2014福州3月份质检理数试卷 12页

‎2014年福州市高中毕业班质量检测 理科数学试卷 ‎（完卷时间：120分钟；满分：150分）‎ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)‎ 一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A={(x,y)|y=lgx},B={(x,y)|x=a},若A∩B=,则实数a的取值范围是( ).‎ ‎ A. a<1 B. a≤‎1 C. a<0 D. a≤0‎ ‎2.“实数a=‎1”‎是“复数( a∈R ,i为虚数单位)的模为”的( ).‎ ‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件 ‎3. 执行如图所示的程序框图,输出的M的值是（ ）‎ 开始 M=2‎ i=1‎ i<5?‎ i=i+1‎ 输出M 结束 否 是 A． B． C． D．‎ ‎4. 命题”,使得”的否定是( )‎ A.,都有 B.不存在,使 ‎ ‎ C.,都有 D.,使 ‎ ‎5. 已知等比数列{an}的前项积为n,若,则9=( ).‎ ‎ A.512 B‎.256 C.81 D.16‎ ‎6. 如图,设向量,,若＝λ＋μ,且λ≥μ≥1,则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是( )‎ ‎7. 函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( ).‎ ‎ A.f(x)=x+sinx B. C.f(x)=xcosx D.‎ ‎8. 已知F1、F2是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线对称,,则该双曲线的离心为 ( ).‎ A. B. C. D.2 ‎ ‎9.若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)=f(x), f(2－x)=f(x),‎ 且当x∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数 H(x)= |xex|－f(x)在区间[－3,1]上的零点个数为 ( ) ‎ ‎ ‎ A.5 B‎.4 ‎C.3 D.2‎ ‎10.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d为常数),当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈‎ ‎(1,2)时取极小值,则的取值范围是( ).‎ A. B. C. D.(5,25)‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)‎ O A C B 二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.‎ ‎11.5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为 (用数字作答).‎ ‎12.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点M,则点M恰好取自 阴影部分的概率为 . ‎ ‎13. 若直线与圆相交于A、B两点,则的值为 .‎ ‎14.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的表面积为 . ‎ ‎15.已知函数 ,‎ 若数列{am}满足,且的前项和为,则= .‎ 三、解答题:本大题共六个小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ 在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件,测量该产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图:‎ 甲地 ‎　‎ 乙地 ‎ 8‎ ‎0‎ ‎　‎ ‎3 4 6 8‎ ‎1‎ ‎ 2 4 7 8 8 9‎ ‎0 2 4 5 6‎ ‎2‎ ‎ 0 0 1 2‎ 规定:当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品.‎ ‎(Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数);‎ ‎(Ⅱ)从乙地抽出的上述10件产品中,随机抽取3件,求抽到的3件产品中优质品数的分布列及数学期望.‎ ‎17. （本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且若向量与向量共线，求的值.‎ ‎18. （本小题满分13分）‎ 如图，直角梯形中，=4，点、分别是、的中点，点G在上，沿将梯形翻折，使平面⊥平面．‎ ‎（Ⅰ）当最小时，求证：⊥；‎ ‎（Ⅱ）当时，求二面角平面角的余弦值.‎ ‎19.（本小题满分13分）‎ 已知动圆C过定点(1,0),且与直线x=－1相切.‎ ‎（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程;‎ ‎（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为和,‎ ‎①当=时,求证直线AB恒过一定点M;‎ ‎②若为定值,直线AB是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标; 若不存在,请说明理由. ‎ ‎20. （本小题满分14分）‎ 已知函数，其中且 ‎（Ⅰ）讨论的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若直线的图像恒在函数图像的上方，求的取值范围;‎ ‎（Ⅲ）若存在，，使得，求证：.‎ ‎21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换.‎ 已知矩阵,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为,属于特征值1的一个特征向量.‎ ‎（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵;‎ ‎ （Ⅱ）计算A3的值. ‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程.‎ 在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为,直线l的参数方程为:(t为参数),两曲线相交于M,N两点.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;‎ ‎（Ⅱ）若P(－2,－4),求|PM|+|PN|的值．‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 设函数f(x)=|x－4|+|x－3|,‎ ‎（Ⅰ）求f(x)的最小值m ‎（Ⅱ）当a+2b+‎3c=m(a,b,c∈R)时,求a2+b2+c2的最小值.