- 715.24 KB
- 2021-06-15 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
8 月月考数学第 1 页 共 2 页
龙泉中学 2021 届高三年级 8 月月考
数 学 试 题
命题人:崔冬林 审题人:李光益 张建军
本试卷共 2 页,共 22 题。满分150分,考试用时120分钟。
注意事项:1. . .
2. 2B
.
3. .
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.若全集 1,2,3,4,5,6 , 1,3,4 , 2,3,4U M N ,则集合 UC M N 等于
A.{5,6} B.{1,5,6} C.{2,5,6} D.{12 5 6},,,
2.已知命题 p, xR , 1 2x
xe e,则命题 p 的否定为
A. xR , B. , 1 2x
xe e
C. , 1 2x
xe e D. ,
3.下列函数中,既是偶函数,又在 0, 上单调递增的是
A. ln 1yx B. 1yxx C. cos xy x D. 2y x x
4.已知
0.3
0.3
1
2
1 , log 0.3, 0.32a b c
,则 ,,abc的大小关系是
A. abc B. c a b C. a c b D.b c a
5.已知 : 1 2px, : 2 3qx,则 p 是 q 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.函数
1
sin3)( 2
x
xxxf 在 ,- 的图象大致为
7.
81
2xx
的展开式中 5x 的系数为
A. 7 B. 35
8 C. 35
8 D.7
8.已知函数 f(x)的定义域为 R,且 1 , 0 2f x f x f ,则不等式 ( ) 1 3 xf x e
的解集为
A.(1, ) B.( ,1) C.(0, ) D.( ,0)
二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.
9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车
在不同速度下的燃油效率情况,下列叙述中错误..的是
A.消耗 1 升汽油乙车最多可行驶 5 千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油
D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
10.若正实数 a,b 满足 2ab,则下列说法正确的是
A.ab 有最大值 1 B. ab有最小值 2
C. 11
ab 有最小值 2 D. 22ab 有最大值 2
11.在平面直角坐标系 xOy 中,点 4,4M 在抛物线 2 20y px p上,抛物线的焦点为 F ,
延长 MF 与抛物线相交于点 N ,则下列结论正确的是
A.抛物线的准线方程为 2x B. 17
4MN
C.点 的坐标为 1 ,14
D. OMN 的面积为 5
2
12.已知函数 sin cos cos sinf x x x,其中 x 表示不超过实数 x 的最大整数,下列关于
fx结论正确的是
A. cos12f
B. 的一个周期是2
C. 在 0, 上单调递减 D. 的最大值大于 2
三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.曲线 ( ) cosf x x x x 在点 ))0(,0( f 处的切线方程为_____________.
8 月月考数学第 2 页 共 2 页
14.已知函数 ,0()
( ), 0
xa b xfx
g x x
是奇函数,且 4(log 2) 1f ,则 ( 2)g .
15.《史记·卷六十五·孙子吴起列传第五》中记载了“田忌赛马”的故事.齐王有上等、中等、
下等马各一匹;田忌也有上等、中等、下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于
齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王
的下等马.现规定从双方的马匹中随机各选取一匹进行一场比赛,有优势的马一定会获胜,则在
一场比赛中齐王获胜的概率为_________.
16.过点
2
( ,0)cA a
作双曲线
22
22: 1 0, 0,xyC a b cab 为半焦距 的一条渐近线的垂线,垂足为 P ,
点 Q 在双曲线C 上,且 3AQ QP ,则双曲线C 的离心率是________.
四、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10 分)
给出以下两个条件:
①数列 na 是首项为 2,满足 1 42nnSS ;
②数列 是首项为 2,满足 132nnSa.
请从这两个条件中任选一个将下面的题目补充完整,并求解.
设数列 的前 n 项和为 nS , na 与 满足______,记数列 ,nnbc满足
2 1 2 2 2log log lognnb a a a ,
2
1
n
nn
nnc bb ,求数列{ nc }的前 n 项和 nT .
