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- 2021-06-15 发布
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南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试
数学参考答案及评分标准 2013.05
说明:
1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,填空题不给中间分数.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.(1,3] 2.5 3.8 4. 5.
6. 7.2 8.①④ 9. 10.2
11.2 12.2x+y-2=0 13.(12,17) 14.
二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解(1)方法一:
因为tanα=2,所以=2,即sinα=2cosα. ………………………… 2分
又sin2α+cos2α=1,解得sin2α=,cos2α=. ………………………… 4分
所以cos2α=cos2α-sin2α=-. ………………………… 6分
方法二:
因为cos2α=cos2α-sin2α ………………………… 2分
= =, ………………………… 4分
又tanα=2,所以cos2α==-. ………………………… 6分
(2)方法一:
因为α(0,π),且tanα=2,所以α(0,).
又cos2α=-<0,故2α(,π) ,sin2α=. ………………………… 8分
由cosβ=-,β(0,π),得sinβ=,β(,π). ………………………… 10分
所以sin(2α-β)=sin2αcosβ-cos2αsinβ=×(-)-(-)×=-. ………… 12分
又2α-β(-,),所以2α-β=-. ………………………… 14分
方法二:
因为α(0,π),且tanα=2,所以α(0,),tan2α==-.
从而2α(,π). ………………………… 8分
由cosβ=-,β(0,π),得sinβ=,β(,π),
因此tanβ=-. ………………………… 10分
所以tan(2α-β)===-1. ………………………… 12分
又2α-β(-,),所以2α-β=-. ………………………… 14分
(第16题)
A
B
C
D
E
C1
A1
B1
F
G
16.证明(1)如图,取BC的中点G,连结AG,FG.
因为F为C1B的中点,所以FGC1C.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1AC1C,且E为A1A的中点,
所以FGEA.
所以四边形AEFG是平行四边形.
所以EF∥AG. ………………………… 4分
因为EFË平面ABC,AGÌ平面ABC,
所以EF∥平面ABC. ………………………… 6分
(2)因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,BDÌ平面ABC,
所以A1A⊥BD.
因为D为AC的中点,BA=BC,所以BD⊥AC.
因为A1A∩AC=A,A1AÌ平面A1ACC1,ACÌ平面A1ACC1,所以BD⊥平面A1ACC1.
因为C1EÌ平面A1ACC1,所以BD⊥C1E. ………………………… 9分
根据题意,可得EB=C1E=AB,C1B=AB,
所以EB+C1E=C1B2.从而∠C1EB=90°,即C1E⊥EB.……………………… 12分
因为BD∩EB=B,BD Ì平面BDE, EBÌ平面BDE,
所以C1E⊥平面BDE. ………………………… 14分
17.解(1)由题意知,f(x)=-2x+3+lnx,
所以f′(x)=-2+= (x>0). ……………………… 2分
由f′(x)>0得x∈(0,) .
所以函数f(x)的单调增区间为(0,). ……………………… 4分
(2)由f′(x)=mx-m-2+,得f′(1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y=-x+2.…………………… 6分
由题意得,关于x的方程f(x)=-x+2有且只有一个解,
即关于x的方程m(x-1)2-x+1+lnx=0有且只有一个解.
令g(x)=m(x-1)2-x+1+lnx(x>0).
则g′(x)=m(x-1)-1+==(x>0). …………… 8分
①当0<m<1时,由g′(x)>0得0<x<1或x>,由g′(x)<0得1<x<,
所以函数g(x)在(0,1)为增函数,在(1,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数.
又g(1)=0,且当x→∞时,g(x)→∞,此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点.
故0<m<1不合题意. ……………………… 10分
②当m=1时,g′(x)≥0,g(x)在(0,+∞)上为增函数,且g(1)=0,故m=1符合题意.
③当m>1时,由g′(x)>0得0<x<或x>1,由g′(x)<0得<x<1,
所以函数g(x)在(0,) 为增函数,在(,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.
又g(1)=0,且当x→0时,g(x)→-∞,此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点.
故m>1不合题意.
综上,实数m的值为m=1. ……………………… 14分
18.解 如图所示,不妨设纸片为长方形ABCD,AB=8cm,AD=6cm,其中点A在面积为S1的部分内.
折痕有下列三种情形:
①折痕的端点M,N分别在边AB,AD上;
②折痕的端点M,N分别在边AB,CD上;
A
B
C
D
(情形②)
M
N
A
B
C
D
(情形③)
M
N
A
B
C
D
(情形①)
M
N
③折痕的端点M,N分别在边AD,BC上.