‎ ‎2014年福州市高中毕业班质量检测 数学(理科)试卷参考答案及评分标准 ‎1—10 DABCA DCBBD ‎11.96 12.1/3 13.0 14.18+ cm2 15.8042‎ ‎16. 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为 ‎ 乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为………………4分 ‎ (II)的取值为1，2，3. ………………5分 ‎ ………………7分 ‎………………9分 ‎………………11分 ‎ 所以的分布列为 ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ………………12分 故………………13分 ‎ ‎17. 解:(I)‎ ‎==……………2分 ‎ 令，‎ 解得即…………4分 ‎,f(x)的递增区间为 ………………6分 ‎ (Ⅱ)由,得 而,所以,所以得 因为向量与向量共线，所以，‎ 由正弦定理得:　　　　 ①……………10分 由余弦定理得:,即a2+b2－ab=9　②………12分 由①②解得……………13分 ‎18. 解:(Ⅰ)证明：∵点、分别是、的中点,∴EF//BC 又∠ABC=90°∴AE⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF，‎ ‎∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE， 又BE⊥EF，‎ 如图建立空间坐标系E﹣xyz．……………2分 翻折前,连结AC交EF于点G,此时点G使得AG+GC最小.‎ EG=BC=2,又∵EA=EB=2． ‎ 则A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0),‎ ‎∴=(﹣2,2,2),=(-2,-2,0)‎ ‎∴=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0，‎ ‎∴⊥………………5分 ‎(Ⅱ)解法一：设EG=k,‎ ‎∥平面,点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离.‎ ‎ [(3- k)+4]×2=7-k ‎=‎ 又=,‎ ‎,=,‎ 即EG=1…………………8分 设平面DBG的法向量为,∵G(0,1,0),‎ ‎∴(－2,2,2), ‎ 则 ,即 ‎ 取x＝1,则y＝2,z＝－1,∴ …………………10分 ‎ 面BCG的一个法向量为 ‎ 则cos<>= …………………12分 由于所求二面角D-BF-C的平面角为锐角,‎ 所以此二面角平面角的余弦值为 ……………………13分 ‎(Ⅱ)解法二:由解法一得EG=1,过点D作DHEF,垂足H,过点H作BG延长线的垂线垂足O，连接OD. ∵平面AEFD⊥平面EBCF, DH平面EBCF，ODOB,‎ 所以就是所求的二面角的平面角. …………9分 由于HG=1,在OHG中,‎ 又DH=2，在DOH中…………11分 所以此二面角平面角的余弦值为.…………13分 ‎19. 解: (Ⅰ)设动圆圆心M(x,y),‎ 依题意点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=－1为准线的抛物线………2分 其方程为y2=4x.- …………3分 ‎(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由题意得x1≠x2(否则)且x1x2≠0,则 所以直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b,‎ 则将y=kx+b与y2=4x联立消去x,得ky2－4y+4b=0‎ 由韦达定理得-------※…………6分 ‎①当=时,所以,…………7分 所以y1y2=16,又由※知:y1y2=所以b=4k;因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k,所以直线AB恒过定点(－4,0). …………8分 ‎②当为定值时.若=,由①知,‎ 直线AB恒过定点M(－4,0) …………9分 当时,由,得==‎ 将※式代入上式整理化简可得:,所以,…………11分 此时,直线AB的方程可表示为y=kx+,‎ 所以直线AB恒过定点…………12分 所以当时,直线AB恒过定点(－4,0).,‎ 当时直线AB恒过定点.…………13分 ‎20. 解:(I)f(x)的定义域为.‎ 其导数………1分 ‎①当时,,函数在上是增函数;…………2分 ‎②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,．‎ 所以在是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………4分 ‎(II)当时, 取，‎ 则, 不合题意.‎ 当时令,则………6分 问题化为求恒成立时的取值范围. ‎ 由于 ………7分 在区间上,;在区间上,.‎ 的最小值为,所以只需 即,,………9分 ‎(Ⅲ)由于当时函数在上是增函数,不满足题意,所以 构造函数:()‎ ………11分 则 所以函数在区间上为减函数. ,则,‎ 于是,又,,由在上为减函数可知.即…………………14分 ‎21. (1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换 解: (Ⅰ)法一:依题意,.. ………… 2分 所以…………4分 法二:的两个根为6和1,‎ 故d=4,c=2. …………2分 所以-…………4分 ‎(Ⅱ)法一:=2－…………5分 A3=2×63－13=…………7分 法二:‎ A3=…………7分 ‎ (2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程.‎ 解:(Ⅰ)(曲线C的直角坐标方程为y2=4x, 直线l的普通方程x－y－2=0. ………..4分 ‎(Ⅱ)直线的参数方程为(t为参数),‎ 代入y2=4x, 得到,设M,N对应的参数分别为t1,t2‎ 则 所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=…………7分 ‎(3) )(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲 ‎ 解:(Ⅰ)法1: f(x)=|x－4|+|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|=1,‎ 故函数f(x)的最小值为1. m=1. …………4分 ‎ 法2:.------------------1分 x≥4时,f(x)≥1;x<3时,f(x)>1,3≤x<4时,f(x)=1,----------------3分 故函数f(x)的最小值为1. m=1. …………4分 ‎(Ⅱ)由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+‎3c)2=1----------5分 故a2+b2+c2≥-…………6分 当且仅当时取等号…………7分