(注:如选择两个条件分别解答,按第一个解答计分)
18.(本小题满分 12 分)
已知 ABC 的内角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc,若 2 1cos 2 2 2
Ab
c .
(Ⅰ)求角 C;
(Ⅱ)BM 平分角 B 交 AC 于点 M,且 1, 6BM c,求 cos ABM .
19.(本小题满分 12 分)
如图,已知平面 BCE 平面 ABC ,直线 DA 平面 ,且 DA AB AC.
(Ⅰ)求证: //DA 平面 EBC ;
(Ⅱ)若 3BAC , DE 平面 BCE ,求二面角
A BD E的余弦值.
20.(本小题满分 12 分)
李明选择自主创业,在网上开了一家水果网店.在 2020 年双十一期间,为了增加水果销量,设计
了下面两种促销方案:
方案一:购买金额每满 120 元,即可抽奖一次,中奖可获得 20 元,每次中奖的概率为 p(01p),
假设每次抽奖相互独立.
方案二:购买金额不低于 180 元时,即可优惠 x 元,并在优惠后的基础上打九折.
(Ⅰ)在促销方案一中,设每 10 个抽奖人次中恰有 6 人次中奖的概率为 fp,求 fp的最大
值点 0p ;
(Ⅱ)若促销方案二中,李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的八折,求 x 的最大值;
(III)以(Ⅰ)中确定的 0p 作为 的值,且当 x 取(Ⅱ)中的最大值时,若某位顾客一次性购买
了 360 元,则该顾客应选择哪种促销方案?请说明理由.
21.(本小题满分 12 分)
已知圆 22:2O x y,点 P 为椭圆
22
:142
xyC 上一点,A,B 分别是椭圆 C 的左右顶点.
(Ⅰ)若过 P 点的直线与圆 O 切于点 Q(Q 位于第一象限),求使得 OPQ 面积最大值时的
直线 PQ 的方程;
(Ⅱ)若直线 AP,BP 与 y 轴的交点分别为 E,F,以 EF 为直径的圆与圆 O 交于点 M,求证:
直线 PM 平行于 x 轴.
22.(本小题满分 12 分)
已知函数 ln 1
ax a Rxfx
.
(Ⅰ)求函数 fx的单调区间;
(Ⅱ)是否存在 aR ,使得不等式 14
af x x恒成立?若存在,求出 a 的取值集合;
若不存在,请说明理由.
8 月月考数学第 3 页 共 2 页
龙泉中学 2021 届高三年级 8 月月考数学试题参考答案
一、单项选择题: 1-4 DBDB 5-8 BCDC
一、多项选择题:9 ABC 10 AC 11 CD 12 ABD
三、填空题 13. 2yx 14. 15 15. 2
3 16. 2
四.解答题
17.解:选①,由已知 1 42nnSS (1),
当 2n 时, 142nnSS(2),
(1)-(2)得: 1144n n n na S S a ,即 1 4nnaa ,……………………………………..3 分
当 1n 时, 2142SS,由 1 2a ,所以 22 4 2 2a ,
所以 2 8a ,满足 214aa ,
故 na 是以 2 为首项 4 为公比的等比数列,所以 212 n
na .…………………………………….6 分
2 1 2 2 2 2 1 2log log log logn n nb a a a a a a 21 3 (2 1)nn ,
2
22
1
( 1) 1 1 1
( 1) ( 1) 1n
nn
n n n nc b b n n n n n n
,……………………………………………….8 分
所以 11
1 1 1 1 11 2 2 3 1nnT c c c nn
11 11
n
nn
.………10 分
选②,由已知 132nnSa(1),
则 时, 132nnSa (2),
(1)-(2)得 13 n n na a a,即 ,…………………………………………………..3 分
当 时, 1232aa,而 ,得 ,满足 ,
故 是以 2 为首项 4 为公比的等比数列,所以 .……………………………………6 分
下同选①.