(1)在情形②、③中MN≥6,故当l=4时,折痕必定是情形①.
设AM=xcm,AN=ycm,则x2+y2=16. ……………………… 2分
因为x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时取等号,
所以S1=xy≤4,当且仅当x=y=2时取等号.
即S1的最大值为4. ……………………… 5分
(2)由题意知,长方形的面积为S=6×8=48.
因为S1∶S2=1∶2,S1≤S2,所以S1=16,S2=32.
当折痕是情形①时,设AM=xcm,AN=ycm,则xy=16,即y=.
由得≤x≤8.
所以l==,≤x≤8. ……………………… 8分
设f(x)=x2+,x>0,则f ′(x)=2x-=,x>0.故
x
(,4)
4
(4,8)
8
f ′(x)
-
0
+
f(x)
64
↘
64
↗
80
所以f(x)的取值范围为[64,80],从而l的范围是[8,4]; ……………… 11分
当折痕是情形②时,设AM=xcm,DN=ycm,则(x+y)×6=16,即y=-x.
由得0≤x≤.
所以l==,0≤x≤.
所以l的范围为[6,]; ……………………… 13分
当折痕是情形③时,设BN=xcm,AM=ycm,则(x+y)×8=16,即y=4-x.
由得0≤x≤4.
所以l==,0≤x≤4.
所以l的取值范围为[8,4].
综上,l的取值范围为[6,4]. ……………………… 16分
19.解(1)由题意得,m>8-m>0,解得4<m<8.
即实数m的取值范围是(4,8). ……………………… 2分
(2)因为m=6,所以椭圆C的方程为+=1.
①设点P坐标为(x,y),则+=1.
因为点M的坐标为(1,0),所以
PM2=(x-1)2+y2=x2-2x+1+2-=-2x+3
=(x-)2+,x∈[-,]. ……………………… 4分
所以当x=时,PM的最小值为,此时对应的点P坐标为(,±).
……………………… 6分
②由a2=6,b2=2,得c2=4,即c=2,
从而椭圆C的右焦点F的坐标为(2,0),右准线方程为x=3,离心率e=.
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点H(x0,y0),则
+=1,+=1,
所以+=0,即kAB==-. ……………………… 9分
令k=kAB,则线段AB的垂直平分线l的方程为y-y0=-(x-x0).
令y=0,则xN=ky0+x0=x0.
因为F(2,0),所以FN=|xN-2|=|x0-3|. ……………………… 12分
因为AB=AF+BF=e(3-x1)+e(3-x2)=|x0-3|.
故=×=.
即为定值. ……………………… 16分
20.解(1)设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+d,从而=a1+d.
所以当n≥2时,-=(a1+d)-(a1+d)=.
即数列{}是等差数列. ……………………… 2分
(2)因为对任意正整数n,k(n>k),都有+=2成立,
所以+=2,即数列{}是等差数列. ……………………… 4分
设数列{}的公差为d1,则=+(n-1)d1=1+(n-1)d1,
所以Sn=[1+(n-1)d1]2,所以当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=[1+(n-1)d1]2-[1+(n-2)d1]2=2dn-3d+2d1,
因为{an}是等差数列,所以a2-a1=a3-a2,即
(4d-3d+2d1)-1=(6d-3d+2d1)-(4d-3d+2d1),
所以d1=1,即an=2n-1.
又当an=2n-1时,Sn=n2,+=2对任意正整数n,k(n>k)都成立,
因此an=2n-1. ……………………… 7分
(3)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d,bn=a,
所以=a-=ad,
即数列{bn}是公比大于0,首项大于0的等比数列. ……………………… 9分
记公比为q(q>0).
以下证明:b1+bn≥bp+bk,其中p,k为正整数,且p+k=1+n.
因为(b1+bn)-(bp+bk)=b1+b1qn-1-b1qp-1-b1qk-1=b1(qp-1-1)( qk-1-1).
当q>1时,因为y=qx为增函数,p-1≥0,k-1≥0,
所以qp-1-1≥0,qk-1-1≥0,所以b1+bn≥bp+bk.
当q=1时,b1+bn=bp+bk.
当0<q<1时,因为y=qx为减函数,p-1≥0,k-1≥0,
所以qp-1-1≤0,qk-1-1≤0,所以b1+bn≥bp+bk.
综上,b1+bn≥bp+bk,其中p,k为正整数,且p+k=1+n.………………… 14分
所以n(b1+bn)=(b1+bn)+(b1+bn)+…+(b1+bn)
≥(b1+bn)+(b2+bn-1)+(b3+bn-2)+…+(bn+b1)
=(b1+b2+…+bn)+(bn+bn-1+…+b1),
即≤. …………………… 16分
南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准 2013.05
21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.
