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- 2021-06-15 发布
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鹤壁高中 2018--2019 学年度下学期第二次段考数学试卷
(时间:120 分钟 满分:150 分)
一、选择题(本大题共 17 小题,每小题 5 分,共 85 分)
1.已知 sin α=3
5
,则 cos 2α的值为
( )
A.-24
25
B.- 7
25
C. 7
25
D.24
25
2.已知向量 a=(1,2),b=(x,-4),若 a∥b,则 a·b 等于
( )
A.-10 B.-6 C.0 D.6
3.如图是为了求出满足 3 2 1000n n 的最小偶数 n ,那么在 和 两个空白框中,
可以分别填入 ( )
A. 1000A 和 1n n
B. 1000A 和 2n n
C. 1000A 和 1n n
D. 1000A 和 2n n
4.设 cos(α+π)= 3
2
(π<α<3π
2
),那么 sin(2π-α)的值为
( )
A.1
2
B. 3
2
C.- 3
2
D.-1
2
5.已知 tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则 tan 2α的值为
( )
A.-4
7
B.4
7
C.1
8
D.-1
8
6.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,且这个球的体积是
3
32 ,那么
这 个 正 三 棱 柱 的 体 积 是
( )
A. 96 3 B. 16 3 C. 24 3 D. 48 3
7.下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线 x=π
3
对称的是
( )
A.y=sin
62 x B.y=sin
6-2 x
C.y=sin
3-2
x D.y=sin
62
x
8.两人相约 7 时至 8 时之间在某地会面,先到者等候另一人 20min,过时离去,则这两人会面的
概
率
为
(
)
A. 1
3
B. 5
9
C. 8
9
D. 7
10
9.若 cos α=-4
5
,α是第三象限的角,则 sin(α+π
4
)等于
( )
A.-7 2
10
B.7 2
10
C.- 2
10
D. 2
10
10.若直线 : 2 0l kx y 与曲线 2: 1 ( 1) 1C y x 有两个不同的交点,则实数 k 的取值范
围
是
(
)
A. 4( ,2]3
B. 4( ,4)3
C. [ , ) ( , ]
4 42 23 3 D. ( , )4
3
11.若向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)互相垂直,其中 x∈R,则|a-b|等于
( )
A.-2 或 0 B.2 5 C.2 或 2 5 D.2 或 10
12 . 函 数 f(x) = sin2
4
x - sin2
4- x 是
( )
A.周期为π的偶函数 B.周期为π的奇函数
C.周期为 2π的偶函数 D.周期为 2π的奇函数
13.把函数 f(x)=sin
32- x 的图象向右平移π
3
个单位可以得到函数 g(x)的图象,则
g
4
等于 ( )
A.- 3
2
B. 3
2
C.-1 D.1
14.若函数 ( )f x 和 ( )g x 都是 R 上的奇函数,且 ( ) ( ) ( ) 2F x af x bg x 在区间上 (0, ) 有
最 大 值 5 , 则 ( )F x 在 ( ,0) 上
( )
A.有最小值 5 B.有最大值 5 C.有最小值 1 D.有最大值 3
15.已知向量 a=(1,0),b=(cos θ,sin θ),θ∈[-π
2
,π
2
],则|a+b|的取值范围是
( )
A.[0, 2] B.[0, 2) C.[1,2] D.[ 2,2]
16.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根,则 a 与 b 的夹角的取值
范围是( )
A.
0,π
6 B.
π
3
,π
C.
π
3
,2π
3 D.
π
6
,π
17.函数 f(x)= 3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则 tan θ等于
( )
A. 3
3
B.- 3
3
C. 3 D.- 3
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
18.已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若(a-c)⊥b 则 k=________.
19.当 0≤x≤1 时,不等式 sinπx
2
≥kx 成立,则实数 k 的取值范围是________.
20.已知函数 2
2log 2f x a x x a 的最小值为 8,且 , 1a n n , n N ,则
n __________.
21. 如图,正六边形 ABCDEF 中,有下列四个命题:
①AC→+AF→=2BC→;
②AD→=2AB→+2AF→;
③AC→·AD→=AD→·AB→;
④(AD→·AF→)EF→=AD→(AF→·EF→).
其中真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号)
三、解答题(本大题共 4 小题,共 45 分)
22.(10 分)已知a b c ,,是同一平面内的三个向量,其中 ),( 21a .
(1)若 52c ,且向量a c 与 平行,求 c 的坐标;
(2)若
2
5b ,且 ba 2 与 ba 2 垂直,求 a 与b 的夹角 .
23.(11 分)已知向量 a=(sin x,3
2
),b=(cos x,-1).
(1)当 a∥b 时,求 2cos2x-sin 2x 的值;
(2)求 f(x)=(a+b)·b 在[-π
2
,0]上的单调区间.