18.解:(Ⅰ)由题1 cos 1 cos2 2 2
A b bAcc
…………………………………………..3 分
cos sin sin sin( ) sin cos cos sinA C B A C A C A C
sin cos 0AC(0, ) sin 0 cos 0 2A A C C .………………………………6 分
(Ⅱ)记 ABM ,则 MBC ,在 Rt MCB 中, cosCB ,
在 Rt ACB 中,cos BCABC AB,即 coscos 2 6
………………………….…………….9 分
即 2 cos2cos 1 6
3cos 4或 2
3 (舍) 3cos 4ABM .……….…………….….12 分
19.解:(Ⅰ)证明:过点 E 作 EH BC 于点 H ,
因为平面 BCE 平面 ABC ,又平面 BCE 平面 ABC BC , EH 平面 BCE ,
所以 EH 平面 ,………………….. ………………….. …………………..3 分
又因为 DA 平面 ,所以 //AD EH ,
因为 平面 , DA 平面 ,所以 //DA 平面 EBC ;…………………..5 分
(Ⅱ)因为 DE 平面 BEC ,所以
2DEB DEC ,由 AB AC
可知 DB DC , DE DE , DEB DEC△ △ ,则 BE CE ,
所以点 是 BC 的中点,连接 AH ,则 AH BC ,
所以 AH 平面 ,则 //DE AH ,AH EH ,所以四边形 DAHE
是矩形以 为坐标原点,分别以 HB 、 HA 、 HE 所在直线为 x 、 y 、
z 轴建立空间直角坐标系,…………………………………7 分
设 2DA a ,则 0,0,2Ea、 0, 3 ,0Aa、 ,0,0Ba 、
0, 3 ,2D a a .
设平面 ABD 的一个法向量为 1 1 1,,m x y z ,又 , 3 ,0AB a a , 0,0,2AD a .
由 0
0
m AB
m AD
,得 11
1
30
20
ax ay
az
,取 1 1y ,得 3,1,0m .……………………9 分
设平面 BDE 的一个法向量为 2 2 2,,n x y z ,又 , 3 ,2BD a a a , ,0,2BE a a .
由 0
0
n BD
n BE
,得 2 2 2
22
3 2 0
20
ax ay az
ax az
,取 2 1z ,得 2,0,1n ;…………………10 分
设二面角 A BD E的平面角为 ,则 15cos cos , 5
mn
mn
mn
,……………11 分
由题知二面角 是钝角,则二面角 的余弦值为 15
5 .………………12 分
20.解:(Ⅰ)依题意得: 466
10C1ppfp…………………………………………………1 分
则 4 3 36 5 6 5 6
10 10C 6 1 4 6011 1Cp p p p pf p pp ,……………………2 分
当 30, , 05p f p
时 ;当 3,15p
时, 0fp ,……………………………………3 分
故 fp在 3
5p 时取得最大值,所以 .……………………………………………………4 分
(Ⅱ)设顾客一次购买水果的促销前总价为 y ,
当 180y 元时,有 90% 80%y x y 恒成立,……………………………………………6 分
即 98y x y 恒成立,所以
min
209
yx
,故 x 的最大值为 20 元.……………………8 分
(III)若参加方案二,顾客可得减负金额为 360 360 20 90% 54 元.
