河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高一下学期4月月考数学试题 19页

石家庄二中2019-2020学年第二学期高一年级4月月考自主测试高一数学（4月6日）‎ 一、单选题（每小题5分，共计12个小题）‎ ‎1.已知中，且则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理即可得到答案.‎ ‎【详解】由正弦定理，‎ 可得.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了正弦定理的简单运用，属于基础题.‎ ‎2.在中，内角的对边分别为.若，则角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理变形得．‎ ‎【详解】将代入中得.由，得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理，掌握用余弦定理求角是解题关键．‎ ‎3.在等差数列中，已知，则该数列前9项和（ ）‎ A. 18 B. 27 C. 36 D. 45‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质求得，再根据等差数列前项和公式求得.‎ ‎【详解】在等差数列中，，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题.‎ ‎4.已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则（ ）‎ A. B. 19 C. 20 D. 23‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对、进行化简，得出公差和公比的数值，然后对进行化简即可得出结果．‎ ‎【详解】设奇数项的公差为，偶数项的公比为，‎ 由，，得，，‎ 解得，，所以，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．‎ ‎5.已知向量，，且，则的最小值是（ ）‎ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量平行的坐标运算公式，可得，对乘以“1”，可得，再利用基本不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，且向量，，所以，‎ 所以，当且仅当时，取等号.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量平行的坐标运算公式和基本不等式的应用，属于基础题.‎ ‎6.在空间中，下列命题正确的是 A. 如果一个角两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等 B. 两条异面直线所成的有的范围是 C. 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 D. 如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个角可能互补判断A；根据两条异面直线所成的角不能是零度,判断B；根据根据两个平面平行的性质定理知判断C；利用直线与这个平面平行或在这个平面内判断D.‎ ‎【详解】如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,这两个角相等或互补,故A不正确； 两条异面直线所成的角不能是零度,故B不正确； 根据两个平面平行的性质定理知C正确； 如果一条直线和一个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或在这个平面内,故D不正确,综上可知只有C的说法是正确的,故选C.‎ ‎【点睛】本题考查平面的基本性质及推论,考查等角定理,考查两个平面平行的性质定理,‎ 考查异面直线所成的角的取值范围,考查直线与平面平行的判断定理,意在考查对基础知识的掌握情况，本题是一个概念辨析问题.‎ ‎7.如图，在正四面体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点,连接,,可得就是与所成的角, 设,可得,,利用余弦定理可得的值,可得答案.‎ ‎【详解】解:如图: ,‎ 取的中点,连接,,可得就是与所成的角,‎ 设,则,,‎ ‎,‎ 故选: B.‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成得角的余弦值的求法,注意余弦定理的灵活运用,属于基础题.‎ ‎8.如图，在正方体 中， 分别为 的中点，点 是底面内一点，且 平面 ，则 的最大值是( )‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，则AOPM，从而A1P=C1M，由此能求出tan∠APA1的最大值．‎ 详解：连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，‎ 设正方形ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，‎ ‎∵在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，‎ 点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，‎ ‎∴AOPM，∴A1P=C1M=，‎ ‎∴tan∠APA1===2．‎ ‎∴tan∠APA1的最大值是2．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查角的正切值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，把这个三棱锥放到正方体中，即可求出其外接球的表面积.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，如图所示 ‎ ‎ 该几何体是棱长为1正方体中的三棱锥.‎ 所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，球的直径为正方体体对角线的长.‎ 即.‎ 所以外接球的表面积为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.‎ ‎10.如图，在正三棱柱中，,，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则的周长的最小值为()‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正三棱柱的特征可知为等边三角形且平面，根据可利用勾股定理求得；把底面与侧面在同一平面展开，可知当三点共线时，取得最小值；在中利用余弦定理可求得最小值，加和得到结果.‎ ‎【详解】三棱柱为正三棱柱 为等边三角形且平面 平面 ‎ 把底面与侧面在同一平面展开，如下图所示：‎ 当三点共线时，取得最小值 又，，‎ 周长的最小值为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中三角形周长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为侧面上两点间最短距离的求解问题，利用侧面展开图可知三点共线时距离最短.‎ ‎11.已知正方体的棱的中点为，与交于点，平面过点且与直线垂直，若，则平面截该正方体所得截面图形的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体的垂直关系可得平面，进而，可考虑平面是否为所求的平面，只需证明即可确定平面.‎ ‎【详解】如图所示，正方体中，为棱的中点，‎ ‎，则，，，‎ ‎，；又平面，‎ ‎，且，平面，‎ 且，‎ 即截该正方体所得截面图形的面积为.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查三角形面积的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题.‎ ‎12.在棱长为的正方体中,点分别是线段（不包括端点）上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 由题意在棱长为的正方体中，点分别是线段上的动点，‎ ‎ 且线段平行于平面，‎ ‎ 设，即到平面的距离为，‎ ‎ 所以四棱锥的体积为，‎ ‎ 当时，体积取得最大值，故选A．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点睛：本题考查了空间几何体的结构特征，及几何体的体积的计算，其中解答中找出所求四面体的底面面积和四面体的高是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于空间几何体的体积与表面积的计算时，要正确把握几何体的结构特征和线面位置关系在解答中的应用．‎ 二、填空题（每小题5分，共计4个小题）‎ ‎13.