24.(12 分)已知函数 )0()6sin(3)( bxxf ,且函数图象的对称中心到对称轴的最
小距离为
4
,当
4,0 x 时, )(xf 的最大值为 1.
(1)求函数 )(xf 的解析式.
(2)将函数 )(xf 的图象向右平移
12
个单位长度得到函数 )(xg 的图象,若 3)(3-)( xgmxg
在
3,0 x 上恒成立,求实数 m 的取值范围.
25.(12 分)设动圆 P(圆心为 P)经过定点(0,2),(t+2,0),(t-2,0)三点,当 t 变化时,P
的轨迹为曲线 C.
(1)求 C 的方程.
(2)过点(0,2)且不垂直于坐标轴的直线 l 与 C 交于 A、B 两点,B 点关于 y 轴的对称点为 D,
试问:直线 AD 是否经过定点,若是,求出定点坐标;否则,说明理由.
鹤壁高中 2018--2019 学年度下学期第二次段考(数学答案)
一.选择题
1-5 CADAA 6-10 DBBAA 11-15DBDCD 16-17 BD
二.填空题
18.0 19.k≤1 20.5 21.①②④
18.解析 ∵a-c=(3,1)-(k,2)=(3-k,-1),(a-c)⊥b,b=(1,3),∴(3-k)×1-3=0,
∴k=0.
19.k≤1
解析 设t=πx2 ,0≤x≤1,
则x=2tπ,0≤t≤π2,
则sin t≥2kπt在 0≤t≤π2上恒成立.
设y=sin t,y=2kπt,图象如图所示.
需y=sin t在π2上的图象在函数y=2kπt的图象的上方,∴2kπ·π2≤1,∴k≤1.
21.①②④
解析 在正六边形ABCDEF中,AC→ +AF→=AC→ +CD→ =AD→ =2BC→ ,①正确;
设正六边形的中心为O,则 2AB→ +2AF→=2(AB→ +AF→)=2AO→ =AD→ ,②正确;
易知向量AC→ 和AB→ 在AD→ 上的投影不相等,即AD| ≠AD| .∴AC→ ·AD→ ≠AD→ ·AB→ ,③不正确;
∵AD→ =-2EF→,
∴(AD→ ·AF→)EF→=AD→ (AF→·EF→)⇔(AD→ ·AF→)EF→=-2EF→(AF→·EF→)⇔AD→ ·AF→=-2AF→·EF→
⇔AF→·(AD→ +2EF→)=0.∵AD→ +2EF→=AD→ -AD→ =0,∴AF→·(AD→ +2EF→)=0 成立.
从而④正确.
三.解答题
22.解:(1) 设 由 和 可得:
或 ,
∴ 或
(2)∵ ,
即
∴ ,
∴ ,
所以
∵ .
23.解:(1)∵a∥b,∴32cos x+sin x=0,
∴tan x=-32,
2cos2x-sin 2x=2cos2x-2sin xcos xsin2x+cos2x =2-2tan x1+tan2x=2013.
(2) f(x)=(a+b)·b=22sin(2x+π4).
∵-π2≤x≤0,∴-3π4 ≤2x+π4≤π4,
所以函数在 上单调递减;在 上单调递增.
24.【解析】(1)因为函数f(x)= sin +b(ω>0),且函数图象的对称中心到对称轴的最
小距离为 ,所以 = ,可得T=π,
由 =π,可得ω=2,
所以f(x)= sin +b,
因为当x∈ 时,2x- ∈ ,
由y=sinx在 上单调递增,可得当 2x- = ,即x= 时,
函数f(x)取得最大值f = sin +b,
所以 sin +b=1,
解得b=- ,
所以f(x)= sin - .
(2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度得到函数解析式为:
g(x)= sin -
= sin - ,
因为当x∈ 时, 2x- ∈ ,
g(x)= sin - ∈[-2,1],
所以g(x)-3∈[-5,-2],g(x)+3∈[1,4],
因为g(x)-3≤m≤g(x)+3 在x∈ 上恒成立,所以m∈[-2,1].
25.详解:(1)设M(t+2,0)、N(t-2,0)、R(0,2),
当t变化时,总有MN=4,故圆P被x轴截得的弦长为 4
设动圆P圆心为 ,半径为 依题意的:
化简整理得:
所以,点P的轨迹C的方程
(2)由对称性知,直线AD经过的定点在y轴上
设A(x1,y1),B(x2,y2),则D(-x2,y2),其中, ,
直线AD的方程为:
令x=0 并将 , 代入,可解得AD的y截距:y0= x1x2
设直线l:y=kx+2,代入抛物线方程,可得:x2-4kx-8=0
所以x1x2=-8,此时y0=-2
故直线AD过定点(0,-2)
点睛:定点问题的常见解法:
(1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无
关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点;
(2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意,从而得到定点的坐标.