若参加方案一,顾客可抽奖三次.设 X 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数,
由于顾客每次抽奖的结果相互独立,则 3~ 3, 5XB
,…………………………………………10 分
所以 33 1.85E X np .由于顾客每中一次可获得 20 元现金奖励,
因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.8 20 36元,…………………………11 分
又因为36 54 ,所以顾客应该选择方案二.……………………………………………………12 分
8 月月考数学第 4 页 共 2 页
21.解:(Ⅰ) OQ PQ , 212222OPQS OQ PQ OP ,……………………… 2 分
又 max 2OP ,所以当 2OP 时, OPQ 面积取得最大值,此时点 2,0P ,………………3 分
又因为点 Q 位于第一象限, 2OQ , 45OPQ , 1PQk ,……………………4 分
所以直线 PQ 的方程为 2yx .………………………………………………………………..5 分
(Ⅱ)解法 1:由题意知点 P 不与点 A 或点 B 重合,设 00 11 , , ,P x y M x y ,
则 AP 直线方程为 0
0
22
yyxx
,令 0x 得 0
0
20, 2
yE x
,……………………………..7 分
同理可求 0
0
20, 2
yF x
,…………………………………………………………………………..8 分
0
11
0
2, 2
yME x yx
, 0
11
0
2, 2
yMF x yx
,
2
22
1
00
1 2
0
2
0
1
84044
yyME MF x y y xx
,……………………………………………..10 分
将 22
11 2xy及 22
0042xy 代入化简得 10 yy ,
所以直线 PM 平行于 x 轴.………………………………………………………………………12 分
解法 2:由题意知点 P 不与点 A 或点 B 重合,设 0 0,P x y ,则 22
0042xy ,
则 AP 直线方程为 0
0
22
yyxx
,令 得 0
0
20, 2
yE x
,……………………………..7 分
同理可求 ,……………………………………………………………………………..8 分
所以 EF 中点为 0
2
0
40, 4
yD x
,即
0
20,D y
,
0 0 0
2
0
00
0 00
2 2 4 2
2 2 4
y y x y xEF x x x y
,
22
2 00
222
000
42 4 2xyr yyy
,
所以以 EF 为直径的圆的方程为:
2
2
2
00
242xyyy
,…………………………………..10 分
联立方程组
2
2
0
2
2
2
0
2
242
xy
xyyy
,相减得: 2
0
2
00
4 4 44y
y y y ,所以 0yy ,
所以直线 PM 平行于 x 轴.……………………………….…………………………………………12 分
22.解:(Ⅰ)
2
22
211
11
x a xa
x x
f
x
x
x
( 0x ),…………………………………1 分
令 2 21x x a x ,其中 2 22 1 4a a a
①当 0 即 04a时, 0fx 在 0, 上恒成立,
故 fx在 0, 上单调递增;……………………………………………………………………2 分
②当 0 即 40aa或 , 2 2 1 0x a x 的两根分别为 2
1
24
2
a a ax ,
2
2
24
2
a a ax , 12xx ;
01 当 0a 时, 在 上恒成立,故 在 0, 上单调递增;……………3 分
02 当 4a 时,由 0fx 得 10 xx 或 2xx ;由 0fx 得 12x x x ;
故 在 120, , ,xx 上单调递增,在 12,xx上单调递减;……………………………4 分
综上,当 4a 时, 在 上单调递增;
当 时 在 上单调递增,在 上单调递减.……………………5 分
(Ⅱ)设 ln 114
aaxxxgx
,则 2
1
41
a
xg a
x
x
,
依题意,函数 0gx 恒成立,又由 10g ,…………………………………………………6 分
进而条件转化为不等式 1g x g 对 恒成立,所以 1g 是函数 gx的最大值,也是函数
的极大值,故 10g ,解得 2a .………………………………………………………8 分
下面证明当 2a 时,满足题意.
23
22
122
2 1 2 1
gx
x x xxx
x x x x
( ),
令 0gx 可得01x,令 0gx 可得 1x .……………………………………………10 分
故 在 0,1 上递增,在 1, 上递减.
因此 10g x g,即不等式 12
af x x恒成立.
综上,存在且 a 的取值集合为 2 .………………………………………………………………12 分
相关文档
- 数学理·黑龙江省哈尔滨六中2017届2021-06-1118页
- 北京市中央民族大学附属中学2021届2021-06-098页
- 【语文】湖北省龙泉中学、潜江中学2021-06-0915页
- 北京市中央民族大学附属中学2021届2021-06-0911页
- 广西壮族自治区钦州市一中2021届高2021-06-0824页
- 湖北省龙泉中学、潜江中学2020届高2021-06-0524页
- 2019-2020学年湖北省龙泉中学、巴2021-06-0418页
- 北京市中央民族大学附中2021届高三2021-06-0425页
- 湖北省龙泉中学潜江中学2020届高三2021-06-0324页
- 【物理】湖北省黄冈市浠水县实验高2021-06-0216页