已知，，且，则的最大值为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接由基本不等式求解．‎ ‎【详解】∵，，∴，即，当且仅当，即时等号成立．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查用基本不等式求最值，属于基础题．‎ ‎14.已知数列满足，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 数列为以 为首项，1为公差等差数列．‎ ‎【详解】因为所以 又 所以数列为以 为首项，1为公差的等差数列．‎ 所以 所以 故填 ‎【点睛】本题考查等差数列，属于基础题．‎ ‎15.如图，在正方体中，分别为棱的中点，则与平面所成角的余弦值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连结，过作于，即为与平面所成的角，在中利用余弦定理求出 ‎【详解】解：连结，则平面即为平面， 过作于，则平面， 即为与平面所成的角， 设正方体棱长为2，则， . 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与平面所成角的求解，关键是找到线面角的平面角，属于中档题.‎ ‎16.如图，M､N分别是边长为1的正方形ABCD的边BC､CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，有以下结论:‎ ‎①异面直线AC与BD所成的角为定值.‎ ‎②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.‎ ‎③存在某个位置，使得直线MN与平面ABC所成的角为45°.‎ ‎④三棱锥M-ACN体积的最大值为.‎ 以上所有正确结论的序号是__________.‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设中点，连接，，得到平面，从而可证①正确；假设，从而得到平面，与已知矛盾，从而证明②错误，根据，得到与平面所成的角等于与平面所成的角，即，根据的范围，从而证明③正确；，从而得到体积最大的情况，求出最大值，可得④正确.‎ ‎【详解】设中点，连接，，‎ 正方形，，，‎ 所以，，‎ 平面，，‎ 所以平面，‎ 而平面，所以，‎ 即异面直线与所成的角为定值.‎ 故①正确. ‎ 若，而，平面，‎ 所以平面，‎ 而平面，所以，‎ 而中，，‎ 所以不可能为直角，故假设错误，‎ 所以②错误.‎ 因为､分别是､的中点，所以，‎ 所以与平面所成的角等于与平面所成的角，‎ 在平面的射影在上，‎ 所以是与平面所成的角，‎ 而，所以一定存在某个位置满足，‎ 即存在某个位置，使得直线MN与平面所成的角为45°.‎ 故③正确；‎ ‎，底面，‎ 所以当平面平面时，到平面的距离最大，‎ 此时三棱锥的体积最大，‎ ‎，‎ 所以此时，‎ 故④正确.‎ 故答案为：①③④‎ ‎【点睛】本题考查证明异面直线垂直，求线面角，等体积转化求三棱锥的体积，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，的周长为，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得，结合可得结果；（2）利用三角形周长得到；利用余弦定理构造出关于的方程，解出的值；代入三角形面积公式可求得结果.‎ ‎【详解】（1）由正弦定理可得：‎ 即：‎ ‎ ，由得：‎ ‎（2），的周长为 ‎ 由余弦定理可得：‎ 的面积：‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用，还涉及到两角和差正弦公式的知识，考查学生对于三角恒等变换和解三角形部分的公式的掌握程度，属于常考题型.‎ ‎18.已知{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【答案】(1)；(2)Tn＝(n－1)·2n＋1.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）设数列的公差为，的公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；‎ ‎（2）求得，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求的和.‎ 试题解析：‎ ‎(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，‎ 依题意得解得d＝1，q＝2.‎ 所以an＝1＋(n－1)×1＝n，bn＝1×2n－1＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)知cn＝anbn＝n·2n－1，则 Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①‎ ‎2Tn＝2·20＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②‎ ‎①－②得：－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n ‎＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，‎ 所以Tn＝(n－1)·2n＋1.‎ ‎19.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点.‎ ‎(1) 求证：EF∥平面A1BD；‎ ‎(2) 若A1B1＝A1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C. ‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先证出EF∥A1B，利用线面平行的判定定理即可证出.‎ ‎（2）证出BB1⊥A1D，A1D⊥B1C1，利用面面垂直的判定定理即可证出.‎ ‎【详解】‎ 因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.‎ 因为EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，所以EF∥平面A1BD.‎ ‎(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，因为A1D⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D. ‎ 因为A1B1＝A1C1，且D是B1C1的中点，所以A1D⊥B1C1.‎ 因为BB1B1C1＝B1，B1C1，BB1⊂平面BB1C1C，所以A1D⊥平面BB1C1C.‎ 因为A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面BB1C1C.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，要证线面平行、需证线线平行，要证面面垂直、需证线线垂直、线面垂直，属于基础题.‎ ‎20.如图，四边形为正方形， 平面， ，点， 分别为， 的中点．‎ ‎（1）证明： ;‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接， ，由条件可证明，再计算，说明；‎ ‎（2）利用等体积转化，求点到面距离.‎ ‎【详解】（Ⅰ）‎ 证明：取的中点，连接， ，‎ 则，且，‎ ‎∵且，‎ ‎∴且，‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴中，，G为的中点，‎ ‎∴， ‎ ‎∴ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，‎ 所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，‎ 故转化为求点到平面的距离，设为．‎ 利用等体积法： ，‎ 即， ‎ ‎，‎ ‎∵， ‎ ‎∴，∴．‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明，以及点到平面的距离，重点考查推理证明，计算能力，属于中档题型.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。‎ 登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。‎ 试卷地址：在组卷网浏览本卷 组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过900万精品解析试题。‎ 关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。‎ ‎ ‎ 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。‎ 钱老师 QQ：537008204    曹老师 QQ：713000635 ‎