‎ 当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，‎ 极大值是 极小值是；‎ 当时，函数在上单调递增，无极值；‎ 当时，函数在和上单调递增，‎ 在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， ‎ 极大值是；‎ 极小值是.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意 又，‎ 所以，‎ 因此 曲线在点处的切线方程为 ‎，‎ 即 .‎ ‎（Ⅱ）由题意得 ，‎ 因为 ‎，‎ 令则所以在上单调递增.因为 所以 当时，当时，‎ ‎(1)当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，‎ 所以 当时取得极小值，极小值是 ；‎ ‎(2)当时，由 得 ，‎ ‎①当时，，当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ 所以 当时取得极大值.‎ 极大值为，‎ 当时取到极小值，极小值是 ；‎ ‎②当时，，‎ 所以 当时，，函数在上单调递增，无极值；‎ ‎③当时，‎ 所以 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 所以 当时取得极大值，极大值是；‎ 当时取得极小值.‎ 极小值是.‎ 综上所述：‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 函数有极小值，极小值是；‎ 当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，‎ 极大值是 极小值是；‎ 当时，函数在上单调递增，无极值；‎ 当时，函数在和上单调递增，‎ 在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， ‎ 极大值是；‎ 极小值是.‎ ‎7.【2017北京，理19】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求斜率再代入切线方程公式；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调减求函数的最大值，可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，根据单调性求最值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，所以.‎ 又因为，所以曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，则.‎ 当时，，‎ 所以在区间上单调递减.‎ 所以对任意有，即.‎ 所以函数在区间上单调递减.‎ 因此在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎8.【2016年高考北京理数】（本小题13分）‎ 设函数，曲线在点处的切线方程为，‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意求出，根据，，求，的值；‎ ‎（2）由题意知判断，即判断的单调性，知，即，由此求得的单调区间.‎ 试题解析：（1）因为，所以.‎ 依题设，即 解得；（2）由（Ⅰ）知.‎ 由即知，与同号.‎ 令，则.‎ 所以，当时，，在区间上单调递减；‎ 当时，，在区间上单调递增.‎ 故是在区间上的最小值，‎ 从而.‎ 综上可知，，，故的单调递增区间为.‎ ‎9. 【2014福建,理20】（本小题满分14分）‎ 已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处 的切线斜率为-1.‎ ‎（I）求的值及函数的极值；‎ ‎（II）证明：当时，；‎ ‎（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.‎ ‎【答案】（I）,极值参考解析;（II）参考解析;（III）参考解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（I）由函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处 的切线斜率为-1.所以求函数的导数,即可求出的值.再根据函数的导数地正负,即可得函数的极值.‎ ‎（II）当时，恒成立,等价转换为函数的最值问题.令,通过求函数的导数求出最值即可得到结论.‎ ‎（III）对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.由（II）得到函数的单调性当时,即可找到符合题意.当时.通过等价转化,等价于不等式恒成立问题,再对通过估算得到的值.即可得到结论.‎ 试题解析：解法一:（I）由，得.又,得.所以.令,得.当时, 单调递减;当时, 单调递增.所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值.‎ ‎（II）令,则.由（I）得,故在R上单调递增,又,因此,当时, ,即.‎ ‎（III）①若,则.又由（II）知，当时, .所以当时, .取,当时，恒有.‎ ‎②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时, 在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知 ‎.所以.即存在,当时，恒有.‎ 综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.‎ 解法二: （I）同解法一.‎ ‎（II）同解法一.‎ ‎（III）对任意给定的正数,取由（II）知,当时, ,所以当时, ,因此,对任意给定的正数,总存在,当时,恒有.‎ 解法三: （I）同解法一.‎ ‎（II）同解法一.‎ ‎（III）首先证明当时,恒有.证明如下:令则.由（II）知,当时, .从而在单调递减,所以即.取,当时,有.因此,对任意给定的正数,总存在,当时,恒有.‎ 注:对c的分类不同有不同的方式，只要解法正确，均相应给分.‎ ‎10.【2014高考重庆理第20题】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问3分，（Ⅲ）小问5分）‎ 已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.‎ ‎（Ⅰ）确定的值； ‎ ‎（Ⅱ）若，判断的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若有极值，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）增函数；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由 因为是偶函数，所以，又曲线在点处的切线的斜率为，所以有，利用以上两条件列方程组可解的值；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），，当时，利用的符号判断的单调性；‎ ‎（Ⅲ）要使函数有极值，必须有零点，由于，所以可以对的取值分类讨论，得到时满足条件的的取值范围.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）对求导得，由为偶函数，知，‎ 即，因，所以 又，故.‎ ‎（Ⅱ）当时，，那么 故在上为增函数.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，而，当时等号成立.‎ 下面分三种情况进行讨论.‎ 当时，对任意，此时无极值；‎ 当时，对任意，此时无极值；‎ 当时，令，注意到方程有两根，‎ 即有两个根或.‎ 当时，；又当时，从而在处取得极小值.‎ 综上，若有极值，则的取值范围为.‎ ‎11.【2015北京理18】（本小题13分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，；‎ ‎（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）的最大值为2.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：利用导数的几何意义，求出函数在处的函数值及导数值，再用直线方程的点斜式写出直线方程；第二步要证明不等式在成立，可用作差法构造函数，利用导数研究函数在区间（0，1）上的单调性，由于，在（0，1）上为增函数，则，问题得证；第三步与第二步方法类似，构造函数研究函数单调性，但需要对参数作讨论，首先符合题意，其次当时，不满足题意舍去，得出的最大值为2.‎ 试题解析：（Ⅰ），曲线在点处的切线方程为；‎ ‎（Ⅱ）当时，，即不等式，对成立，设，则，当时，，故在（0，1）上为增函数，则 ‎，因此对，成立；‎ ‎（Ⅲ）使成立，，等价于，；，‎ 当时，，函数在（0，1）上位增函数，，符合题意；‎ 当时，令，‎ ‎[ :学 ]‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 ‎，显然不成立，‎ 综上所述可知：的最大值为2.‎ ‎12.【2015课标1理21】（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）=.‎ ‎(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；‎ ‎（Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.‎ 试题解析：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，‎ ‎，即，解得.‎ 因此，当时，轴是曲线的切线. ……5分 ‎（Ⅱ）当时，，从而，‎ ‎ ∴在（1，+∞）无零点.‎ ‎ 当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.‎ 当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.‎ ‎(ⅰ)若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.‎ ‎ (ⅱ)若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.‎ ‎①若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.‎ ‎②若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；‎ ‎③若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.…10分 综上，当或时，由一个零点；当或时，‎ 有两个零点；当时，有三个零点. ……12分 ‎13.【2015天津理20】（本小题满分14分）已知函数，其中.‎ ‎(I)讨论的单调性；‎ ‎(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；‎ ‎(III)若关于的方程有两个正实根，求证： ‎ ‎【答案】(I) 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.‎ ‎【解析】(I)由，可得，其中且，‎ 下面分两种情况讨论：‎ ‎（1）当为奇数时：‎ 令，解得或，‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 所以，在，上单调递减，在内单调递增.‎ ‎(2)当为偶数时，‎ 当，即时，函数单调递增；‎ 当，即时，函数单调递减.‎ 所以，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎(II)证明：设点的坐标为，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则 由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有.‎ ‎(III)证明：不妨设，由(II)知，设方程的根为，可得 ‎，当时，在上单调递减，又由(II)知可得.‎ 类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，‎ ‎，即对任意，‎ 设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此.‎ 由此可得.‎ 因为，所以，故，‎ 所以.‎