A
B
P
O
C
(第21题A)
D
E
A.选修4—1:几何证明选讲
证明 如图,延长PO交⊙O于D,连结AO,BO.AB交OP于点E.
因为PA与⊙O 相切,
所以PA2=PC·PD.
设⊙O的半径为R,因为PA=12,PC=6,
所以122=6(2R+6),解得R=9. …………………… 4分
因为PA,PB与⊙O均相切,所以PA=PB.
又OA=OB,所以OP是线段AB的垂直平分线. …………………… 7分
即AB⊥OP,且AB=2AE.
在Rt△OAP中,AE==.
所以AB=. …………………… 10分
B.选修4—2:矩阵与变换
解 (1)由题知, =,即
解得 …………………… 4分
(2)设P' (x,y)是曲线C'上任意一点,P' 由曲线C上的点P (x0,y0) 经矩阵M所表示的变换得到,
所以 = ,即解得 …………………… 7分
因为x0y0=1,所以·=1,即-=1.
即曲线C' 的方程为-=1. …………………… 10分
C.选修4—4:坐标系与参数方程
解 以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,
则圆C的直角坐标方程为(x-)2+(y-1)2=4,
点M的直角坐标为(3,3). …………………… 3分
当直线l的斜率不存在时,不合题意.
设直线l的方程为y-3=k(x-3),
由圆心C(,1)到直线l的距离等于半径2.
故=2. …………………… 6分
解得k=0或k=.
所以所求的直线l的直角坐标方程为y=3或x-y-6=0. ………………… 8分
所以所求直线l的极坐标方程为ρsinθ=3或ρsin(-θ)=3. …………………… 10分
D.选修4—5:不等式选讲
解 原不等式等价于 或 …………………… 5分
解得或
即4≤x<2+或3<x<4或x<1.
综上,原不等式的解集为{x| x<1或3<x<2+}. …………………… 10分
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共20分.
A
BB
CB
EB
DB
PB
(第22题)
y
x
z
F
22.解(1)如图,取AC的中点F,连接BF,则BF⊥AC.以A为坐标原点,过A且与FB平行的直线为x轴,AC为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系.
则A(0,0,0),B(,1,0),
C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),
从而=(,1,-2), =(0,1,1).
设直线AE与PB所成角为θ,
则cosθ=||=.
即直线AE与PB所成角的余弦值为 . …………………… 4分
(2)设PA的长为a,则P(0,0,a),从而=(,1,-a),=(0,2,-a).
设平面PBC的法向量为n1=(x,y,z),则n1·=0,n1·=0,
所以x+y-az=0,2y-az=0.
令z=2,则y=a,x=a.
所以n1=(a,a,2)是平面PBC的一个法向量.
因为D,E分别为PB,PC中点,所以D(,,),E(0,1,),
则=(,,),=(0,1,).
设平面ADE的法向量为n2=(x,y,z),则n2·=0,n2·=0.
所以x+y+z=0,y+z=0.
令z=2,则y=-a,x=-a.
所以n2=(-a,-a,2)是平面ADE的一个法向量. …………………… 8分
因为面ADE⊥面PBC,
所以n1⊥n2,即n1·n2=(a,a,2)·(- a,-a,2)=-a2-a2+4=0,
解得a=,即PA的长为. …………………… 10分
23.解(1)p1=,
p2=×+×(1-)=. …………………… 2分
(2)因为移了n次后棋子落在上底面顶点的概率为pn,故落在下底面顶点的概率为1-pn.
于是移了n+1次后棋子落在上底面顶点的概率为pn+1=pn+(1-pn)=pn+.
…………………… 4分
从而pn+1-=(pn-).
所以数列{pn-}是等比数列,其首项为,公比为.
所以pn-=×()n-1.即pn=+×. …………………… 6分
用数学归纳法证明:
①当n=1时,左式==,右式=,因为>,所以不等式成立.
当n=2时,左式=+=,右式=,因为>,所以不等式成立.
②假设n=k(k≥2)时,不等式成立,即>.
则n=k+1时,左式=+>+=+.
要证+≥,
只要证≥-.
只要证≥.
只要证≤.
只要证3k+1≥2k2+6k+2.
因为k≥2,
所以3k+1=3(1+2)k≥3(1+2k+4C)=6k2+3=2k2+6k+2+2k(2k-3)+1>2k2+6k+2,
所以+≥.
即n=k+1时,不等式也成立.
由①②可知,不等式>对任意的n∈N*都成立. ……………………10分